专题27.3 实际问题与反比例函数（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，承接反比例函数概念与性质，搭建从识别实际问题中反比例关系、建立函数模型到利用性质解决最值及取值范围问题的学习支架，涵盖工程、物理等跨学科应用实例。 以茶吧机水温变化、桔槔汲水工具等真实情境引导学生用数学眼光观察现实世界，通过典例变式培养数学思维（推理与运算能力），用函数解析式表达实际关系强化数学语言（模型意识）。课中助力教师突破重难点，课后分层练习（A/B/C组）帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题27.3 实际问题与反比例函数 教学目标 1.能通过实际问题提炼出反比例函数关系，建立函数模型。 2.掌握利用反比例函数的增减性，解决实际问题中的最值问题。 3.理解数学建模的基本过程，体会跨学科（物理、工程）背景下的反比例函数应用。 教学重难点 1.重点 （1）实际问题中两个变量成反比例关系的识别与解析式的确定； （2）利用反比例函数性质，求物理量或几何量的取值范围。 2.难点 （1）实际问题中自变量x 的取值范围对函数图象和性质的限制； （2）实验数据背景下，通过散点图观察、平均值拟合来建立反比例函数模型的过程。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路 建立函数解析式→ 利用函数图象和性质求解→ 获得实际问题的答案。 2.一般步骤 （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题。 3.在其他学科中的应用 ①工程/工作量模型：货物总量一定。平均卸载速度v与卸货时间t满足反比例关系。若时间缩短，速度必须提高。 ②物理杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂。动力F与动力臂l满足反比例关系。动力臂越长，撬动石头所需的力越小。 ③物理功与位移模型：功W一定。位移s与力F满足反比例关系。 ④行程距离模型：路程一定。平均速度v与时间t满足反比例关系。 ⑤物理欧姆定律/压强模型：电压U一定时，电流I与电阻R满足反比例关系。 【即学即练】 1．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握矩形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：． 2．某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额．每个月付款额（单位：元）与付款月数（为正整数）之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】后期每个月付相同的数额元，付款月数是个月，根据，由此来推导与的关系． 【详解】解：由题意可得后期付款总额为元 故选：D 3．如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长方体砖块的重力为，面的面积为，面的面积为，面的面积为，根据压强公式求出地面受到的压强，求出比即可求解． 【详解】解：设长方体砖块的重力为， ∵两个面的面积比是， ∴可设面的面积为，面的面积为，面的面积为， 由压强公式得，当面向下放在水平地面 上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， 当面向下放在水平地面上，压强， ∴． 4．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．设反比例函数解析式为，将，代入求出反比例函数解析式为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入得：， 反比例函数解析式为， 当时，得： 解得：， 小孔到蜡烛的距离为， 故选：C． 题型01 用反比例函数解决实际问题 【典例1】某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． （1）考查方向：考查从面积、压强、速度、功率、杠杆、密度、温度变化等实际情境中识别反比例关系，并求函数解析式、函数值或取值范围。 （2）核心方法：找准不变量，建立或xy=k模型；再用已知点求出k，结合反比例函数在x>0范围内的增减性和实际意义求解。 【变式1】如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 【变式2】小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（   ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B 【分析】已知与是反比例函数关系，先设反比例函数解析式，从图像读取一组对应点代入求出，再把代入解析式求出对应的． 【详解】解：由题意，设反比例函数解析式为．从图2中可得，当m时，N，将代入解析式： ， 解得，因此函数解析式为： ， 当拉力N时，代入解析式： ， 解方程： ， 即点与点之间的距离为4m． 【变式3】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 【中考链接】已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． A组·基础过关 1．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（ ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 【答案】C 【分析】根据题意推出动力与动力臂为反比例函数关系，结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：设（），由题意得：， ∴，即，是关于的反比例函数． ∵符合反比例函数定义，∴A选项正确． ∵，反比例函数随增大而减小，∴越长越小，B选项正确． 举例验证C选项：设，当时，；增加变为时，，减少量为；再增加变为时，，减少量约为，减少值不是固定值，因此C选项错误． 由反比例函数性质可知，增大时减小，即动力臂增大，动力明显减小，因此D选项正确． 2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图像经过点，则当气体体积为时，气压为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，利用已知点坐标求出反比例函数的常数项，再代入体积值计算对应气压即可． 【详解】解：∵与成反比例函数， ∴设 ，将点代入解析式得， 解得， ∴函数解析式为， 当 时，． 3．某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 【答案】4 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出自变量为5时的函数值即可． 【详解】解：设， 由图象可知，反比例函数经过点， ， 解得：， ， 当时，， 即当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为． 4．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 5．视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速是反比例函数关系，其图像如图所示．当车速为时，视野角度为_____度． 【答案】40 【分析】先求得视野角度f（度）与车速成反比例函数关系，再求出车速为时的函数值即可解答． 【详解】解：设视野角度（度）与车速是反比例函数关系为， 把点代入得：，解得：， 所以视野角度（度）与车速是反比例函数关系为， 当时，，即当车速为时，视野角度为40度． B组·能力提升 6．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（ ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使得这款轮胎的摩擦系数高于，车速应高于 D．当车速从加速到时，该轮胎的摩擦系数减小了 【答案】C 【分析】结合给定的摩擦系数车速函数图像，读取特殊点的数值、判断函数的增减性，依次验证四个选项的描述是否正确，最终找出说法错误的选项． 【详解】解：A、汽车静止时车速，由图象可得此时摩擦系数，说法正确； B、时，图象呈下降趋势，说明摩擦系数随车速增大而减小，说法正确； C、由图象可知，车速时，且车速越大摩擦系数越小，因此摩擦系数高于时，车速应低于，原说法错误； D、时，时，摩擦系数减小了，说法正确． 7．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 8．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出V，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D. 【详解】选项A：设，把代入函数关系式，则，正确，不符合题意； 选项B：将代入，得，结论正确，不符合题意； 选项C：反比例函数中， ，在时，随增大而减小． 当时，对应，不是，结论错误，符合题意； 选项D：当时，，当时，， ∴当时，，结论正确，不符合题意． 9．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（）是液体的密度ρ（）的反比例函数，其图象如图所示（）．下列说法不正确的是（ ） A．h随ρ的增大而减小 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用以及反比例函数图象性质．先根据题中函数图象所给的条件，可设（），将，代入函数解析式，求出k值，从而求得．随后根据反比例函数图象性质逐一分析各个选项的说法，判断正误，得出答案． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h（）是液体的密度ρ（）的反比例函数， ∴可设（）， ∵由图象可知，当时，， ∴， ∴． 对于A选项：当时，h随ρ的增大而减小，说法正确，不符合题意； 对于B选项：令，则， 结合函数图象可知，当时，，即该说法正确，不符合题意； 对于C选项：当时，，即该说法正确，不符合题意； 对于D选项：令，则， 解得：， 结合函数图象可知，当时，， ∴该说法不正确，符合题意． 10．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：）是它的受力面积S（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)求p关于S的函数关系式． (2)当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，依据图象上点的坐标可以求得p与S之间的函数关系式； （2）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【详解】（1）解：设， ∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴， ∴p与S的函数关系式为． （2）解：令，则， 令，则， ∴当时，受力面积S的变化范围为． C组·拓展延伸 11．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】D 【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可． 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 12．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 13．某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． (1)求今年5月份的产销额； (2)求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的解析式及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设反比例函数的解析式为，由点代入，解得，则反比例函数的解析式为，当时，即可求出今年5月份的产销额； （2）设一次函数的解析式为，当时，，得，由图可知，当时，，得，解得，，则一次函数的解析式为，当时，，即可解答本题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由点代入得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 即今年5月份的产销额为万元； （2）解：设一次函数的解析式为， 当时，， ， 得， 由图可知，当时，，得； 解得，， 则一次函数的解析式为， 当时，， ， 则月份的产销额比3月份增长了万元． 14．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时， ； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 15．已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）过点B作于点H，易得，设，求出，进而得到，设，代入双曲线，即可求解； （2）设，求出，分或或，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点B在第一象限， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或或， 当时，则，即， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，则，即， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则，即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.3 实际问题与反比例函数 教学目标 1.能通过实际问题提炼出反比例函数关系，建立函数模型。 2.掌握利用反比例函数的增减性，解决实际问题中的最值问题。 3.理解数学建模的基本过程，体会跨学科（物理、工程）背景下的反比例函数应用。 教学重难点 1.重点 （1）实际问题中两个变量成反比例关系的识别与解析式的确定； （2）利用反比例函数性质，求物理量或几何量的取值范围。 2.难点 （1）实际问题中自变量x 的取值范围对函数图象和性质的限制； （2）实验数据背景下，通过散点图观察、平均值拟合来建立反比例函数模型的过程。 知识点01 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路 建立函数解析式→ 利用函数图象和性质求解→ 获得实际问题的答案。 2.一般步骤 （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题。 3.在其他学科中的应用 ①工程/工作量模型：货物总量一定。平均卸载速度v与卸货时间t满足反比例关系。若时间缩短，速度必须提高。 ②物理杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂。动力F与动力臂l满足反比例关系。动力臂越长，撬动石头所需的力越小。 ③物理功与位移模型：功W一定。位移s与力F满足反比例关系。 ④行程距离模型：路程一定。平均速度v与时间t满足反比例关系。 ⑤物理欧姆定律/压强模型：电压U一定时，电流I与电阻R满足反比例关系。 【即学即练】 1．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额．每个月付款额（单位：元）与付款月数（为正整数）之间的关系是（ ） A． B． C． D． 3．如图，一块砖的三个面的面积比是．则将面分别向下，地面所受压强比为（ ） A． B． C． D． 4．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（ ） A． B． C． D． 题型01 用反比例函数解决实际问题 【典例1】某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 （1）考查方向：考查从面积、压强、速度、功率、杠杆、密度、温度变化等实际情境中识别反比例关系，并求函数解析式、函数值或取值范围。 （2）核心方法：找准不变量，建立或xy=k模型；再用已知点求出k，结合反比例函数在x>0范围内的增减性和实际意义求解。 【变式1】如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【变式2】小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔（jié）槔（gāo）的古代汲水工具（如图1）．若图中人物竖直向下施加的拉力为（单位：N），当改变点与点之间的距离（单位：m）时，横杆始终处于水平状态，小秦发现与之间满足反比例函数关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，则点与点之间的距离为（ ）． A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m 【变式3】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【中考链接】已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． A组·基础过关 1．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（ ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图像经过点，则当气体体积为时，气压为（ ） A． B． C． D． 3．某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 4．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A． B． C． D． 5．视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速是反比例函数关系，其图像如图所示．当车速为时，视野角度为_____度． B组·能力提升 6．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（ ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使得这款轮胎的摩擦系数高于，车速应高于 D．当车速从加速到时，该轮胎的摩擦系数减小了 7．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 8．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 9．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（）是液体的密度ρ（）的反比例函数，其图象如图所示（）．下列说法不正确的是（ ） A．h随ρ的增大而减小 B．当时， C．当时， D．当时， 10．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：）是它的受力面积S（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)求p关于S的函数关系式． (2)当时，求受力面积S的变化范围． C组·拓展延伸 11．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ） A．18 B．15 C．12 D．10 12．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 13．某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． (1)求今年5月份的产销额； (2)求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 14．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 15．已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $