广东清远市清城区清城中学2026-2027学年第一学期九年级数学学情自测试卷

清城中学2026-2027第一学期九年级限时练习卷 一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.菱形不一定具有的性质是（) A.对角线互相平分B.对角线相等C.每一条对角线平分一组对角D.对角线互相垂直 2.关于x的方程x2+3=一6x,下列说法错误的是（) A.二次项系数为1B.一次项系数为-6C.常数项为3D.它是一元二次方程 3.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点0.若∠AOB=60°，AB=4, 则BD的长为() A.8B.43C.4D.23 B 4.学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一 个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（) A.3B.名 C.6D.号 5.关于x的方程(k-1)xk2+1+2x+1=0是一元二次方程，则k的值是（) A.±1 B.0 C.1 D.-1 6.顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.无法确定 7.若x,x2是方程x2-5x+3=0的两个根，则.xx2十x1x3的值是() A.15 B.-15 C.5 D.3 8.如图，在△ABC中，点E,D,F分别在边AB,BC,AC上，且DE∥CA,DE+CF=AC.下列判断中 错误的是() A.四边形AEDF是平行四边形 B.若AD=EF,则四边形AEDF是矩形 C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形 D.若AD⊥EF,则四边形AEDF是正方形 B' D 9.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东 行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说：己知甲、乙二人同 时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步.乙一直向东走，甲 先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各 走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为x个单位时间，则可列方程为() A.102+(3x)2=(7x-10)2 B.102+(7x)2=(3x-10)2 C.102+(3x)2=(7x)2 D.102+(7x)2=(3x)2 10.如图，在菱形ABCD中，AB=5,AC=6,过点D作DE⊥BA,交BA 的延长线于点E,则线段DE的长为() A号 B.1 c跨 D.3 第1页（共4页） 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.一元二次方程x(x+2)=0的解为 12、已知x=m是一元二次方程x2-x+1=0的一个根，则代数式：2025一m2+m的值 是 13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD交于点0， 将△AB0向右平移得到△DCE,则四边形CED0的周长为 14.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标 记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘 中捕捞鱼.通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%，据此可 估计该鱼塘中鱼的条数为 15.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象 限，其中30°角的对边BC长为2，斜边AB的端点A、B分别在y轴的正半轴，x轴的 正半轴上滑动，连接OC,则线段OC的长度的最大值是 三.解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16.在解一元二次方程2x2一8x+6=0时，小李的解法如下： 第一步：x2-4x+3=0, 第二步：x2-4x=-3, 第三步：x2-4x+4=-3, 第四步：x-2)2=-3, 第五步：-3<0，.原方程无解 (1)小李的解法中“化二次项系数为1”是第步，这一步的依据是 (2)判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程. 17.一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字， 卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.一次从盒子中随机抽取2张卡片，用 画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率. (“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示) 18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程. 己知：Rt△ABC,∠ABC=90°，求作：矩形ABCD. 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O: ②连接B0并延长，在延长线上截取OD=OB;③连接AD,CD.所以四 边形ABCD即为所求作的矩形， 根据小东设计的尺规作图过程. (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)为什么这样作出的四边形是矩形？请写出证明过程， 第2页（共4页） 四.解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.已知关于x的方程-(2k+x+4k-之=0 (1)求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b,c恰好是这个方程的两个根，求 △ABC的周长 20.某果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元. (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的 情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现 该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少 元？ 21.【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活 动，同学们积极参与了矩形折叠活动· 图① 图② 图③ (I)如图①所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重 合，若∠AFB=60°，则∠AFE=∠AEF= (2)如图②所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD 相交于点F,过点D作DG∥BF交BC于点G,求证：四边形DFBG是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD相 交于点F,连接AE,若∠CBD=30°，CD=3V2,则AE的长为 第3页（共4页） 五.解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.项目式学习 如何裁剪出符合要求的长方形纸片？ 素材1 如图1，△ABC是腰长为40cm的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上， 甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸 片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上. 素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的3的长方形纸 片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形D 纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片. 2 图 任务1 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长。 任务2 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由 任务3 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值。 23.在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD,点C(6,4),现将矩形OBCD绕点0逆时针旋转(0°<∠E0B<180°）得到矩形OEFG, 点B,C,D的对应点分别为点E,F,G. (1)如图1，当点E恰好落在边CD上时，则EC的长为一（请直接写出答案）； (2)如图2，CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M,且CHMH, 求线段MF的长度； (3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PB,PE,BE,在矩形OBCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在，请 求出这个最大值；若不存在，请说明理由 图 图2 各用图 第4页（共4页） 清城中学2026-2027第一学期九年级限时练习卷 一.选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.菱形不一定具有的性质是 ( ) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.每一条对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.关于x的方程 下列说法错误的是 ( ) A.二次项系数为1 B.一次项系数为-6 C.常数项为3 D.它是一元二次方程 3. 如图,矩形 ABCD中,对角线AC、BD交于点O. 若∠AOB=60°,AB=4, 则BD的长为( ) A. 8 B. 4 C. 4 D. 2 4.学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高、跳远三个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是 ( ) D. C. A. B. 5.关于x的方程 是一元二次方程，则k的值是 ( ) A. ±1 B. 0 C. 1 D. - 1 6.顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.无法确定 7. 若x1,x2是方程 的两个根，则. 的值是( ) A. 15 B. - 15 C. 5 D. 3 8. 如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,AC上,且DE∥CA,DE+CF=AC.下列判断中错误的是( ) A.四边形AEDF是平行四边形 B. 若AD=EF,则四边形AEDF是矩形 C. 若AD平分∠BAC,则四边形AEDF 是菱形 D. 若AD⊥EF,则四边形AEDF 是正方形 9.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远?设甲、乙从出发到相遇所花时间为x个单位时间，则可列方程为( ) 10. 如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6, 过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点 E，则线段DE 的长为( ) B. 1 D. 第1页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 二.填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 一元二次方程x(x+2)=0的解为 . 12、已知x=m是一元二次方程 的一个根，则代数式： 的值是 13. 如图， 已知正方形ABCD的边长为 ,对角线AC,BD交于点O,将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO 的周长为 14.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼.通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在5%，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 15.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为2，斜边AB的端点A、B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长度的最大值是 . 三.解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 16.在解一元二次方程 时，小李的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步: ∵-3<0, ∴原方程无解. (1)小李的解法中“化二次项系数为1”是第 步，这一步的依据是 (2)判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程. 17.一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀.一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率.(“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D 表示) 18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程. 已知: Rt△ABC, ∠ABC=90°, 求作: 矩形ABCD. 作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O； ②连接BO并延长,在延长线上截取OD=OB;③连接AD,CD.所以四边形ABCD 即为所求作的矩形. 根据小东设计的尺规作图过程. (1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) (2)为什么这样作出的四边形是矩形?请写出证明过程. 第2页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 四.解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19.已知关于x的方程 (1)求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 20.某果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元. (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元? 21.【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动. (1)如图①所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点 C与点A重合，点D与点G重合，若∠AFB=60°, 则∠AFE= , ∠AEF= ; (2)如图②所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD 相交于点 F,过点 D 作 DG∥BF交BC于点G,求证: 四边形 DFBG是菱形; 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD相交于点F，连接AE，若∠CBD=30°, 则AE的长为 . 第3页(共4页) 五.解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分) 22.项目式学习 如何裁剪出符合要求的长方形纸片? 素材1 如图1，△ABC是腰长为40cm的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在△ABC的边上. 素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的 的长方形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的 的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片. 任务1 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长. 任务2 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由. 任务3 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值. 23.在平面直角坐标系中，已知矩形OBCD，点C(6，4)，现将矩形OBCD绕点O逆时针旋转 (0°<∠EOB<180°) 得到矩形OEFG, 点B, C,D的对应点分别为点E, F, G. (1)如图1，当点E恰好落在边CD上时，则EC的长为 (请直接写出答案)； (2) 如图2,CD所在直线与OE、GF分别交于点H、M,且CH=MH. 求线段 MF 的长度； (3) 如图3, 设点 P为边 FG的中点,连接PB,PE,BE,在矩形OBCD旋转过程中,△BEP的面积是否存在最大值?若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $