上海市华东师范大学松江实验高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段学情调研数学试题

东华附高2026学年第一学期10月阶段学情调研 高二数学 出卷人 战姜合 审卷人 施余力 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前考生务必将学校、自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 空间中，直线与直线所成角的范围是________（用弧度制表示）. 2. 从同一点出发的三条直线最多能确定________个平面． 3. “直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的______条件．（用“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”填空） 4. 如图，矩形是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为________． 5. 空间中，与的两边分别平行，若，则_________． 6. 如图，正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为______（用反三角函数表示）. 7. 如图，四面体中，，，两两垂直，且，则点到平面的距离为______； 8. 已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号) 9. 正方体的棱长为是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为______. 10. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若三点到平面的距离分别为，则点到平面的距离为_____. 11. 《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”.从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成__________个不同的“鳖臑”. 12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为_______. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）． A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线． 15. 小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（ ） A. 80厘米 B. 100厘米 C. 120厘米 D. 140厘米 16. 已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，已知E、F分别是正方体的棱、的中点． （1）求证：A，E，F，C在同一个平面上； （2）求证：与是异面直线． 18. 如图，在长方体中，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，由一对平行且全等的三角形底面和三个平行四边形侧面组成的几何体中，平面，分别为，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 20. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． （1）求证：AF∥平面BCE； （2）求证：平面BCE⊥平面CDE； （3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值． 21. 在一对平行且全等的等边三角形及三个正方形侧面组成的几何体中，已知正三角形边长为2，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，. （1）若为的中点，试确定点的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，设平面与平面的交线为l， ①在答题纸图中画出二面角的平面角，并说明理由； ②求二面角的平面角的度数（用反三角表示）； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 东华附高2026学年第一学期10月阶段学情调研 高二数学 出卷人 战姜合 审卷人 施余力 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前考生务必将学校、自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】3 【3题答案】 【答案】必要非充分 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】或 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】①②④ 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】24 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1） 连接，，， 因为E、F分别是棱、的中点， 所以是的中位线， 所以， 在正方体中，侧棱，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为两条平行直线确定一个平面，所以点A，E，F，C在同一个平面上. （2）取上底面所在的平面为平面， 因为，，所以直线与平面相交于点， 因为，，所以直线平面， 因为点是的中点， 是从的中点向顶点的连线，显然不过另一顶点， 所以根据异面直线的判定定理，与是异面直线. 【18题答案】 【答案】（1）证明:在长方体中，， 得，而，得， 则四边形为平行四边形， 得，由平面，平面，得平面， 同理可得四边形为平行四边形， 得，由平面，平面，得平面， 由平面， 所以平面平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）因为平面，平面，所 以，因为分别为，的中点，所以，即， 因为，为的中点，所以， ，平面，所以平面 （2） 【20题答案】 【答案】20. 证明如下： 取CE的中点G，连FG、BG． ∵F为CD的中点，∴GF∥DE且． ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB． 又，∴GF＝AB． ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG． ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE， ∴AF∥平面BCE． 21. 证明如下： ∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD． ∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF． 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE． ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE． ∵BG⊂平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE． 22. 【21题答案】 【答案】（1）点为棱上靠近点的三等分点，理由如下： 连接，延长交于点，连接， 因为平面，，即平面， 又平面平面，所以，故三点共线， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，即点为棱上靠近点的三等分点 （2）①延长交于点，连接，则平面平面， 即为平面与平面的交线l， 过点作交于点，则平面，又平面， 所以， 过点作交于点，连接， 因为，，,平面， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角 ② （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $