2026-2027学年高三上学期数学10月月考训练卷

高中数学10月月考训练卷 考试范围:集合与常用逻辑用语、函数、导数、平面向量与复数、解三角形、数列 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，点在直线上，且，则点的坐标为（） A． B． C． D．或 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 5．已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 7．已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．97 B．98 C．99 D．100 8．已知定义在上的可导偶函数，满足，，，则（    ） A．7091 B．4561 C．4052 D．2026 二、多选题 9．已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B．数列的公比 C． D．若，则数列的前项和 10．已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（    ） A．集合具有性质 B．当时，具有性质的集合有无数个 C．若集合具有性质，且，则 D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，下列结论正确的是（    ） A． B．是减函数 C． D．若，则 三、填空题 12．已知平面向量，均为单位向量，若，则__________． 13．设，则的共轭复数为______. 14．已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15．已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．设向量，且函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)已知，，求的值； (3)若函数在上有两个零点，求实数m的范围. 17．如图，在中，角，，所对的边分别为，，且． (1)求角； (2)为上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 18．设函数（其中）． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，函数在上的最大值为，试判断当为何值时，最小？ 19．已知函数． (1)时，求函数在处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围； (3)若时，，且恒成立，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《高中数学10月月考训练卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B C C D C B ABC ABD ACD 1．A 【详解】集合，故， 根据真子集定义可知，或者. 2．D 【分析】结合向量的性质得到，再利用向量数乘表示，解方程组得到P的两组坐标即可. 【详解】，因为在直线上，且，所以有两种情况： 同向得到，反向得到， 设，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的坐标为或. 3．B 【详解】， ，函数单调递增，，所以，即， ，，函数单调递增， 故，即， 综上可得：，即. 4．C 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 5．C 【分析】求出函数的导数，由已知结合二次函数零点分布求出的范围，计算并构造函数，再利用导数求出范围即可. 【详解】由（），求导得， 由函数有两个不同的极值点，得方程有两个不相等的正实根， 则，解得， 于是 ， 令（），求导得， 函数在上单调递增，则， 所以的取值范围为. 故选：C 6．D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 7．C 【详解】由，，可得，所以，等式两边同除，有，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以， 所以， 记，则，所以为递增数列，所以， 所以. 8．B 【分析】根据是定义在上的偶函数，得，对其求导可得到导函数的奇偶性；同时结合可得到导函数的周期性，进而得到函数的周期性；利用，，结合偶函数和周期函数的性质，求出一个周期的函数值和；计算2026包含几个完整周期以及余下的项，即可得到结果. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得； ，则，得导函数为奇函数，关于原点对称. ，对称轴为导函数的对称轴； 的周期为4，即. . 令，则，解得； ，即函数的周期为4. ，，则； ，，即一个周期内的和为9. . ， . 9．ABC 【分析】选项A，利用等比数列的性质求解；选项B，利用等比数列的定义求解；选项C，利用等比数列的通项公式和前项和公式求解；选项D，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列为等比数列，所以，又，则，故A正确； 因为，，所以，，故B正确； 因为，，所以，则，故C正确； 因为， 所以，故D错误. 10．ABD 【分析】利用列举法来配对两两数量积为，即可判断A，利用总满足性质，即可判断B，利用分类列举，并通过数量积为，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配对数量积为，即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确； 当时，令，， 则， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确； 若集合具有性质， 则取，则只可能是 根据，依次解得：， 因为，且要满足集合中元素互异性，所以, 检验：当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误； 由C选项可知：满足，此时 假设满足题意，则取，要使其存在正交向量， 即，因为，所以必须为负数，即，此时， 由，逐一检验可知，只有时，，符合， 以此类推可得：有穷数列的通项公式为， 下证明充分性： 对于任意且 不妨假设，总存在满足， 有穷数列的通项公式为,故D正确； 故选：ABD 11．ACD 【分析】对于A，直接令即可解得；对于B，令，可得为奇函数，利用的单调性即可判断的单调性；对于C，结合且即可判断；对于D，将转化为，分情况讨论即可． 【详解】对于A，令，得，解得，A正确； 对于B，令，则， 取，得，结合，故为奇函数， 由于当时，，故， 由于为奇函数，所以当时，，故， 因此不是减函数，B错误； 对于C，由于， 且，， 故，C正确； 对于D，由得， 两边同乘并整理得， 若，则，且， 故，不满足； 若，则，且， 故，不满足； 若，则， 故，满足； 若或，则，不满足， 因此不等式成立当且仅当，D正确． 12．1 【分析】由得，可得，再利用求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，均为单位向量，所以，则， 所以. 13． 【分析】对复数进行计算化简，然后得到的共轭复数. 【详解】 所以的共轭复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数的概念，属于简单题. 14． 【分析】根据导数的几何意义，将“直线恒不是曲线切线”转化为曲线导函数值恒不等于直线斜率，通过对应方程无实根求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，对其求导得： ， 直线的斜率为，若该直线是曲线的切线，则存在实数，使得曲线在处的切线斜率等于， 即： 整理得； 题目要求对任意实数，直线都不是曲线的切线，即上述关于的方程无实根， 由于对任意实数，均有，故，因此要使方程无实根，需满足： 解得， 即实数的取值范围为. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，， 当时，， 当时，， 所以， 所以（）， 所以. （2）由题可知， 所以， 令，则， 时，， 又时，，所以，， 因为， 所以. 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再由三角函数的性质即可求解； （2）由，得，进而求，再由即可求解. （3）函数在上有两个零点，得 的图象与的图象有两个交点，作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 所以最小正周期 令， 所以 （2）因为，所以， 又，所以， 所以， 所以 ； （3）因为函数在上有两个零点，所以在上有两个根， 所以的图象与的图象有两个交点，如下图所示： 因为，所以， 所以，此时，，， 若的图象与的图象有两个交点，则． 17．(1)； (2)（i）（ii）． 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及同角三角函数关系求解即可. （2）根据平面向量的线性运算得到， 再根据数量积运算律及基本不等式得到，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及，得， 因为，所以，则. 若，则，不满足条件，所以，所以， 因为，所以. （2）（i）由，得，，， 在中，由正弦定理得，， 在中， 由正弦定理得， 所以． （ii）由得，，则， 因此， 即，当且仅当时取等号， 则， 所以， 故当，时，的面积取得最大值． 18．(1)当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． (2)当时，取最小值 【分析】（1）利用导数，对参数分类，比较导数零点0与的大小，进一步求出单调区间. （2）先判断是否在区间内部，判断函数在区间内先减后增；最大值比较两个端点与；构造函数，采用作差法证明，得到；再对求导分析单调性，比较区间端点函数值，得到取最小对应的值. 【详解】（1）， 当时，恒成立，故在上单调递减，在单调递增； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，当，，；当，，；即时，，所以在上单调递增； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 令，则，所以在上递减，所以，从而，得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 令，则， 令，则， 在上递减，而，， 所以存在使得，且当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，，所以， 即在上恒成立，所以，当且仅当时等号成立． 综上所述，当时，取最小值. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意求出切点和斜率，再求解切线方程即可. （2）利用分离参数法将问题转化为，进而结合导数求解取值范围即可. （3）结合题意将问题转化为，再对参数范围分类讨论并结合导数求解即可. 【详解】（1）当时，，， 则，，得到切线方程为，即. （2）由题意得恒成立等价于， 令，则， 令，则在上单调递减， 又，所以当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以的取值范围为； （3）因为时，，所以由（2）可知：， 则等价于， 令， 当，即时，，， 所以，，不符合题意， 当，即时， 可得， 则在上单调递增，又， 所以恒成立，符合题意．所以的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $