河南省开封市尉氏县民开学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学试卷 （120分钟 150分） 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效. 4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 2. 已知，，均为非零向量，其中，不共线且满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为D，命题p：对任意，存在，，使得且，命题q：的值域为R，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是的中点，若，且，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 与向量平行的单位向量为 C. 若与的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 11. 设，若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________． 13. 已知α∈ β∈若，则等于_______. 14. 已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，全集，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 17. 已知数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 18. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，设函数的两个零点为，，证明． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为． （1）求该椭圆的标准方程． （2）过该椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交该椭圆于，两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案： 1.【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质，代入已知的、即可快速算出结果. 【详解】已知，，，代入得： . 2.【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再结合数量积的运算律分别讨论充分性与必要性即可判断. 【详解】因为 均为非零向量， 不共线，且 ， 所以， 充分性：若 ，则，即， 整理得，即，所以 必要性：若 ，则，即， 所以，即，所以 又 ，所以 ， 所以，“”是“”的充分必要条件. 3.【答案】C 【解析】 【详解】由，所以， 由，所以. 所以. 4.【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内角和求，由正弦定理即可求. 【详解】因为，， 所以， 由得. 故选：B 5.【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 6.【答案】D 【解析】 【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，原等式化为：，整理得：， 因为，则， ∴， 所以. 故选：D. 7.【答案】B 【解析】 【详解】函数的值域为R，值域包含所有大于a的实数，显然存在满足的​； 因为值域也包含所有小于-a的实数，满足的同样存在， 因此q可以推出p，p是q的必要条件 若，值域为，比数集R少了一个元素0， 存在,，使得且，此时满足命题p，但不满足命题q，即，充分性不成立， 所以p是q的必要不充分条件. 8.【答案】B 【解析】 【详解】设，则，解得，即，由题意，所以，所以．又设，则，两式相减得，即，所以，又，化简得，． 故选B． 9.【答案】AD 【解析】 【详解】选项 A，，令 ，即 ，解得 ，A 正确； 选项 B， ，与 平行的单位向量有同向、反向两个， 即，B 错误； 选项 C，夹角为钝角的条件：① 数量积小于 0，② 两向量不反向共线， 由 ，得 ； 若与 共线，则，解得 （此时夹角为 ，不属于钝角，需排除）， 因此 的取值范围是 ，而非 ，C 错误； 选项 D，当 时，，，，故向量 在 上的投影向量为 ，D 正确. 10.【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 11.【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由得，所以，得 ， 而，故，即，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由二倍角公式，，C错误； 对于D，根据AB的结论，，D正确. 12.【答案】120 【解析】 【分析】方法一：利用等比数列前项和的分段性质求解；方法二：用等比数列求和公式求解. 【详解】方法一： 等比数列中，仍成等比数列，公比为， ，，则， 所以， ， 所以, ， 所以. 方法二： ， 代入，, . 13.【答案】## 【解析】 【分析】根据角的变换及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为α∈ β∈ ， 所以 则 ， 所以. 14.【答案】 【解析】 【分析】设，根据高斯函数运算可得，然后可得的值域，然后取交集即可. 【详解】设， 则有 当时，有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 3 0 1 2 4 5 6 此时，的所有可能值为， 当时，； 故的值域， 即个位数为的数字，与的交集有： ， 共个元素， 加上5个元素，则共有个元素， 即. 15.【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，根据集合补集的定义，结合数轴进行求解即可； （2）根据空集的定义，结合数轴进行求解即可. 【小问1详解】 时，，或 或， 或 【小问2详解】 若，则有以下两种情况： ①时，即，得； ②时，或，即或， 解得； 即时． 故时，的取值范围为． 16：【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 17：【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到； （2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域； （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值. 【小问1详解】 由题意，函数 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得. 故 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象. 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象. 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 【小问3详解】 由方程，即，即， 因为，可得， 设，其中，即，结合正弦函数的图象， 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即 解得 所以. 综上， 【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题； （2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法； 18：【答案】（1） （2） （3）要证，即证，只需证， 不妨设，由（2）知，可得， 由（2）知在上单调递减，即证， 因为，只需证， 设，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，即， 所以，命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义结合函数的点斜式方程求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性及最值，结合题意列式求解即可； （3）要证，即证，只需证，不妨设，即证，只需证，设，利用导数结合基本不等式讨论求出函数的单调性，可得，继而即可证明. 【小问1详解】 当时，，， 函数在处的切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，当时，恒成立， 在上单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又时，，所以要使有2个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 19：【答案】（1） （2）证明：设直线． 由，消去可得， 整理可得 显然． 设，， 则， 直线，直线 将两直线方程联立可得， 即 代入，可得 因为， 代入上式，可得 所以，所以点在定直线上； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，求解即可； （2）设直线，与椭圆方程联立，求出两直线的交点，结合韦达定理，即可得证； （3）设，设，根据夹角公式及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为点到点的距离的最大值为3，所以． 又， 所以，． 由，得， 所以该椭圆的方程为; 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设，． 因为，，所以， 设， 由两直线的夹角公式得 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立 因为，且函数在上单调递增， 所以，即， 即的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $