精品解析：河南、甘肃部分校联考2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2027 届河南省高三大联考 数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的整数解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点 ， 及直线上一点，外接圆的直径为，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知正数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量（）与，函数，若与是的两个极值点，且在区间内没有极值点，则（ ） A. B. 的单调递减区间为（） C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象 D. 的最大值为 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量，，若，则实数__________． 13. 已知 ，则 ______． 14. 若，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）若 的最小正周期为，求的单调递减区间； （2）若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 17. 在中，内角所对的边分别为．已知 ，． （1）求 ； （2）若为锐角三角形，为延长线上一点，且，求 面积的取值范围． 18. 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 19. 对于函数，记，（）．若是使无零点的最小正整数，则称是“阶单调函数”． （1）判断函数是几阶单调函数； （2）若函数（）是阶单调函数，记，当实数，变化时，求的最小值； （3）设，函数，当时，恒成立，且存在，使得，试用表示，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027 届河南省高三大联考 数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的整数解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先因式分解求出不等式的解集，再数出其中的整数. 【详解】由 得 ，解得 . 所以不等式的整数解为 ，共个. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，则. 3. 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用消去，把所求化为的二倍角余弦，再用余弦二倍角公式求解. 【详解】由得，所以. 于是. 又， 所以. 4. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求. 【详解】由条件可知，，则， 根据余弦定理. 5. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件消去，得到，再用基本不等式求最小值. 【详解】由得. 因为，，故，且， 所以，因为， 当，时等号成立， 又，所以，故， 所以的最小值为. 6. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】已知函数，若是奇函数，则有， 即，得到，化简得， 要使等式对定义域内的恒成立，则必须满足，解得或， 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 所以，若，则是奇函数；若是奇函数，则或； 因此“”是“为奇函数”的充分不必要条件，故A正确. 7. 已知点 ， 及直线上一点，外接圆的直径为，则 （ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由圆过 知圆心在 轴上，设出圆心与 的坐标，求出点 的坐标，再求数量积. 【详解】由，知线段的垂直平分线为轴，故外接圆的圆心在轴上，设. 设，因为直径，为的中点， 所以， 即 于是，， 故. 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，结合韦达定理即可求解. 【详解】，定义域为. 令， 当时，，，单调递减，值域为； 当时，，，单调递增，值域为. 因为有4个实数根，，，（）， 所以有两个大于的不等实根， 所以，则；，则. 由得，即，则. 所以. 由得. 则，即. 所以，解得. 由得. 所以. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知正数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件确定 的大小关系，再借助相应函数的单调性或作差法逐项判断. 【详解】因为 ，， ，得 ，所以 . 对于 A，因为 在 上单调递增，则，故A 正确； 对于 B，， 其中 ， 不能确定正负. 例如取 ，，则 ，故B 错误； 对于 C，，故C 正确； 对于 D，因 是减函数，则得 ，故D 正确. 10. 已知向量（）与，函数，若与是的两个极值点，且在区间内没有极值点，则（ ） A. B. 的单调递减区间为（） C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积与模的坐标表示、辅助角公式化简得到，进而结合三角函数的性质及题设得到，可得，再根据诱导公式判断A；根据正弦函数的单调性判断B；根据函数的平移判断C；化简得到，进而求解判断D. 【详解】由，， 因为与是的两个极值点，且在区间内没有极值点， 所以，则，即，则. 对于A，由，故A错误； 对于B，令，得， 则的单调递减区间为（），故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 得到，故C正确； 对于D，由C知，， 则， 因为，所以时，取得最大值，故D正确. 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举反例即可；对于B，利用函数零点和符号确定、的关系；对于C，利用图象关于原点对称的性质及导数判断交点个数；对于D，取边界值检验D项，并证明该值确实满足原不等式． 【详解】对于A，取，则，该函数严格递增，输出幅度值与输入幅度值一一对应，但，A错误． 对于B，由题意得当且仅当． 又，因此，． 若，不妨设，取，则，，，所以，与题意矛盾． 因此一定有，B正确． 对于C，此时，其图象与边界均关于原点对称，只需判断右半平面的交点个数． 当时，，由得，故交点横坐标满足 由，列增减表如下： − + ↘ ↗ 由表可知，方程在内恰有2个不同的解，对应2个交点． 当时，，由边界方程得，故交点横坐标满足 由，，且，知该区间恰有个交点． 边界上，且、、时均非交点，故右半平面恰有个交点． 结合关于原点的对称性，共有个交点，C正确． 对于D，当时，． 取，则当时， 所以当时，对任意均有，但不满足，D错误． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量，，若，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 即， 解得， 因，，则， 解得． 13. 已知 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】对 进行切化弦，并由积化和差把两边都化为的式子，即可求得  ． 【详解】由 有意义知 ，，. 所以 ， 所以. 又， . 所以 ， 即 ，所以 . 14. 若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：把条件整理为“同构”形式，用同一函数的单调性得到，再把化为的函数求值域；方法二：由原条件得分析得到，令，则，构造求导确定单调性即可求解.. 【详解】方法一：因，分母，原条件等价于 ，即. 因右边为正，故，即. 令，则. 设，，则， 故在上单调递增，由得，即. 于是.设，，则， 故在上单调递减；当时，当时. 所以. 反之，任取，令，代入原式恒等于，故上述范围内的值都能取到. 方法二：由原条件得， 因为，所以代入并整理， 得. 因，，且与同号， 两个同号实数相加等于 0，只能两项都等于 0，故两项只能同时为零，即. 令，则，. 令，， 恒成立， 故 又时， 所以. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）若 的最小正周期为，求的单调递减区间； （2）若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先用两角和与差公式与二倍角公式把化为一个余弦型函数，由最小正周期求出，再解不等式得单调递减区间； （2）换元，把“区间内恰有 4 个根”转化为区间右端点与的根的位置关系. 【小问1详解】 ， 所以. 由最小正周期 得，即. 令，解得，. 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 方程 即. 令. 由， 得 . 在 上， 的根依次为 方程在内恰有4个根，等价于区间含前4个根而不含第 5 个根， 即，解得 . 所以的取值范围是. 16. 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后因式分解，由比较两根的大小，得单调区间； （2）先求在上的最值，把“充分条件”转化为最值所满足的不等式组. 【小问1详解】 的定义域为，且 . 因，，两根与满足， 故当或时，，当时，. 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故最大值为. 又，，而， 故在上的最小值为. “是 的充分条件”即当时恒有， 故，且， 解得且. 因，所以的取值范围是. 17. 在中，内角所对的边分别为．已知 ，． （1）求 ； （2）若为锐角三角形，为延长线上一点，且，求 面积的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）用余弦定理把 化为 ，求出 ； （2）由角的关系得 ，把面积表示为 的函数，再由锐角三角形的条件确定的范围.进而可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，. 代入已知条件得. 因，故. 又 ，所以 . 【小问2详解】 因在的延长线上， 依次共线， 故. 在中，， 所以，从而. 于是 . 由， 及余弦定理得 . 因为锐角三角形，故 且 ， 即且，解得 且. 反之，当 时，取，，， 则，， 故确为锐角三角形； 再在射线上取，即有，条件可以取到. 所以 . 18. 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）此时. 令， ，则 ， 又，， 故在上有唯一零点 ，即. 因， 所以 当 时 ； 由解析式可知在上单调递增、 当时，恒成立，故在上单调递减， 且， 所以的最大值点 ， 不妨设 . 由及两侧的单调性得： ，且 ，. 令，，， 则， （因 ，下面证明， 证明：令，则在时恒成立， 即在单调递增，又当时，，故 即）， 故、在上均单调递增. 由 得 ； 由 得 . 又，，故， 所以，即 ，得证. 【解析】 【分析】（1）求导得切线斜率，用点斜式写出切线方程； （2）（ⅰ）分别求 的最小值与 的最大值，由互为相反数列方程求 ；（ⅱ）先确定 的分段表达式与最大值点 ，再由 把 分居 两侧，通过比较单调函数的增量证明结论. 【小问1详解】 ，故 ，. 所以曲线 在点 处的切线方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ） 的定义域为 ，. 当时，当时， 故的最小值为. 又 ，故 在 上单调递增、在 上单调递减，最大值为 . 由题意，解得 . 19. 对于函数，记，（）．若是使无零点的最小正整数，则称是“阶单调函数”． （1）判断函数是几阶单调函数； （2）若函数（）是阶单调函数，记，当实数，变化时，求的最小值； （3）设，函数，当时，恒成立，且存在，使得，试用表示，并证明． 【答案】（1）阶单调函数 （2） （3） 由题意知，，． 因为当时，恒成立，且存在，使得， 即恒成立，且. 令，则在上恒成立，且． 因此是的最小值点，也是极小值点，所以． 由，得． 由，得． 所以，解得或． 又因为，因此. 下面证明： 因为且，所以角的终边在第三象限， 即（），因为，所以①． 又因为， 由，得， 即（），且在上恒成立，所以， 于是．② 综合①②，得，所以． 【解析】 【分析】（1）根据“阶单调函数”的定义及零点存在性定理判断可得； （2）先由函数是阶单调函数，利用导数讨论得，进而将问题转化为曲线：上的点到直线：上的点的距离.再构造函数，用导数判断成立，得曲线在切线上方（除切点以外），再用点到直线间的距离公式计算可得. （3）令，由条件可得在上恒成立，且及，进而可得.证明：先由三角函数值的正负号可得角（），进而可得；又由，再结合条件可得，从而可得及. 【小问1详解】 因为，得， 易得，所以不是阶单调函数． ，则，， 由零点存在性定理得在上存在零点，所以不是阶单调函数． ，因为，所以，无零点， 所以是阶单调函数． 【小问2详解】 由函数，的定义域为， 且，． 因为是阶单调函数，所以在上无零点． 若，当充分大时，必存在，， 所以有零点，不符合条件． 若，当充分大时，必存在，， 同理，不符合条件． 所以，． 验证：的零点为，，无零点，符合题意． 表示曲线：上的点到直线：上的点的距离． 由，可得，令，得，切点为， 则曲线上与直线平行的切线方程为． 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 即，所以，因此曲线在切线上方（除切点以外）． 直线在切线下方，故最短距离即为切点到直线的距离， 所以的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $