精品解析：上海市行知中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

上海市行知中学2026学年第一学期第一次月考试卷 高二年级数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为______． 【答案】8 【解析】 【详解】，所以抛物线的焦点到其准线的距离为8. 2. 若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程 表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得． 3. 在严格递增的等差数列中，与的等差中项为6，是和的等比中项，则数列前项和___________． 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 根据题意可得：，， 因为数列是严格递增的等差数列， 所以，解得，， 则，即，则， 所以. 4. 两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线的方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 5. 已知是偶函数，则的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，代入解出即可. 【详解】由题意有，即， 所以，所以， 解得，解得， 故答案为：. 6. 已知直线的倾斜角为，且经过第一象限的点和，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【详解】直线的斜率为，且经过点，所以直线的方程为，即． 因为点在直线上且位于第一象限，所以，，， 由基本不等式得． 当且仅当，即时等号成立，结合得，，满足题意，所以所求最小值为3． 7. 如图,在棱长为1的正方体中，点P在截面上，则线段AP的最小值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得平面，可得为与截面的垂足时线段最小，然后利用等积法求解． 【详解】如图， 连接交截面于，由底面，可得， 又，可得平面，则， 同理可得，得到平面，此时线段最小， 由棱长为1，可得等边三角形的边长为， ， ∵，∴，解得， 故答案为. 【点睛】本题主要考查点、线、面间的距离的求法，利用了等积法求距离，属于中档题． 8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程求出焦点的坐标，写出直线的点斜式方程，联立直线方程和抛物线方程两点的坐标，进而利用抛物线的焦半径公式计算比值即可. 【详解】由抛物线，可得，焦点 ，准线 ， 则过斜率为的直线方程为. 联立方程，整理得：，即， 解得（如图所示，在左，纵坐标更小，故的纵坐标为，为）. 由， 可得. 9. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则直线与直线所成的夹角大小是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以设， 根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且． 如图建立平面直角坐标系， 设，， 设直线与直线所成的夹角为， 则， ，. 故直线与直线所成的夹角大小是. 10. 已知椭圆的右焦点为，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，OM=MF，且的外接圆面积为π，则椭圆C的短轴长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由确定的横坐标，利用外接圆半径求出其纵坐标绝对值的候选值，再用点差法建立弦中点与椭圆参数的关系，筛选候选值并求短轴长． 【详解】由右焦点为，得． 设，由，得，解得． 记，由于非退化，故，且，． 由外接圆面积为，得其半径，根据正弦定理推得的外接圆半径公式，有，整理得，解得或． 因为，所以直线的斜率存在，且． 设，，两点坐标分别满足椭圆方程，相减得． 由于的斜率存在且为不同两点，故，又为的中点，所以，，从而． 代入，得． 因为，所以，排除，故，进而． 结合，解得，所以椭圆的短轴长为． 11. 已知双曲线，其右顶点为.设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值_______. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【详解】由题意，直线的法向量为，可得直线的斜率为1， 双曲线，则右顶点，则， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值为或． 12. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行于x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线 【答案】D 【解析】 【分析】利用表示复数对应的点到点和到点的距离之差等于，得到的轨迹是一条射线． 【详解】复数满足条件， 设，为虚数单位， 则， 它表示复数Z对应的点到点和到点的距离之差等于， 故点的轨迹是一条射线. 14. 有下列四个命题： ①若两个平面有三个不同的公共点，则这两个平面重合；②若空间中，与相交，则、的位置关系是相交；③由三条两两相交的直线能够确定一个平面；④三个不同的平面把空间最多分成八个部分．其中真命题有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】①错，若两个平面有三个不同的公共点，则这两个平面重合（或相交）； ②错，若空间中，与相交，则、的位置关系是相交或异面； ③错，由三条两两相交的直线能够确定一个平面（或3个平面） ④正确，三个不同的平面把空间可以分成4或6或7或8个部分，最多八个部分． 15. 已知点．点在曲线上．记，则存在函数，对曲线上的任意一点都有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据曲线图形，结合椭圆的对称性和函数的定义，判断与的函数关系是否成立即可. 【详解】曲线是椭圆的上半部分，点、为椭圆的左右顶点， 如下图示， 对于上任意点，结合椭圆的对称性和函数的定义： 任意都存在唯一与之对应，则成立， 当时，不存在与之对应，则不成立， 当时，不存在与之对应，则不成立， 存在有2个与之对应， 则不成立. 16. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（    ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性以及抛物线的性质求出P到其中两个平面的距离相等、到剩下一个平面的距离与P到正方体的中心的距离相等的个数，再乘3即可. 【详解】若到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 因为是在正方体表面上，所以P在平行四边形的四边上. 因为是正方体，所以平面，而平面，所以， 所以平行四边形是矩形.则过点P垂直于直线的直线垂直于平面， 所以P到平面的距离即到的距离， 则P到剩下一个平面的距离与P到正方体的中心的距离相等转化为P到的距离与P到正方体的中心的距离相等. 设正方体的中心为Q，由对称性可知Q为矩形的中心. 设中点为M，以所在的直线为x轴， 以线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， 则是以Q为焦点，为准线，的抛物线，和矩形一共2个交点， 由抛物线的定义可知这两个交点到的距离与到Q的距离相等. 同理P到平面、和P到平面、距离相等，到 剩下一个平面的距离与P到Q的距离相等的点各有2个， 故共有个点满足条件. 三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 如图，在正方体中，分别是线段的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作于，连接，根据平行公理及异面直线夹角的定义可知，异面直线与所成的角就是（或其补角），然后在中求解即可． （2）根据正方体的性质及线面角的定义可知，为直线与平面所成角，然后在中求解即可． 【小问1详解】 设正方体棱长为，在平面内，作于， 连接，因为正方体，所以∥； 在平面内，有∥，所以∥， 故异面直线与所成的角就是（或其补角）． 由是线段的中点知，为的中点， 在中， ，，故， 又，所以， 所以异面直线与所成角的大小为． 【小问2详解】 正方体棱长为，在正方体中，平面∥平面， 故直线与平面所成角的大小就是直线与平面所成角． 因为平面，即平面， 所以直线与平面所成角的大小即为． 在中，得，故， 又，故， 所以直线与平面所成角的大小为． 18. 已知圆关于直线对称的图形为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）0或 【解析】 【小问1详解】 圆，即， 则圆心为，半径为2，由题意直线与直线垂直， 所以直线：，即， 令，则在上， 即，解得，所以， 又圆与圆关于直线对称，半径不变，所以圆的方程为； 【小问2详解】 当直线为时，不合题意； 故可设直线为，而圆心到直线的距离为， 由题意，有，即，解得0或. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程得到，再将点P坐标代入双曲线方程，联立解出，从而得到双曲线C的标准方程； （2）先排除直线斜率不存在的情况，设过右焦点的直线方程与双曲线联立，结合韦达定理、弦长公式与三角形面积条件求出斜率，再通过坐标运算求出． 【小问1详解】 由题可得，所以的方程为． 【小问2详解】 由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 20. 已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，直线的方程； （3）求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合椭圆离心率的定义，即可求解； （2）设，得到，由，代入求得，结合，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）设的方程为，联立方程组求得，再设的方程为，联立方程组，求得，，同理求得，，结合，化简得到，即可得证. 【小问1详解】 解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. 【小问3详解】 证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以. 21. 已知抛物线的焦点为，准线为． （1）若点在抛物线上，求所在直线的斜率； （2）若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； （3）若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，且定值为 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出该抛物线的标准方程，可求出其焦点的坐标，再利用斜率的斜率公式可求出直线的斜率； （2）设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设这两条切线的斜率分别为、，设过点的切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径得出，结合韦达定理得出，，求出、的坐标，结合韦达定理可求出的最小值； （3）设点，设过点的切线的方程为，因为圆心到切线的距离为，可得出，设切线、的斜率分别为、，则、为该方程的两根，利用韦达定理得出，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，同理可得出，化简的表达式，根据韦达定理结合为定值可求得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 故直线的斜率为. 【小问2详解】 圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 因为抛物线的准线方程为，即，可得，故抛物线的方程为， 设点，由题意可知，切线、的斜率都存在，设它们的斜率分别为、， 不妨设过点的切线方程为，即， 由题意知，圆心到直线的距离为，即， 整理可得， 依题意，、是关于的方程的两根， 所以，且，， 易知直线的方程为，令可得，即得点，同理点， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【小问3详解】 若点到准线的距离为，即，故抛物线的方程为， 其准线的方程为，设点， 圆的圆心为，半径为， 由题意可知，过点的切线的斜率存在，设过点的切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离为，则， 整理可得， 设切线、的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 故，， 将直线的方程与抛物线的方程联立，可得， 由韦达定理可得，同理可得， 故 为定值，则， 因为，解得， 故当时，即存在定圆，使得当点运动时，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学2026学年第一学期第一次月考试卷 高二年级数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为______． 2. 若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 3. 在严格递增的等差数列中，与的等差中项为6，是和的等比中项，则数列前项和___________． 4. 两平行直线与间的距离为______． 5. 已知是偶函数，则的取值为______． 6. 已知直线的倾斜角为，且经过第一象限的点和，则的最小值为________． 7. 如图,在棱长为1的正方体中，点P在截面上，则线段AP的最小值等于________. 8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则______. 9. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则直线与直线所成的夹角大小是______． 10. 已知椭圆的右焦点为，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，OM=MF，且的外接圆面积为π，则椭圆C的短轴长为_______． 11. 已知双曲线，其右顶点为.设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值_______. 12. 在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________． 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 线段 D. 射线 14. 有下列四个命题： ①若两个平面有三个不同的公共点，则这两个平面重合；②若空间中，与相交，则、的位置关系是相交；③由三条两两相交的直线能够确定一个平面；④三个不同的平面把空间最多分成八个部分．其中真命题有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15. 已知点．点在曲线上．记，则存在函数，对曲线上的任意一点都有（ ） A. B. C. D. 16. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（    ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 三、解答题（本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤） 17. 如图，在正方体中，分别是线段的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 已知圆关于直线对称的图形为圆. （1）求圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 20. 已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，直线的方程； （3）求证：为定值． 21. 已知抛物线的焦点为，准线为． （1）若点在抛物线上，求所在直线的斜率； （2）若准线，点为抛物线准线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．若两条切线、与轴分别交于点、，求的最小值； （3）若点到准线的距离为，过抛物线的准线上一点作圆的两条切线、，且、分别与交于、两点和、两点．问：是否存在某个圆，使得当点运动时，为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $