专题03 认识实数、平方根与立方根 期中复习讲义(核心知识点+典例精讲+分层专项训练) 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题03认识实数、平方根与立方根期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解算术平方根、平方根、立方根的概念，掌握其表示方法与基本性质； · 辨析平方根与算术平方根，明晰平方根、立方根的区别与联系； · 理解无理数、实数的定义，能够对实数进行分类，掌握实数与数轴的对应关系； · 会求非负数的算术平方根与平方根，会求任意实数的立方根； · 掌握实数的大小比较方法，能够进行实数范围内简单运算。 ✵高频题型梳理 题型1.无理数的识别及大小估算 题型2.实数的概念理解 题型3.实数的分类与性质 题型4.实数与数轴 题型5.实数的大小比较 题型6.勾股定理与无理数 题型7.求一个数的算术平方根 题型8.利用算术平方根的非负性解题 题型9.估计算术平方根的取值范围 题型10.无理数整数部分、小数部分相关计算 题型11.平方根、立方根的概念理解 题型12.求一个数的平方根与立方根 题型13.已知一个数的平方根，求这个数 题型14.利用平方根解方程 题型15.算术平方根与立方根的综合应用 题型16分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、无理数的概念与识别 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。如，，，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)都是无理数. 2.常见的无理数 （1）所有开方开不尽的数的方根：如、. （2）化简后含有π的数：如-，2π,。 （3）无限不循环小数：如0.1010010001...（相邻两个1之间依次多一个0）。 知识点二、实数的概念与分类 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.两种分类方法 分类一：按定义（数的形式）分类 分类二：按正负性分类: 3.核心结论 0是有理数，不属于无理数；无理数分为正无理数与负无理数，0 不是无理数。 知识点三、实数的相关性质 1.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数，实数a的相反数是-a。 （2）性质：①a与b互为相反数则a+b=0；②0的相反数是0；③互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 2.倒数 （1）定义：乘积为1的两个实数互为倒数，非零实数a的倒数是。 （2）性质：①a与b互为倒数,则ab=1；②0没有倒数；③倒数等于本身的数是1和-1。 3.绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 （2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；②0的绝对值是0；③负数的绝对值是它的相反数。 设a表示一个实数，则｜a｜= 知识点四、实数与数轴的关系 1.实数与数轴上的点的一一对应关系 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 知识点五、实数的运算 1.运算范围：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算；正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算。有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然适用。 2.运算顺序：与有理数一致，先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左至右，有括号先算括号内。 知识点六、实数大小比较常用方法 1.数轴法：数轴上右边点对应的实数大于左边点对应的实数，即右大左小。 2.绝对值法：两个正数，绝对值越大，数越大；两个负数，绝对值越大，数越小。 3.平方法：对于两个正实数，若a>0,b>0，a2>b2，则a>b。 知识点七、算术平方根 1.算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0。 几何引入：已知正方形面积a，求边长，边长只能取算术平方根。 2.符号表示：a的算术平方根记作，读作 “根号a”，a叫做被开方数。 3. 必考核心：双重非负性 ① 被开方数非负：a≥0；负数不能作为被开方数， ② 算术平方根结果非负：≥0。 易错警示：先判断被开方数符号，负数不存在算术平方根。 4.基础恒等式 =a(a≥0) 文字解读：一个非负数算术平方根的平方，等于这个数本身。 算术平方根的估算 要估算“(a≥0)”的值，第一步先确定被估算数的整数范围，如＜7＜，所以2＜＜3；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续，即可估算“”的近似值。 知识点八、平方根 1.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。 例如：2和﹣2是4的平方根，简记为±2是4的平方根。 2.平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用符号﹣表示.所以正数a的平方根可以用符号±表示.读作“正、负根号a”. 例如：±=±6 3. 平方根三条性质 ◆正数有两个平方根，二者互为相反数； ◆0只有一个平方根，是0本身； ◆负数没有平方根。 4.开平方及步骤 ◆求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算。 ▶步骤 1：判断被开方数正负，负数直接写 “无平方根”； 步骤 2：正数先求出对应的算术平方根； 步骤 3：完整平方根结果必须标注±；0 的平方根直接写 0。 5. 核心模型：正数两平方根互为相反数 一个正数的两个平方根相加等于 0，据此列方程求字母参数。 知识点九、立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。 几何引入：已知正方体体积a，求棱长，棱长为。 2.立方根的表示方法 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，，其中a是被开方数，3是根指数。 例如：表示8的立方根，=2；表示﹣8的立方根，=﹣2. 中的根指数3不能省略。 3.立方根完整性质 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 开立方及步骤 ◆求一个数的立方根的运算叫做开立方；立方与开立方互为逆运算。 ★开立方时，被开方数可以是正数、负数或0 ▶步骤 1：观察被开方数正负； 步骤 2：找到对应完全立方数； 步骤 3：负数可将负号移至根号外简化计算。 ✵易错提醒 1.算术平方根的被开方数必须大于或等于0； 2.实数与数轴上的点一一对应，数轴上的点不只是表示有理数； 3.比较实数大小时，负数比较，绝对值大的实数反而更小； 4.注意区分 “16的平方根” 与 “的值”，=4； 5.无理数是无限不循环小数；无限循环小数属于有理数；无理数不一定都带根号，带根号的数也不一定是无理数； 6.表示算术平方根，结果为非负数；平方根记作±，切勿遗漏正负号； 7.负数没有平方根，但负数存在立方根；立方根的符号与被开方数保持一致。 ✵典例精讲 题型1.无理数的识别及大小估算 1．下列实数中表示无理数的是（     ） A． B． C．0 D．5 2．若n为正整数，且满足，则________． 3．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 题型2.实数的概念理解 1．实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知实数m，n满足，则________． 3．判断正误，并举例说明： （1）不带根号的数都是有理数；（    ） （2）两个无理数的和还是无理数．（    ） 题型3.实数的分类与性质 1．在实数，，，，，中无理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．的相反数是_________． 3．写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 题型4.实数与数轴 1．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A所表示的数是_________________． 3．尺规作图：在如图的数轴上作出表示的点A． 题型5.实数的大小比较 1．在0、1、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 2．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 3．比较大小： (1)与； (2)，与． 题型6.勾股定理与无理数 1．如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．在如图所示的数轴上，先以单位长度为边长画一个正方形，再以实数对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴相交于，两点（点在点的右边），则点所表示的实数是______． 3．如图所示，已知，，． (1)数轴上点A所表示的数为________； (2)在数轴上找出对应的点，并说明该点表示的数为的理由；（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小． 题型7.求一个数的算术平方根 1．下列各数中，属于无理数的是（        ） A．0 B． C． D． 2．计算：________． 3．当时，求的值． 题型8.利用算术平方根的非负性解题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则______． 3．若，求的平方根． 题型9.估计算术平方根的取值范围 1．已知，且，则的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．已知．下列关于m的四种说法： ①m是整数；②m的值有两个，且它们互为相反数；③m是10的平方根；④． 其中说法正确的序号是______． 3．根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 题型10.无理数整数部分、小数部分相关计算 1．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 2．的整数部分为m．小数部分为n．则的值为________． 3．先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分是___________； (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 题型11.平方根、立方根的概念理解 1．与是某正数的两个不相等的平方根，则这个正数是(     ) A． B． C． D． 2．已知与互为相反数，则的算术平方根为_____． 3．计算或求值： (1)； (2)． 题型12.求一个数的平方根与立方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．的立方根是________； 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 题型13.已知一个数的平方根，求这个数 1．若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（     ） A．4 B．7 C．18 D．49 2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是___________． 3．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值； (2)求的算术平方根． 题型14.利用平方根解方程 1．若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 2．关于的方程的解是______． 3．解方程： (1)； (2)． 题型15.算术平方根与立方根的综合应用 1．已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 2．已知x的立方根是，y的算术平方根是1，则的值为______． 3．计算与解方程： (1)． (2)． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 2．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 3．若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 4．已知的平方根是，的立方根是，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．小斗把长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和5，，连接，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为______． 7．当 时， 也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数．”若 ，则的值为 ________________________． 8．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 三、解答题 9．解答题 (1)已知下列各有理数：，0，，， ，，请画一条数轴并在数轴上标出表示这些数的点，并用“”把这些数连起来． (2)把下列各数填在相应的大括号里： ，， 整数集合：｛      } 非负数集合：｛         } 负分数集合；｛            } 10．按要求求值 (1)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． (2)已知，求的立方根． 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 12．数轴上表示的对应点分别为点A，点B，点B关于点A的对称点为点C． (1)求两点之间的距离； (2)求点C所表示的数； (3)若点D与原点O的距离等于点A与点B的距离，求点D所表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03认识实数、平方根与立方根期中复习讲义 ✵复习目标 理解算术平方根、平方根、立方根的概念，掌握其表示方法与基本性质； 辨析平方根与算术平方根，明晰平方根、立方根的区别与联系； 理解无理数、实数的定义，能够对实数进行分类，掌握实数与数轴的对应关系； 会求非负数的算术平方根与平方根，会求任意实数的立方根； 掌握实数的大小比较方法，能够进行实数范围内简单运算。 ✵高频题型梳理 题型1.无理数的识别及大小估算 题型2.实数的概念理解 题型3.实数的分类与性质 题型4.实数与数轴 题型5.实数的大小比较 题型6.勾股定理与无理数 题型7.求一个数的算术平方根 题型8.利用算术平方根的非负性解题 题型9.估计算术平方根的取值范围 题型10.无理数整数部分、小数部分相关计算 题型11.平方根、立方根的概念理解 题型12.求一个数的平方根与立方根 题型13.已知一个数的平方根，求这个数 题型14.利用平方根解方程 题型15.算术平方根与立方根的综合应用 题型16分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、无理数的概念与识别 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。如，，，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)都是无理数. 2.常见的无理数 （1）所有开方开不尽的数的方根：如、. （2）化简后含有π的数：如-，2π,。 （3）无限不循环小数：如0.1010010001...（相邻两个1之间依次多一个0）。 知识点二、实数的概念与分类 1.实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2.两种分类方法 分类一：按定义（数的形式）分类 分类二：按正负性分类: 3.核心结论 0是有理数，不属于无理数；无理数分为正无理数与负无理数，0 不是无理数。 知识点三、实数的相关性质 1.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数，实数a的相反数是-a。 （2）性质：①a与b互为相反数则a+b=0；②0的相反数是0；③互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 2.倒数 （1）定义：乘积为1的两个实数互为倒数，非零实数a的倒数是。 （2）性质：①a与b互为倒数,则ab=1；②0没有倒数；③倒数等于本身的数是1和-1。 3.绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 （2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；②0的绝对值是0；③负数的绝对值是它的相反数。 设a表示一个实数，则｜a｜= 知识点四、实数与数轴的关系 1.实数与数轴上的点的一一对应关系 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。 知识点五、实数的运算 1.运算范围：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算；正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数都可以进行开立方运算。有理数的运算法则与运算律在实数范围内仍然适用。 2.运算顺序：与有理数一致，先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左至右，有括号先算括号内。 知识点六、实数大小比较常用方法 1.数轴法：数轴上右边点对应的实数大于左边点对应的实数，即右大左小。 2.绝对值法：两个正数，绝对值越大，数越大；两个负数，绝对值越大，数越小。 3.平方法：对于两个正实数，若a>0,b>0，a2>b2，则a>b。 知识点七、算术平方根 1.算术平方根定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0。 几何引入：已知正方形面积a，求边长，边长只能取算术平方根。 2.符号表示：a的算术平方根记作，读作 “根号a”，a叫做被开方数。 3. 必考核心：双重非负性 ① 被开方数非负：a≥0；负数不能作为被开方数， ② 算术平方根结果非负：≥0。 易错警示：先判断被开方数符号，负数不存在算术平方根。 4.基础恒等式 =a(a≥0) 文字解读：一个非负数算术平方根的平方，等于这个数本身。 算术平方根的估算 要估算“(a≥0)”的值，第一步先确定被估算数的整数范围，如＜7＜，所以2＜＜3；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续，即可估算“”的近似值。 知识点八、平方根 1.平方根定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根）。 例如：2和﹣2是4的平方根，简记为±2是4的平方根。 2.平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用符号﹣表示.所以正数a的平方根可以用符号±表示.读作“正、负根号a”. 例如：±=±6 3. 平方根三条性质 ◆正数有两个平方根，二者互为相反数； ◆0只有一个平方根，是0本身； ◆负数没有平方根。 4.开平方及步骤 ◆求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；平方与开平方互为逆运算。 ▶步骤 1：判断被开方数正负，负数直接写 “无平方根”； 步骤 2：正数先求出对应的算术平方根； 步骤 3：完整平方根结果必须标注±；0 的平方根直接写 0。 5. 核心模型：正数两平方根互为相反数 一个正数的两个平方根相加等于 0，据此列方程求字母参数。 知识点九、立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。 几何引入：已知正方体体积a，求棱长，棱长为。 2.立方根的表示方法 一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，，其中a是被开方数，3是根指数。 例如：表示8的立方根，=2；表示﹣8的立方根，=﹣2. 中的根指数3不能省略。 3.立方根完整性质 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 开立方及步骤 ◆求一个数的立方根的运算叫做开立方；立方与开立方互为逆运算。 ★开立方时，被开方数可以是正数、负数或0 ▶步骤 1：观察被开方数正负； 步骤 2：找到对应完全立方数； 步骤 3：负数可将负号移至根号外简化计算。 ✵易错提醒 1.算术平方根的被开方数必须大于或等于0； 2.实数与数轴上的点一一对应，数轴上的点不只是表示有理数； 3.比较实数大小时，负数比较，绝对值大的实数反而更小； 4.注意区分 “16的平方根” 与 “的值”，=4； 5.无理数是无限不循环小数；无限循环小数属于有理数；无理数不一定都带根号，带根号的数也不一定是无理数； 6.表示算术平方根，结果为非负数；平方根记作±，切勿遗漏正负号； 7.负数没有平方根，但负数存在立方根；立方根的符号与被开方数保持一致。 ✵典例精讲 题型1.无理数的识别及大小估算 1．下列实数中表示无理数的是（     ） A． B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】根据无理数定义分别对、0、5、进行判断即可得答案. 【详解】解：、0、5均为有理数，为无理数，故A、C、D错误，B正确. 2．若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先确定的取值范围，再推导的范围，结合条件得到正整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∵ 为正整数，且满足， ∴ ． 3．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1) 解：∵， ∴，设， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴，即； (2) 【分析】（1）首先由得到，设，然后同题干的方法求解； （2）设，然后同题干的方法求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且 ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型2.实数的概念理解 1．实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 2．已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 3．判断正误，并举例说明： （1）不带根号的数都是有理数；（    ） （2）两个无理数的和还是无理数．（    ） 【答案】（1）×，如是无理数；（2）×，如是有理数 【分析】（1）由题意直接根据有理数的定义进行分析判断即可； （2）由题意直接根据无理数的加法进行分析判断即可. 【详解】（1）错误，如 π 是无理数； （2）错误，如+(−) 是有理数 【点睛】本题考查实数，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键. 题型3.实数的分类与性质 1．在实数，，，，，中无理数的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先化简可开尽的根式，再逐一判断各数是否为无理数，统计个数． 【详解】解：，，是有理数． ，，是无理数，共3个． 2．的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：的相反数是． 3．写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 题型4.实数与数轴 1．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴点A处所表示的数为． 2．如图，数轴上点A所表示的数是_________________． 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得． 【详解】解：∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为， ∴数轴上点所表示的数是． 3．尺规作图：在如图的数轴上作出表示的点A． 【答案】解：如图，点A为所求． 【详解】解：如图，点P所表示的数是4，点C所表示的数是3，轴，且， ∴， 以点P为圆心，PD为半径，画弧交数轴于点B，则， 作数轴，且，连接，则， 以点P为圆心，为半径，画弧交数轴于点A，则， ∴点A距原点的距离为， 即点A在数轴上所表示的数是． 作图略 题型5.实数的大小比较 1．在0、1、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据实数比较大小的规则，负数小于0、正数大于0，两个负数绝对值大的数更小，排出四个数的顺序找到最小值． 【详解】解：， ， 最小的数是． 2．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】两个正分数分母相同，只需比较分子的大小，将整数化为二次根式后比较被开方数即可得到结果． 【详解】解：∵两个分数的分母都是，且均为正数， ∴只需比较分子和的大小， ∵，且， ∴， ∴． 3．比较大小： (1)与； (2)，与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方法比较负数大小，先比较其平方值的大小，平方值大的反而小． （2）利用立方法比较正数立方大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． 题型6.勾股定理与无理数 1．如图，数轴上点表示数，点表示数．以为边长作正方形，再以为圆心、长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，根据半径相等得出的长，结合点的位置即可求解． 【详解】解：∵点表示数，点表示数， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵以为圆心、长为半径画弧交数轴正半轴于点， ∴， ∴点表示的数是． 2．在如图所示的数轴上，先以单位长度为边长画一个正方形，再以实数对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴相交于，两点（点在点的右边），则点所表示的实数是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆的半径，再根据数轴解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为， 即圆的半径为， 又∵点在原点右侧， ∴点所表示的实数是． 3．如图所示，已知，，． (1)数轴上点A所表示的数为________； (2)在数轴上找出对应的点，并说明该点表示的数为的理由；（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小． 【答案】(1)； (2)解：如图，在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交数轴正半轴于点，则点所表示的数为． 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理，得， 所以，故点表示的数为． (3)． 【分析】（1）根据勾股定理解出的值，由已知条件可得出的值，结合数轴即可得到数轴上点A所表示的数是多少； （2）结合勾股定理，在数轴上找出对应的点； （3）负数比大小，数字大的反而小． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理，得， 所以． 因为点在数轴的负半轴上，所以点所表示的数为． （2）略 （3）解：，，， ， ． 题型7.求一个数的算术平方根 1．下列各数中，属于无理数的是（        ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 0，是整数，是分数，均为有理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 2．计算：________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个就叫做的算术平方根． 【详解】解：∵，且算术平方根为非负数， ∴． 3．当时，求的值． 【答案】 【分析】将，代入待求式，按运算顺序计算化简即可． 【详解】 把，代入， 得 ． 题型8.利用算术平方根的非负性解题 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两非负式和为0则各式均为0，据此求，的值后代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 2．若，则______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 3．若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 题型9.估计算术平方根的取值范围 1．已知，且，则的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解：，，，， ， 故选：C． 2．已知．下列关于m的四种说法： ①m是整数；②m的值有两个，且它们互为相反数；③m是10的平方根；④． 其中说法正确的序号是______． 【答案】 ②③ 【分析】由得，逐个判断四个说法的正误即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ①不是整数，也不是整数，故①错误； ②的值是和，，二者互为相反数，故②正确； ③根据平方根的定义，若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，，所以是的平方根，故③正确； ④当时，，不满足，故④错误， 因此正确的序号是②③． 3．根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 【答案】(1) (2)；137 (3)183和184 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得求解即可； （3）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴整数n值为183和184． 题型10.无理数整数部分、小数部分相关计算 1．已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 2．的整数部分为m．小数部分为n．则的值为________． 【答案】/ 【分析】先估算的大小范围，得到整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴的整数部分 ∴ 代入计算得： ． 3．先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． (1)的整数部分是___________，小数部分是___________； (2)的小数部分是___________； (3)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）先根据算术平方根的定义估算大小，再估算的大小即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴的整数部分是，小数部分是； （3）解：∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， ∴ ． 题型11.平方根、立方根的概念理解 1．与是某正数的两个不相等的平方根，则这个正数是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 与是某正数的两个不相等的平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数为． 2．已知与互为相反数，则的算术平方根为_____． 【答案】 【分析】根据两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，列方程求出，再求算术平方根． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的算术平方根为． 3．计算或求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求算术平方根，再计算减法即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴． 题型12.求一个数的平方根与立方根 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误. 2．的立方根是________； 【答案】 【分析】先计算的值，再求所得结果的立方根即可． 【详解】解：， ， 的立方根是， 即的立方根是． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）先整理，再开平方可得解； （2）先整理，再开立方得出解． 【详解】（1）解：， 整理，得， 开平方，得， 即或， ∴或； （2）解：， 整理，得， 开立方，得， 即， ∴． 题型13.已知一个数的平方根，求这个数 1．若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（     ） A．4 B．7 C．18 D．49 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， ∴这个正数为． 2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是___________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出，再计算得到这个正数； 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， 把代入得其中一个平方根为， ∴这个数为． 3．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义列等式求，，通过估算的取值范围求； （2）将，的值代入代数式计算，再求所得结果的算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴，即； ∵， ∴的整数部分； （2）将，，代入， 得， 又∵， ∴ 的算术平方根为． 题型14.利用平方根解方程 1．若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，关键是掌握 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 2．关于的方程的解是______． 【答案】， 【分析】将看作整体，对等式两边直接开平方求解． 【详解】解：， 两边开平方得，或， 解得，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 或， 解得或． 题型15.算术平方根与立方根的综合应用 1．已知的立方根为，则的算术平方根是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入求出的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根为， ， 解得， ， 的算术平方根为， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 2．已知x的立方根是，y的算术平方根是1，则的值为______． 【答案】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴． 3．计算与解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先利用平方差公式、立方根的性质化简各项，再进行加减乘除混合运算即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 或， ，． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数的平方一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据无理数的定义逐项进行判断． 【详解】解：A. 无限小数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； B. 带根号的数不一定是无理数，例如，该选项说法错误； C. 无理数的平方不一定是有理数，例如，该选项说法错误； D. 无理数一定是无限不循环小数，该选项说法正确． 2．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得出的长，最后根据点的坐标及点的位置求出点表示的数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为和， ， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点 ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点表示的数为． 3．若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，代入计算后求结果的平方根． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为，则的平方根为． 4．已知的平方根是，的立方根是，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的平方根是，的立方根是， ，， 解得，， ． 5．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 二、填空题 6．小斗把长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和5，，连接，以点B为圆心，长为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为______． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理求出，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：A、B两点在数轴上对应的数分别为和5， ， ， ， 在中，， 由作法可知，， 点E在数轴上所表示的数为． 7．当 时， 也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数．”若 ，则的值为 ________________________． 【答案】 【分析】根据题干给出的“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”的结论，即可求解． 【详解】解：， 与互为相反数， 根据题干结论，可得与互为相反数， ， 整理得， 解得． 8．小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 三、解答题 9．解答题 (1)已知下列各有理数：，0，，， ，，请画一条数轴并在数轴上标出表示这些数的点，并用“”把这些数连起来． (2)把下列各数填在相应的大括号里： ，， 整数集合：｛      } 非负数集合：｛         } 负分数集合；｛            } 【答案】(1)； (2)，0，；0，，3.142，，；，， 【分析】（1）先化简绝对值与相反数，再画出数轴并标出各数对应的点，依据数轴上左边的数总小于右边的数，将各数从小到大用小于号连接． （2）先把百分数化简，再对照整数、非负数、负分数的定义逐个判断，将数字分类填入对应的集合，注意非负数包含正无理数，负分数只包含有理数． 【详解】（1）解：， 在数轴上表示如图所示：略 由数轴可知，． （2）解：， 整数集合：｛，0，｝ 非负数集合：｛0，，3.142，，｝ 负分数集合：｛，，｝ 10．按要求求值 (1)若是的整数部分，是的小数部分，求的值． (2)已知，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）估算出的取值范围，从而确定m、n的值，再代入求值即可； （2）根据非负数的性质求出x、y的值，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为4，即， ∴的小数部分为，即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 12．数轴上表示的对应点分别为点A，点B，点B关于点A的对称点为点C． (1)求两点之间的距离； (2)求点C所表示的数； (3)若点D与原点O的距离等于点A与点B的距离，求点D所表示的数． 【答案】(1)两点之间的距离为 (2)点所表示的数为 (3)点所表示的数为或 【分析】（1）根据数轴上两点间距离进行解答即可； （2）根据点B在点A的右侧，点B关于点A的对称点为点C，求出点C表示的数即可； （3）分两种情况：当点D在原点右侧时，当点D在原点左侧时，分别求出点D所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上表示的对应点分别为点A，点B， ∴两点之间的距离为； （2）解：∵数轴上表示的对应点分别为点A，点B，且， ∴点B在点A的右侧， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴点C表示的数为：； （3）解：∵两点之间的距离为， ∴点D与原点O的距离为， 当点D在原点右侧时，点所表示的数为， 当点D在原点左侧时，点所表示的数为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $