专题03 三角形及其性质与全等三角形30大题型90题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题03 三角形及其性质与全等三角形（30大题型90题） 基础·固本强基 题型1 三角形的相关概念 题型2 三角形的三边关系 题型3 三角形内角和定理 题型4 三角形外角的性质 题型5 三角形的中线（重点） 题型6 三角形的高线（重点） 题型7 全等三角形的概念与性质 题型8 全等三角形的判定 题型9 补全全等三角形的证明过程 题型10 全等三角形的判定与性质（重点） 题型11 结合尺规作图的全等三角形问题（重点） 提升·进阶突破 题型12 三角形三边关系的应用 题型13 三角形内角和定理综合（重点） 题型14 根据三角形中求长度、面积（重点） 题型15 与三角形的高有关的计算问题（重点） 题型16 全等三角形的性质（重点） 题型17 网格中的三角形全等问题 题型18 全等三角形的判定问题（重点） 题型19 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型20 倍长中线模型（重点） 题型21 手拉手模型（重点） 题型22 一线三等角模型（重点） 题型23 全等三角形的综合问题（重点） 拔高·压轴破难 题型24 三角形内角和中的折叠问题（难点） 题型25 三角形的中线、高线求解（难点） 题型26 全等三角形的动点问题（难点） 题型27 全等三角形的经典模型（难点） 题型28 全等三角形的多结论问题（难点） 题型29 全等三角形的综合压轴（难点） 题型30 全等三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 三角形的相关概念（共3小题） 【易错】三角形是由三条不在同一直线线段首尾顺次相接围成。易忽略 “不在同一直线”；区分边、顶点、内角；误将外角当成三角形内角，对锐角、直角、钝角三角形分类判断出错。 1．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在的边上取点D，E，F，连接，，，则边上有________条线段，以点A为顶点的角有________个，图中共有________个三角形． 【答案】 10 10 10 【分析】先以B为端点，数出线段，再以D为端点数，依次类推，再计算总数；在数以A为顶点的角时，先以为一条边数完，再以为一条边数完，依次类推，再计算总数；在数图中的三角形时，可以先数以为边的三角形，再数以为边的三角形等，依次类推，再计算总数． 【详解】解：以B为端点的线段有，，，， 以D为端点的线段有，，， 以E为端点的线段有，， 以F为端点的线段有， ∴边上有10条线段； 以A为顶点的角有，，，，，，，，，，一共10个； 图中的三角形有，，，，，，，，，，一共10个． 2．（26-27八年级上·北京海淀·期中）图中三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个． 3．（26-27八年级上·北京门头沟·期中）如图，在和中，与交于点E． (1)以为角的三角形是______． (2)在中，顶点D所对的边是______． (3)在中，边所对的角是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型2 三角形的三边关系（共3小题） 【易错】两边之和大于第三边，只需验证两短边之和大于最长边。习惯全部两两验算；忽略等于的情况，等于是不能构成三角形；已知两边求第三边范围，不等号边界易写错。 4．（25-26八年级上·北京平谷·期末）下列各组线段能组成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，只需检查两个较小边的和是否大于最大边即可判断． 【详解】解：A．两个较小边为和，和为，等于最大边，∴ 不能组成三角形，不合题意； B．两个较小边为和，和为，小于最大边，∴ 不能组成三角形，不合题意； C．两个较小边为和，和为，大于最大边，∴ 能组成三角形，符合题意； D．两个较小边为和，和为，等于最大边，∴ 不能组成三角形，不合题意； 故选：C． 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 6．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 【详解】（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 题型3 三角形内角和定理（共3小题） 【易错】三角形内角和恒为 180°，常用于角度代换。计算角度加减出错；多个角嵌套时，漏看隐藏内角；遇到多个三角形叠加，分不清属于哪个三角形内角。 7．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1) 解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； (2) 证明： ， ， 即． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 8．（24-25七年级下·北京通州·期中）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 9．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：平分， ． ， ， ： (2) (3) 证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ， ， ； （3）略 题型4 三角形外角的性质（共3小题） 【易错】外角等于不相邻两个内角之和，大于任意一个不相邻内角。容易把相邻内角纳入计算；分不清外角对应的两个不相邻内角；外角性质和内角和混用，角度推导逻辑混乱。 10．（26-27八年级上·北京通州·期中）如图，点，，，是同一直线上的四点，，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据三角形的外角性质可得的度数，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级上·北京·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，，点O，A可在槽中滑动，若，则的度数是______ 【答案】/26度 【分析】本题考查等腰三角形性质与三角形外角性质，运用逻辑推理思想，通过等边对等角推导角度关系，利用三角形外角性质建立与的联系；解题关键是利用等腰三角形和外角性质逐步推导角度倍数关系；易错点是对三角形外角性质的应用及角度推导逻辑混淆；根据，利用等腰三角形性质和三角形外角性质，推导与的倍数关系，进而求解． 【详解】解：∵； ∴,； ∵是的外角； ∴； ∵是的外角； ∴; 故答案为． 12．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分交于点，平分交于点，与相交于点，如果，，求的度数． 【答案】 解：∵平分平分， ， ，， ∴， ， ， ． 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟记性质并理解“8字形”的等式是解决此题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角的性质列出等式整理即可得解． 【详解】略 题型5 三角形的中线（共3小题） 【易错】中线平分对边，等分三角形面积；三条中线交于重心。误认为中线平分顶角；重心分线段比例记错；多条中线叠加，找等面积三角形时，漏看同高条件。 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图，，、分别是，的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论． 【答案】 ，证明如下： ∵， ∴； ∵、分别是，的对应边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据全等三角形的性质得到，再由三角形中线的定义推出，则可证明，进而证明． 【详解】略 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在和中，，是中线， ∴， 的周长的周长 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，根据三角形中线平分三角形面积可推出的面积，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为32， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 题型6 三角形的高线（共3小题） 【易错】高是顶点向对边所作垂线段，钝角三角形有两条高在外部。画高只画内部线段；钝角三角形作高容易画错垂足；计算面积时，底与对应高不匹配，底高配对出错。 16．（2025八年级上·山东济宁·期中）如图所示，是的角平分线，且，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作出辅助线表示出三角形的面积是解题的关键．先过点作于，于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式即可求出两三角形的面积的比值． 【详解】解：如图，过点作于，于， ∵是的角平分线， ∴． ∵，， 又∵， ∴． 故选：A． 17．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的高、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义确定的值，再根据三角形的高的定义可知，然后由求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型7 全等三角形的概念与性质（共3小题） 【易错】全等对应边、对应角相等，找准对应顶点。直接看图凭感觉找对应；书写全等时顶点不对应；利用性质求边长角度，错把非对应边角等量代换。 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 20．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 21．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，得到，根据题意求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型8 全等三角形的判定（共3小题） 【易错】SSS、SAS、ASA、AAS、HL；SSA、AAA 不能判定全等。做题误用 SSA；直角三角形才可用 HL；条件不足强行证全等，边角不对应就套用判定定理。 22．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】略 23．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 24．（2025八年级上·北京·期中）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 【答案】 证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练运用上述性质是解题的关键． 根据得到，再利用得到，即可证明； 【详解】略 题型9 补全全等三角形的证明过程（共3小题） 【易错】证明每一步要有依据，条件书写要对应。跳步骤，缺少关键推导；边角不匹配直接写判定；混淆已知、对顶角、公共边等条件，理由写错，逻辑断层。 25．（25-26七年级下·北京·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等 【分析】根据平行线的判定与性质结合证明即可． 【详解】略 26．（25-26八年级上·北京通州·期中）如图，在中，，D为底边BC的中点，于点E．过点D作于点F． (1)将图形补充完整 (2)求证：． 证明： ________① ， 为底边的中点 ________② 在和中 ③ （________④） （________⑤） 【答案】(1) 补全图形如下： ； (2) ；；；AAS；全等三角形的对应边相等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）根据题意补全图形即可； （2）先根据证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 27．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等；；；；等腰三角形三线合一． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得．即可利用证明，有．结合等角对等边得．再依据等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】略 题型10 全等三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】先证全等，再用性质得到边角相等，顺序不可颠倒。直接默认三角形全等；找错对应边角；证明全等条件不充分，却继续利用全等性质计算。 28．（25-26九年级上·江西吉安·期中）四边形是正方形，分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， 而是的延长线上的点， ， 在和中 ； (2)的面积为 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断与性质，勾股定理 （1）利用证明即可； （2）用勾股定理求出，根据全等三角形的性质可得，再利用直角三角形面积求的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， 在中，，， ， ， ，即 的面积． 29．（25-26八年级上·天津·期中）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 求证： (1)； (2)若，．求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴； (2) 【分析】本题重点考查全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，根据余角的性质可得，然后根据AAS证明即可； （2）根据全等三角形的性质和线段的和差解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，． ∴，， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 题型11 结合尺规作图的全等三角形问题（共3小题） 【易错】读懂尺规作图痕迹，提取相等线段作为全等条件。看不懂圆弧代表等线段；作图产生的公共边容易忽略；作图得到的相等边角识别不全，无法列出全等条件。 31．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 32．（25-26七年级下·河南郑州·期末）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可． 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 33．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1) 如图，点即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3) 如图，点即为所求作． 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 提升·进阶突破 题型12 三角形三边关系的应用（共3小题） 34．（25-26八年级上·广东汕头·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 35．（25-26八年级上·北京大兴·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，求三边长各是多少？ (2)如果有一条边长为，求另两边的长． 【答案】(1)，，； (2)另两边长为、或、． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据题意，设底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）因为题中没有指明所在边是底还是腰，所以分情况进行讨论，并注意利用三角形三边关系进行检验． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为， 则， 解得，， ∴， ∴各边长为：，，； （2）解：①当为底时，腰长为， 满足三角形三边关系， 另两边为、； ②当为腰时，底边为， 满足三角形三边关系， 另两边为、， 答：另两边长为、或、． 36．（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为______． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 题型13 三角形内角和定理综合（共3小题） 37．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据平行线的性质，可得，再结合三角形内角和以及三角形外角和，以及平分，由等量代换即可得到数量关系； （3）根据已知条件可得，由此可得，再由角的比例关系设，根据三角形内角和为求解x的值，由此可解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴． 38．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点D，E分别是的边，上的点． (1)尺规作图：过点D作线段，交于点F，要求保留作图痕迹，不用写作法； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，线段即为所求． (2) 【分析】（1）根据平行线的判定，作即可． （2）根据平行线的性质可得，，在中，根据三角形内角和定理求出，则可得，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，以及尺规作图—作一个角等于已知角．熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（24-25八年级上·北京·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 如图2： 平分， ， 平分， ，， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ． (3)或 【分析】本题考查平行线判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意理清各角之间的关系是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质求解； （2），根据角平分线的定义和三角形知识可得，进而可得结论； （3）①当点在左侧时，②当点在右侧时，根据角平分线的定义和平行线的性质分情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，过P作，则， 又， ， ， ． （2）略 （3）解：①当点在左侧时，如图3： ， ，， 平分，平分， ，， ， 由外角的性质得，， ， ． ②当点在右侧时，如图4： ， ， 由外角的性质得， ， ， 由（1）得，， ， ． 综上可知，或． 题型14 根据三角形中求长度、面积（共3小题） 40．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）的面积可表示为，也可表示为，由面积相等列等式，进行求解即可； （2）是边上的中线，故．的周长为，的周长为，进行相减计算即可； （3）分两种三等分情况．利用同加公共部分差不变的原理可得，，进而可得．分和两种情况，进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，，，为边上的高， ， ； （2）解：为边上的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 的周长的周长， ∴和的周长之差为； （3）解：①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ， ∴， ． 综上所述：的值为． 41．（26-27八年级上·北京·单元测试）如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可知，，由此可判断出，，根据题意建立方程求解即可． 【详解】解：，F分别是，的中点，的面积为6， ， ，， ，① ，② ①+②，得， 即． 42．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积． 题型15 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 43．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用直角三角形面积的两种计算公式（等面积法），即面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上高的乘积的一半，建立等式求解． 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴． 44．（26-27八年级上·湖北黄冈·期中）如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用中线性质求的长，再利用三角形面积公式求出面积即可； （2）利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】（1）∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是上的高线， ∴． （2）解：∵为边上的高线， ∴， ． 45．（26-27七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 【答案】 5 【分析】连接，利用及三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：连接， ，， ，分别是，的高， ， ， ，， ， ， ． 题型16 全等三角形的性质（共3小题） 46．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出，再由线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出，再由三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ 47．（26-27八年级上·河北沧州·期中）如图，，点在边上，，． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由线段的和差求出，再根据得到，即可得解； （2）根据全等三角形对应角相等，得到，，再根据角的和差求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ，， ． 48．（26-27八年级上·江西上饶·期中）如图，已知于点D，，的延长线交边于点E． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1)的长为4 (2)证明：∵AD⊥BC， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）因为全等三角形对应边相等，所以由可得，已知长度即可求出长度，再结合，代入长度就可计算的长。 （2）如果要证明，那么只需证明中；因为全等三角形对应角相等，所以由可得，又因为，所以，通过等量代换即可得到。 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴的长为4． （2）略 题型17 网格中的三角形全等问题（共3小题） 49．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为____________． 【答案】/45度 【分析】如详解图，把绕点逆时针旋转到的位置，即可求得答案． 【详解】解：如图，设小正方形的边长为，则， ， ， ， ． 50．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则________． 【答案】90 【分析】先证明，得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 题型18 全等三角形的判定问题（共3小题） 52．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 【答案】(1)； (2)数量关系为，位置无特殊关系， 证明： 延长到点，使，连接， 为的中点， 。 又 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ，即； (3)证明：作，交的延长线于点， ， ， ， ， 。 又 ， 。 在和中： ． 【分析】（1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）已知为的中点，看到中点可考虑倍长中线的方法，延长至，使，再证明，得到且，结合可得；再利用周角性质以及平行线同旁内角互补，结合条件，推导出，又，通过证明，得到，而，因此； （3）过点作，交的延长线于点，由平行线性质得到，结合已知，等量代换得，根据等角对等边可知，又，所以，再证明，最后由全等三角形对应边相等得到． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以李海证明用到的判定定理是；线段的取值范围为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、倍长中线辅助线模型、平行线的性质、周角与补角的角度推理、等腰三角形判定等知识点；解题关键在于根据中点条件使用倍长中线构造全等三角形实现线段与角度的转移，以及通过作平行线转移等角，合理构造全等三角形． 53．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，且，过点作，垂足为，且． (1)求证：； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接，且． ①求的面积： ②求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)①；② 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）①先证明，过点作于，证明，可得，进一步利用割补法可得答案； ②证明，可得，结合，，进一步可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 54．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 【答案】(1)证明：， ， 又， ，即， ， ． (2)证明：如图，连接、， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）先证明，再由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可证． （2）连接后，可由“边角边”证明与全等，进而证明． （3）作交的延长线于点，连接，先证明和全等，由此可推断出和全等，进而得到与的关系，最后以为底、为高，即可得到的面积． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图，作交的延长线于点，与交于点，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 题型19 灵活选用判定方法证明三角形全等（共3小题） 55．（26-27八年级上·吉林·期中）如图 ，在 和 中，，． (1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)（依据）（答案不唯一，符合题意即可） (2)添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 【详解】（1）可添加 依据 ；也可添加 或 ，任写一种即可． （2）略 56．（26-27七年级上·山东淄博·期中）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与全等 B．如图2，，与全等 C．如图3，线段相交于点E，已知，，，与全等 D．如图4，已知，与全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”可证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”可证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”可证明，可判断D不符合题意． 57．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3) 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）略 题型20 倍长中线模型（共3小题） 58．（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． (2)【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)，； (2)，理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ， 即， 在和中， 延长交于，如图所示： ，即 (3)证明：延长，交于点，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可 【详解】（1）延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）略 （3）略 59．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1，请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是____________．（填判定依据） (2)由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为____________． (3)【拓展迁移】如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长、，交于点F，根据全等三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，再由线段和差求解． 【详解】（1）解：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长、，交于点F， ∵平分， ∴,， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）按要求完成： (1)如图1，在中，，是边上的中线，延长到点使，连接，使得、、集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； (2)如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且．求证：； 【答案】(1) (2)证明：如图2中，延长到，使得，连接，． ∵是边上的中线， ∴． 在和中 ，，， ， ， ∵，即． ， 在中，， ，， ． 【分析】（1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可． （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：在和中， ，，， ， ， ， ， ； （2）略． 题型21 手拉手模型（共3小题） 61．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 62．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【答案】 （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出， 根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】解：（1）略 （2）和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 63．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，和均为等腰三角形，，，，，且点、、在同一直线上，连接． (1)求证：． (2)如图2，若，于．若，，试求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又，， ， ． (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，准确分析计算是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，再根据，得到，即可得证，即可得证； （2）根据已知条件可得和为等腰直角三角形，可得出，再根据（1）的结论和已知条件求出，再利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：，，， 和为等腰直角三角形， ， ， 由（1）可得， ，， ， ，， ， ． 题型22 一线三等角模型（共3小题） 64．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，与交于E． (1)当时， ， ； (2)当时，与是否全等？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25，115； (2) 解：当时，，理由如下， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； (3)当的度数为或时，的形状是等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是要考虑全面，分情况讨论的形状是等腰三角形， （1）首先利用三角形内角和为可算出，再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：25，115； （2）略 （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形， 当的度数为时， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 65．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）按要求回答问题 (1)如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明：，，，在直线上， ， 直线，直线， ， 在中，， ， 在和中， ，，， ． ，， ； (2)解：结论仍然成立． 证明如下：，，，在直线上， ， 在中，， ， ， 在和中， ，，， ． ，， ， 结论仍然成立． 【分析】（1）由及，，利用互余关系证，再由证，得，，从而． （2）将推广为任意角，同理利用三角形内角和与平角关系证，再由证全等，结论仍然成立． 【详解】（1）略 （2）略 66．（26-27八年级上·山东聊城·期中）十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 【答案】(1)证明：由题意得：，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）根据垂直的定义得到，进而得到，根据证明即可； （2）根据题意及全等三角形的性质作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图中可得两堵木墙分别由3块、7块小木块垒成． ∴，， ∵， ∴，， ∴， 答：两堵木墙之间的距离为． 题型23 全等三角形的综合问题（共3小题） 67．（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在同侧，连接，交于点M． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ，即， 在和中，， （）； (2) 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据三角形内角和，三角形外角性质，全等三角形的性质，解答即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：，， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ． 68．（26-27八年级上·广东广州·期中）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直于的直线与过点B垂直于的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是_____． (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是_____． (3)若是的“边垂角”，且． 如图2，已知，交于点E，，连接，且，，求证：； 【答案】(1) (2)或 (3) 证明：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ∵ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，结合，再由线段的和差结合等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ， ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ， 综上所述，与的数量关系是或； （3）略 69．（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为射线上一动点，连结，作且． (1)如图1，过点作交于点，求证：； (2)如图2，连结交于点，若，求证：点为中点； (3)当点在射线上，连结与直线交于点，若，则_______（直接写出结果） 【答案】(1)证明：如图过点作于点， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：过点作于点，则， 由（1）可知： ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． (3)或 【分析】（1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得； （2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由，则，，进而可得，据此可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当点在线段上时，过点作于，②当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质分别求得的长，再求比值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解点在射线上， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，过点作于，如图所示： ， ， 由（2）可知：，则， 由（2）可知：，则， ， ． ②当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示： 同理可证，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 综上所述：的值为：或． 拔高·压轴破难 题型24 三角形内角和中的折叠问题（共3小题） 70．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 71．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；； ②解：是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 72．（2025八年级上·北京·期中）现有一张三角形纸片ABC，D，E分别是的边AB，AC上的点，将沿直线DE折叠，点A落在点处． (1)若折成如图①所示的形状，点在CE上，则与的数量关系是_______． (2)若折成如图②所示的形状，点在内部，则与的数量关系是_______． (3)若折成如图③所示的形状，点在外部，猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：如图3，理由是： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论； （2）先根据折叠得：，由两个平角和得：等于与四个折叠角的差，化简得结果； （3）利用两次外角定理得出结论． 【详解】（1） 解：由折叠得：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，由折叠得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内外角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型25 三角形的中线、高线求解（共3小题） 73．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 74．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 75．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 题型26 全等三角形的动点问题（共3小题） 76．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． (1)当为何值时，、两点相遇； (2)在某时刻分别过点和点作于点，于点，求当为何值时，与全等． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒或12秒 【分析】（1）设运动时间为秒，根据根据两点相遇时的路程关系列方程求解； （2）分三种情况，结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：，，， 设运动时间为秒， 依题意得：， 得：， 故秒时、两点相遇； （2）解：①如图1，在上，点在上时，作，， ， ， 又， 若时，则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， ， ， 解得：； ③如图3，当点在时， 当时，点到达终点，此时点在上，且， 由①得：， 解得：， 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 77．（24-25七年级下·北京·期中）如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 【答案】2或10 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质得到，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当时，． 分下列两种情况讨论： ①当点在射线上时． 由题意可知，， 所以， 所以； ②当点在的反向延长线上时，如图． 由题意可知，， 所以，所以． 综上所述，当时，的值为或． 78．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用．分四种情况讨论，由与全等，，①当点P在上，点Q第一次从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q从上时，则；当点P在上，点Q第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ， 当点在上，点第一次从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， ； 当点在上，点从上时， 与全等， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， 与全等， ， ， ； 综上所述：的值为1或或． 题型27 全等三角形的经典模型（共3小题） 79．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）数学活动课上，李老师以“中点与中线”为主题设计了如下探究活动： 【问题情境】 (1)如图，在中，，，是边上的中线，延长至点，使得，连接． 求证：； 甲、乙、丙三位同学对中线的长度提出了各自的猜想： 甲：有可能等于；乙：有可能等于；丙：一定大于，且小于． 你认为正确的猜想有________（填“甲”“乙”“丙”） 【模型探究】 (2)如图，，，与互补，连接、，是的中点． 求证：； 小慧发现：当为钝角时，与虽然不全等，但它们的面积一定相等．她的说法对吗？请说明理由． 【问题拓展】 (3)在的条件下，将沿着过点的某一直线翻折，使得（如图），延长交的延长线于点，，，则的面积是________． 【答案】(1)延长至点，使得，连接，如图， ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， 丙； (2)延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴； 小慧的说法正确， 过点作直线，垂足为；过点作直线，垂足为，如图， ∵， 在和中： ， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】延长至点，使得，连接，通过“”证明即可； 由得，，即，然后由三角形三边关系即可求解； 延长到，使得，连接，证明，，再由全等三角形的性质即可求解； 过点作直线，垂足为；过点作直线，垂足为，证明，则，所以； 延长到，使得，连接，同理知，，所以，，，，，然后证明，即，所以，从而求解． 【详解】（1）解：略； ∵， ∴，，即， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴丙的猜想正确，甲、乙的错误， 故答案为：丙； （2）解：略； 略； （3）解：如图，延长到，使得，连接， ∴， 同理知，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 80．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，证明如下： 如图3，延长到H，使得， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)（1）中的结论不成立，新的数量关系为：，作图如下： 【分析】（1）由，结合四边形内角和得，故．延长到H使，由，证，得且，推出．结合，得，再证，得； （2）同理在射线上截取，仍可证与，此时，等量代换得． 【详解】（1）略 （2）解：在射线上（点C的外侧）截取，连接，如图： ∵，， ∴， 又， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴． 81．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． (1)已知，，请在图1或图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 (2)在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； (2)①证明：过点E作交于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或5． 【分析】（1）由，得，利用即可证明； （2）①过点E作交于点F，证明，再证明，即可得出结论；②过点E作交的延长线于点F，由①得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②过点E作交的延长线于点F， 由①得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理设， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 题型28 全等三角形的多结论问题（共3小题） 82．（25-26八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出，然后得到为等腰直角三角形，则，再由角的和差求解，即可判断①；证明，则，，再由等腰三角形三线合一得到，即可判断②；而，结合即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 83．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短． 利用等边三角形的性质可判断①；证明，可得可判断②③⑤；当最小时，即点运动到点时，的周长最小，可判断④；取的中点，可得，即三点共线时，的周长最小，可判断⑥． 【详解】解：在等边中，点是的中点， ，故①正确； 是等边三角形，是等边三角形， ， ，即， ， ，，故②正确，⑤错误； ， ， ，故③正确； 当最小时，的周长最小， 根据垂线段最短，可得点运动到点时，的周长最小， 此时， 的周长最小为，故④正确； 如图，取的中点， ， ， ， 的周长等于的周长为， ， ， 根据两点之间线段最短，可得三点共线时，最短，即的周长最短， 为等边三角形，， ， 所以的周长最短时，，故⑥错误， ， 综上，正确的为①②③④，共4个， 故选：B． 84．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据高相等但底不一定相等得到与的面积不一定相等，故①错误；根据三角形内角和以及等边对等角得到，故②正确； 设，则，证明，得到，则，求出 ∴，代入计算得到③说法正确；在上截取，连接，证明，得到，则，根据三线合一得到，最后根据证明，得到④说法正确． 【详解】解：∵与过点高相同， ∴要使与的面积相等，必须有，即是的中线， ∵是的角平分线， ∴不一定是的中线， ∴与的面积不一定相等， 故①错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故②正确； 设，则， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③说法正确； 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故④说法正确； 故答案为：②③④． 题型29 全等三角形的综合压轴（共3小题） 85．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：延长交于点， 是的外角，， ． ， , ． (2) 解：如图所示，连接，过点作于点， ， ． ，， ∴， ； 在和中， ， ， ∴， 平分； ， ∴， ， ， ． ，， ； 在和中， ， ． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）延长交于点，由三角形外角的性质可得，则可求出，据此可证明结论； （2）连接，过点作于点，证明，得到，则平分；证明，得到．证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 86．（25-26八年级上·北京·期中）已知，为等腰三角形（顶点、、按逆时针顺序排列），且．以为一条边作等腰直角（顶点、分别在两侧），其中，连接交于点． (1)如图1，若； ①_____； ②若的平分线交于，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，作，（或其延长线）交于点，且，连接、，请补全图形，若，当最长时，线段的长为_____． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）①由题得，得，可证，即可求解； ②在线段上截取，可证，再证，即可求证； （2）作，（或其延长线）交于点，且，连接、 ∴点是定点，的长度是定长，得，当最长时，三点在同一条直线上，即可求解. 【详解】（1）解：①∵， ∴为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵等腰直角 ∴ ∴ ∴   ∴ 故答案为：； ②，理由如下 在线段上截取，如图 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的平分线交于 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图；作，（或其延长线）交于点，且，连接、 ∴点是定点，的长度是定长 ∴ ∴ ∴ 在和 ∵ ∴ ∴ 而 ∴当最长时，三点在同一条直线上，如图 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形，等边三角形的性质，线段最值问题，题目难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的应用，掌握辅助线的技巧和方法是解题关键. 87．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，，，点，分别在，上（不与A，，重合），连接，． (1)如图，判断与的数量关系是_____； (2)如图，若，将绕点逆时针旋转，使点正好落在上，取的中点，连接，． 在图中，依题意补全图形； 判断，的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】(1)； (2)如图， ，， 理由， 如图，过作，交延长线于点，连接，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，点正好落在上， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据，则有，又，所以，然后通过等角对等边即可求解； （）根据题意画出图形即可； 过作，交延长线于点，连接，，证明，所以，，，再证明，所以，，又，则有，从而证得是等腰直角三角形，最后通过等腰三角形性质即可求证． 【详解】（1）解：，理由， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：略 略 题型30 全等三角形的新定义问题（共3小题） 88．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”在中，，，，若是的平分线． (1)求证：为近直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 平分， ， ， 为近直角三角形． (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，关键是掌握题目中“近直角三角形”的定义；判定，推出，；由勾股定理列出关于的方程 (1)由直角三角形的性质推出，即可证明为近直角三角形． (2)过作于，判定，推出，，由勾股定理求出，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， ， 平分， ， ， ∴， ，， ，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 89．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 【分析】（1）根据“对补四边形”的定义可得，再求解即可； （2）如图，连接，利用勾股定理，证明，再利用勾股定理可得答案； （3）①过点作于，作于．证明，再证明，即可得到答案；②求解，证明，可得．结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在对补四边形中，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； （3）略 【点睛】本题考查的是新定义，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 90．（25-26八年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①④ (2) ①解：，证明如下： ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②方法一： 证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 方法二： 证明：如图，在上取一点，使得， 在和中 . ， ， ， ， ； 方法三： 证明：如图，在的延长线上取一点，使得， ， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据“8字形”的定义逐一判断即可； （2）①利用“”证明，即可得到答案； ②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论． 【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④， 故答案为：①④． （2）解：①略 ②略 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形及其性质与全等三角形（30大题型90题） 基础·固本强基 题型1 三角形的相关概念 题型2 三角形的三边关系 题型3 三角形内角和定理 题型4 三角形外角的性质 题型5 三角形的中线（重点） 题型6 三角形的高线（重点） 题型7 全等三角形的概念与性质 题型8 全等三角形的判定 题型9 补全全等三角形的证明过程 题型10 全等三角形的判定与性质（重点） 题型11 结合尺规作图的全等三角形问题（重点） 提升·进阶突破 题型12 三角形三边关系的应用 题型13 三角形内角和定理综合（重点） 题型14 根据三角形中求长度、面积（重点） 题型15 与三角形的高有关的计算问题（重点） 题型16 全等三角形的性质（重点） 题型17 网格中的三角形全等问题 题型18 全等三角形的判定问题（重点） 题型19 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型20 倍长中线模型（重点） 题型21 手拉手模型（重点） 题型22 一线三等角模型（重点） 题型23 全等三角形的综合问题（重点） 拔高·压轴破难 题型24 三角形内角和中的折叠问题（难点） 题型25 三角形的中线、高线求解（难点） 题型26 全等三角形的动点问题（难点） 题型27 全等三角形的经典模型（难点） 题型28 全等三角形的多结论问题（难点） 题型29 全等三角形的综合压轴（难点） 题型30 全等三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 三角形的相关概念（共3小题） 【易错】三角形是由三条不在同一直线线段首尾顺次相接围成。易忽略 “不在同一直线”；区分边、顶点、内角；误将外角当成三角形内角，对锐角、直角、钝角三角形分类判断出错。 1．（26-27八年级上·北京·期中）如图，在的边上取点D，E，F，连接，，，则边上有________条线段，以点A为顶点的角有________个，图中共有________个三角形． 2．（26-27八年级上·北京海淀·期中）图中三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（26-27八年级上·北京门头沟·期中）如图，在和中，与交于点E． (1)以为角的三角形是______． (2)在中，顶点D所对的边是______． (3)在中，边所对的角是______． 题型2 三角形的三边关系（共3小题） 【易错】两边之和大于第三边，只需验证两短边之和大于最长边。习惯全部两两验算；忽略等于的情况，等于是不能构成三角形；已知两边求第三边范围，不等号边界易写错。 4．（25-26八年级上·北京平谷·期末）下列各组线段能组成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山西长治·期末）长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 6．（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． (1)求的值． (2)求满足条件的的值． 题型3 三角形内角和定理（共3小题） 【易错】三角形内角和恒为 180°，常用于角度代换。计算角度加减出错；多个角嵌套时，漏看隐藏内角；遇到多个三角形叠加，分不清属于哪个三角形内角。 7．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 8．（24-25七年级下·北京通州·期中）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 9．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 题型4 三角形外角的性质（共3小题） 【易错】外角等于不相邻两个内角之和，大于任意一个不相邻内角。容易把相邻内角纳入计算；分不清外角对应的两个不相邻内角；外角性质和内角和混用，角度推导逻辑混乱。 10．（26-27八年级上·北京通州·期中）如图，点，，，是同一直线上的四点，，，求的度数． 11．（25-26八年级上·北京·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，，点O，A可在槽中滑动，若，则的度数是______ 12．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，平分交于点，平分交于点，与相交于点，如果，，求的度数． 题型5 三角形的中线（共3小题） 【易错】中线平分对边，等分三角形面积；三条中线交于重心。误认为中线平分顶角；重心分线段比例记错；多条中线叠加，找等面积三角形时，漏看同高条件。 13．（25-26八年级上·北京·期中）如图，，、分别是，的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长___________． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是_____． 题型6 三角形的高线（共3小题） 【易错】高是顶点向对边所作垂线段，钝角三角形有两条高在外部。画高只画内部线段；钝角三角形作高容易画错垂足；计算面积时，底与对应高不匹配，底高配对出错。 16．（2025八年级上·山东济宁·期中）如图所示，是的角平分线，且，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线．若，求，的度数． 18．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 题型7 全等三角形的概念与性质（共3小题） 【易错】全等对应边、对应角相等，找准对应顶点。直接看图凭感觉找对应；书写全等时顶点不对应；利用性质求边长角度，错把非对应边角等量代换。 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 20．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 21．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型8 全等三角形的判定（共3小题） 【易错】SSS、SAS、ASA、AAS、HL；SSA、AAA 不能判定全等。做题误用 SSA；直角三角形才可用 HL；条件不足强行证全等，边角不对应就套用判定定理。 22．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 23．（25-26八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 24．（2025八年级上·北京·期中）如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接，分别交，于点，，，，．求证：． 题型9 补全全等三角形的证明过程（共3小题） 【易错】证明每一步要有依据，条件书写要对应。跳步骤，缺少关键推导；边角不匹配直接写判定；混淆已知、对顶角、公共边等条件，理由写错，逻辑断层。 25．（25-26七年级下·北京·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：__________=__________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 26．（25-26八年级上·北京通州·期中）如图，在中，，D为底边BC的中点，于点E．过点D作于点F． (1)将图形补充完整 (2)求证：． 证明： ________① ， 为底边的中点 ________② 在和中 ③ （________④） （________⑤） 27．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 题型10 全等三角形的判定与性质（共3小题） 【易错】先证全等，再用性质得到边角相等，顺序不可颠倒。直接默认三角形全等；找错对应边角；证明全等条件不充分，却继续利用全等性质计算。 28．（25-26九年级上·江西吉安·期中）四边形是正方形，分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的面积． 29．（25-26八年级上·天津·期中）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 求证： (1)； (2)若，．求四边形的面积． 30．（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 题型11 结合尺规作图的全等三角形问题（共3小题） 【易错】读懂尺规作图痕迹，提取相等线段作为全等条件。看不懂圆弧代表等线段；作图产生的公共边容易忽略；作图得到的相等边角识别不全，无法列出全等条件。 31．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级下·河南郑州·期末）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 33．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 提升·进阶突破 题型12 三角形三边关系的应用（共3小题） 34．（25-26八年级上·广东汕头·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 35．（25-26八年级上·北京大兴·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的2倍，求三边长各是多少？ (2)如果有一条边长为，求另两边的长． 36．（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为______． 题型13 三角形内角和定理综合（共3小题） 37．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线、被线段所截，交点分别为点E、F，并且． (1)求证：； (2)如图2，点G是直线上一点，连接，且，平分交于点H．请直接写出与的数量关系是：_________； (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，且，求的度数． 38．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点D，E分别是的边，上的点． (1)尺规作图：过点D作线段，交于点F，要求保留作图痕迹，不用写作法； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 39．（24-25八年级上·北京·期末）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 题型14 根据三角形中求长度、面积（共3小题） 40．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若E为边的三等分点，连接，与交于F点，记的面积为，的面积为，求的值． 41．（26-27八年级上·北京·单元测试）如图，D，F分别是的边，的中点，连接，交于点G，的面积为6，设的面积为，的面积为，则______． 42．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型15 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 43．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，，，为边上的高，则的长为__________． 44．（26-27八年级上·湖北黄冈·期中）如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 45．（26-27七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 题型16 全等三角形的性质（共3小题） 46．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，，点在上，已知，，，，求： (1)的长度； (2)的度数． 47．（26-27八年级上·河北沧州·期中）如图，，点在边上，，． (1)若，求的长； (2)求的度数． 48．（26-27八年级上·江西上饶·期中）如图，已知于点D，，的延长线交边于点E． (1)若，求的长； (2)求证：． 题型17 网格中的三角形全等问题（共3小题） 49．（26-27八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为____________． 50．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则________． 51．（25-26八年级上·河北承德·期末）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 题型18 全等三角形的判定问题（共3小题） 52．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 53．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，且，过点作，垂足为，且． (1)求证：； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接，且． ①求的面积： ②求的长度． 54．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 题型19 灵活选用判定方法证明三角形全等（共3小题） 55．（26-27八年级上·吉林·期中）如图 ，在 和 中，，． (1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 56．（26-27七年级上·山东淄博·期中）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与全等 B．如图2，，与全等 C．如图3，线段相交于点E，已知，，，与全等 D．如图4，已知，与全等 57．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 题型20 倍长中线模型（共3小题） 58．（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． (2)【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 59．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1，请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是____________．（填判定依据） (2)由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为____________． (3)【拓展迁移】如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 60．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）按要求完成： (1)如图1，在中，，是边上的中线，延长到点使，连接，使得、、集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______； (2)如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且．求证：； 题型21 手拉手模型（共3小题） 61．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 62．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 63．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，和均为等腰三角形，，，，，且点、、在同一直线上，连接． (1)求证：． (2)如图2，若，于．若，，试求的长． 题型22 一线三等角模型（共3小题） 64．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，与交于E． (1)当时， ， ； (2)当时，与是否全等？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由． 65．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）按要求回答问题 (1)如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 66．（26-27八年级上·山东聊城·期中）十九中趣味数学社的同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 题型23 全等三角形的综合问题（共3小题） 67．（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在和中，，，，且点E，A，B在同一直线上，点C，D在同侧，连接，交于点M． (1)求证：； (2)若，求的度数． 68．（26-27八年级上·广东广州·期中）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直于的直线与过点B垂直于的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是_____． (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是_____． (3)若是的“边垂角”，且． 如图2，已知，交于点E，，连接，且，，求证：； 69．（26-27八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，点E为射线上一动点，连结，作且． (1)如图1，过点作交于点，求证：； (2)如图2，连结交于点，若，求证：点为中点； (3)当点在射线上，连结与直线交于点，若，则_______（直接写出结果） 拔高·压轴破难 题型24 三角形内角和中的折叠问题（共3小题） 70．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 71．（25-26八年级上·福建厦门·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 72．（2025八年级上·北京·期中）现有一张三角形纸片ABC，D，E分别是的边AB，AC上的点，将沿直线DE折叠，点A落在点处． (1)若折成如图①所示的形状，点在CE上，则与的数量关系是_______． (2)若折成如图②所示的形状，点在内部，则与的数量关系是_______． (3)若折成如图③所示的形状，点在外部，猜想和的数量关系，并说明理由． 题型25 三角形的中线、高线求解（共3小题） 73．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 74．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 75．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 题型26 全等三角形的动点问题（共3小题） 76．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． (1)当为何值时，、两点相遇； (2)在某时刻分别过点和点作于点，于点，求当为何值时，与全等． 77．（24-25七年级下·北京·期中）如下图，在中，已知，，，直线，动点D从点C出发沿射线CB以3cm/s的速度运动，同时动点E从点C出发在直线CM上以2cm/s的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为ts．当时，求t的值． 78．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作直线的垂线段，垂足分别为，．设运动时间为，当与全等时，求运动时间． 题型27 全等三角形的经典模型（共3小题） 79．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）数学活动课上，李老师以“中点与中线”为主题设计了如下探究活动： 【问题情境】 (1)如图，在中，，，是边上的中线，延长至点，使得，连接． 求证：； 甲、乙、丙三位同学对中线的长度提出了各自的猜想： 甲：有可能等于；乙：有可能等于；丙：一定大于，且小于． 你认为正确的猜想有________（填“甲”“乙”“丙”） 【模型探究】 (2)如图，，，与互补，连接、，是的中点． 求证：； 小慧发现：当为钝角时，与虽然不全等，但它们的面积一定相等．她的说法对吗？请说明理由． 【问题拓展】 (3)在的条件下，将沿着过点的某一直线翻折，使得（如图），延长交的延长线于点，，，则的面积是________． 80．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 81．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． (1)已知，，请在图1或图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 (2)在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 题型28 全等三角形的多结论问题（共3小题） 82．（25-26八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 83．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 84．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 题型29 全等三角形的综合压轴（共3小题） 85．（25-26八年级上·北京通州·期末）如图，在中，点是边上的点，且，，与相交于点，点是上一点，且满足． (1)求证：． (2)求证：． 86．（25-26八年级上·北京·期中）已知，为等腰三角形（顶点、、按逆时针顺序排列），且．以为一条边作等腰直角（顶点、分别在两侧），其中，连接交于点． (1)如图1，若； ①_____； ②若的平分线交于，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，作，（或其延长线）交于点，且，连接、，请补全图形，若，当最长时，线段的长为_____． 87．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，，，点，分别在，上（不与A，，重合），连接，． (1)如图，判断与的数量关系是_____； (2)如图，若，将绕点逆时针旋转，使点正好落在上，取的中点，连接，． 在图中，依题意补全图形； 判断，的数量关系和位置关系，并证明． 题型30 全等三角形的新定义问题（共3小题） 88．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”在中，，，，若是的平分线． (1)求证：为近直角三角形． (2)求的长． 89．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 90．（25-26八年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $