北京市顺义区牛栏山一中实验学校2026-2027学年北京版八年级上学期期中数学模拟试卷

北京市顺义区牛栏山一中实验学校2026-2027学年 八年级上学期期中数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．要使分式有意义，则x应满足条件（　　） A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2 2．25的算术平方根是（   ） A． B．5 C． D．25 3．下列说法正确的是（   ） A．两个无理数的和还是无理数 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1 4．若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 5．下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10 8．体育测试中，小高和小州进行1000米跑测试，小高的速度是小州的1.25倍，小高比小州少用了40秒，设小州的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．当x___________时，有意义. 10．已知，，则a与b的大小关系为________． 11．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是______． 12．在中，如果，那么是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 13．已知a， b都是有理数，若，则_______． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值为_______________ 15．观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 16．已知为实数，，则__． 三、解答题（共68分） 17．解方程：． 18．计算：． 19．计算： 20．化简：． 21．先化简，再求值：，其中． 22．若关于x的分式方程的解为负数，求字母a的取值范围． 23．已知，，求代数式的值． 24．某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．求A，B两款机器人的单价． 25．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：________，________； (2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 26．如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 27．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 大数值式子大小的比较问题 有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运算，再用作差法比较大小． 例1：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵， ∴． 例2：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵． 任务： (1)请将例2的解题过程补充完整． (2)若，，请用小宣同学数学笔记中的方法，比较x，y的大小． 28．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是______； (2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，当时，比较和的大小关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义区牛栏山一中实验学校2026-2027学年 八年级上学期期中数学模拟试卷 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．要使分式有意义，则x应满足条件（　　） A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2 【答案】A 【详解】由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1， 故选A． 2．25的算术平方根是（   ） A． B．5 C． D．25 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，且算术平方根本身为非负数， ∴25的算术平方根是5． 3．下列说法正确的是（   ） A．两个无理数的和还是无理数 B．任何实数都有立方根 C．实数分为正实数和负实数 D．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1 【答案】B 【分析】本题考查了实数的加法，立方根和平方根的定义等，根据实数加法法则，立方根和平方根的定义逐一判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：、两个无理数的和可能是有理数，如，故不符合题意； 、任何实数都有立方根，原选项说法正确，符合题意； 、实数分为正实数，和负实数，原选项说法不正确，不符合题意； 、若一个数的平方根等于它本身，则这个数是，原选项说法不正确，不符合题意； 故选：． 4．若把分式中都扩大3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．按照要求变形后，进行约分后即可得到解答． 【详解】解：把分式中都扩大3倍，则 ， 分式的值不变． 故选：B． 5．下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．根据分式的基本性质及分式的符号法则，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A．的分子分母同乘10，得，故A变形错误； B．，故B变形正确； C．，故C变形错误； D．当时，无意义，不满足分式基本性质中“同乘的数不为0”的条件，故D变形错误． 故选：B． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误； B、与不是同类二次根式，故B错误； C、与不是同类二次根式，故C错误； D、，与是同类二次根式，故D正确． 故选：D． 7．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．3，4，8 B．4，4，8 C．5，6，11 D．5，6，10 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，不能构成三角形； B、，不能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，能构成三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 8．体育测试中，小高和小州进行1000米跑测试，小高的速度是小州的1.25倍，小高比小州少用了40秒，设小州的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以两人的跑步时间差为等量关系，结合路程与速度列方程. 【详解】解：小州跑1000米的时间为秒，小高的速度为米/秒，跑1000米的时间为秒， ∵小高比小州少用40秒， ∴. 二、填空题（每题 2 分，共16分） 9．当x___________时，有意义. 【答案】≥ 【详解】因为被开方数是非负的，所以得到3x-1≥0，即x≥， 故答案为≥. 10．已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 11．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分类讨论是关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分类讨论如下： ①若3为腰长，6为底边长，三角形不存在； ②若6为腰长，3为底边长，能构成三角形， 这个等腰三角形的底边长为3． 故答案为：3． 12．在中，如果，那么是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，利用三角形内角和定理，结合已知条件求出的度数，从而判断三角形形状，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：∵，, ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 13．已知a， b都是有理数，若，则_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则其中的每一项都等于0成为解题的关键． 根据非负数的性质列式求出a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 14．若关于x的分式方程无解，则m的值为_______________ 【答案】或1 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，并整理得到，原方程无解可分为两种情况：和时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 两边都乘以，得， 整理，得， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，故此时原方程无解，符合题意； 当，即是，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴ 解得； 综上所述，或， 故答案为：或1． 15．观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 【答案】 【分析】观察给定等式，右边数字均为2乘以3的从到次幂之和，符合因式分解规律． 本题是对数字变化规律的考查，观察等式的变化是解题关键． 【详解】根据因式分解公式， ； ； ； ； ， 故答案为：， 16．已知为实数，，则__． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件和算术平方根，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用算术平方根的意义求解． 根据二次根式和分式有意义的条件得出x，y的值，代入求值即可． 【详解】解：由题意得：且， 即且， 所以， 又∵，即 ∴， 故， 故答案为：3． 三、解答题（共68分） 17．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：两边同乘， 得． 解得． 检验：当时，． ∴分式方程的解是． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值等知识．首先根据二次根式性质、零指数幂运算法则、负整数指数幂运算法则以及绝对值的性质进行运算，然后进行加减运算即可． 【详解】解： 19．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算．根据乘法公式和二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 20．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先化为同分母分式，将分子相加，再观察能否约分化简即可． 【详解】解： ． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法进行化简，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 22．若关于x的分式方程的解为负数，求字母a的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．解分式方程得，由题意可知，结合，即，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴且． 23．已知，，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查了整式的求值，掌握完全平方公式、整体代入的思想方法是解决本题的关键，先计算、的值，再利用完全平方公式变形整式，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ， ， ． 24．某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同．求A，B两款机器人的单价． 【答案】 A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据“数量相同”这一等量关系列出分式方程． 设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元；根据“用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同”列出方程；解此方程并检验，得到两款机器人的单价． 【详解】解：设B款机器人的单价为万元，则A款机器人的单价为万元． 根据题意得， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：A款机器人的单价为5万元，B款机器人的单价为4万元． 25．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． (1)化简：________，________； (2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1)4； (2) 【分析】（1）由二次根式的基本性质化简即可； （2）根据数轴判断的取值范围，进而化简即可． 【详解】（1）解：， ， （2）解：由数轴可知，则，， ，， 原式 ． 26．如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）根据角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 平分， ． ∵， ， ∴，， ． 27．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 大数值式子大小的比较问题 有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运算，再用作差法比较大小． 例1：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵， ∴． 例2：若，，试比较x，y的大小． 解：设，则，． ∵． 任务： (1)请将例2的解题过程补充完整． (2)若，，请用小宣同学数学笔记中的方法，比较x，y的大小． 【答案】(1) 设， 则，． ∵， 又， ， ； (2) 设， 则，， ∵ ， 又， ， ． 【分析】本题考查的是分式的加减运算，掌握运算法则是解题关键， （1）通过异分母分式减法运算得出，进而得出结论； （2）设，则，，求出，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 28．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是______； (2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，当时，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：，理由如下： 由题意得：，， ∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据“衍生数对”的定义解答即可； （2）根据“衍生数对”的定义求出，的值，代入计算即可； （3）先得出，，再根据可得，，然后计算，判断与0的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数对的“衍生数对”是． （2）解：∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $