第26章 二次函数 单元检测卷 -2026—2027学年人教版数学九年级上册

第26章 二次函数 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3经变换后得到抛物线y=x2-2x-3，这个变换可以是（　　） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位 3．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 4．下列函数关系式中，属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线y=(x+2)2-3的对称轴是（　　） A．直线 x=2 B．直线x=-2 C．直线x=-3 D．直线x=3 6．直线经过点，对于函数与的描述正确的是（　　） A．直线从左到右上升 B．抛物线的对称轴是 C．直线与抛物线一定有交点 D．当时，抛物线从左到右上升 7．已知点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上.若y1＞y2，则m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜ 8．抛物线y＝2（x-1）2+c上有点A（-1，y1）和B（4，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1≤y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 9．如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．二次函数中两个变量的x与y的3组对应值：点在该函数图象上．若当时，，给出下列3个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） x …… 3 7 …… y …… m m …… A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 11．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤，则，正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝　 　． 14．将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到的函数的解析式是　 　． 15．如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为旋转函数，则的值为　 　． 16．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（2，0），（6，0）两点，则它的对称轴为　 　. 17．已知抛物线y=(x+1)2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为　 　 18．若二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象经过A（-7，m）、B（3，n）、C（13，m）三点，则m与n的大小关系是　 　。 19．在关于x的二次函数 中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于　 　（结果保留小数点后一位小数）． 20．二次函数y=x2+bx图象的对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1≤x≤2的范围内有解，则t的取值范围是　 　． 21．抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是　 　（填写序号） 22．如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞ ﹣1；以上结论中正确结论的序号为　 　． 23．已知二次函数的图像，如图所示，其对称轴是直线，分析下列结论：①；②；③；④若，则；⑤其中正确的结论有　 　（填序号）． 三、解答题 24．已知一个二次函数的图象经过点和． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图象的顶点坐标． 25．二次函数的图象过点，．求二次函数的解析式 26．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 27．NBA的一场骑士对勇士的篮球比赛中，骑士球员詹姆斯正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离7m。当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，假设篮圈距地面3m。 （1）建立如图的平面直角坐标系，求出此轨迹所在抛物线的解析。 （2）问此球能否准确投中？ （3）此时，若勇士球员杜兰特在詹姆斯前面2m 处跳起拦截，已知杜兰特这次起跳的最大摸高为3.1m，那么他能否拦截成功？为什么？ 六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（，且x为正整数）． 28．若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？ 29．若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值． 30．已知二次函数 试证明：不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点 31．如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型矩形框架，的长不超过的长，且铁丝全部用完．设矩形框架的长为（单位：），的长为（单位：），所围成的矩形框架的面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）若所围成的矩形框架的面积为，求出的值； （3）当的值是多少时，矩形框架面积最大？最大面积是多少？ 32．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 33．已知二次函数（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①在网格中画出函数的图象； ②若对于函数上的两点，当时，总有，求出的取值范围． 34．已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）． （Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值； （Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式； （Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 35．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．点P为x轴下方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的解析式； （2）若，求点P的坐标； （3）过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 【解析】【解答】 ； ； 所以是向右平移2个单位， 故答案为：B 【分析】先将抛物线平移前后的两个解析式配成顶点式，再根据平移规律“左加右减、上加下减”即可求解. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）． 故选：B． 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A不符合题意； B、y=x2+不是二次函数，故B不符合题意； C、y=（x+2）（x-1）-x2=x2+x-2-x2=x-2，此函数是一次函数，故C不符合题意； D、y=x2-1是二次函数，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0），y是x的二次函数，再对各选项逐一判断。 5．【答案】B 【解析】【解答】 ∴抛物线的对称轴是直线x=-2， 故答案为：B. 【分析】在抛物线顶点式方程 中，抛物线的对称轴方程为x=h. 6．【答案】C 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上. ∴y1＝（m-3-2）2+n，y2＝（m-2）2+n， ∵y1＞y2， ∴（m-3-2）2+n＞（m-2）2+n， 解得m＜， 故答案为：D. 【分析】将两点的坐标分别代入函数解析式，用含m、n的式子表示出y1与y2，进而根据 y1＞y2列出不等式，求解即可得出m的取值范围. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=8+c 当x=4是，y2=18+c ∵8+c<18+c ∴y1<y2 故答案为：C. 【分析】将点的横坐标代入抛物线解析式可求出y1，y2的值，再进行有理数的比较即可求出答案. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线过，且，抛物线开口向下， ，，， ∴根据左同右异，，故①正确； 由和可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当都在对称轴左侧时，随的增大而增大，此时总有， ∵， ∴，即，故④错误， 综上，可得正确结论的序号是：①②③． 故答案为：B 【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由表格数据可知，x=-3与x=7关于对称轴对称，该二次函数对称轴为直线， 若时， ∵，当，则，与条件矛盾，∴，故①正确； ，， 当时，由对称性得，由二次函数的性质开口向下，离对称轴越近函数值越小， ∴，故②正确； 将代入得， 此时， ∴，故③正确； 综上①②③正确． 故选D． 【分析】由表格数据可得二次函数对称轴为：，若，由，得时，可判断①正确，由二次函数的对称性得当，时，，结合二次函数的性质可判断②正确；将代入得，得，可判断③正确． 11．【答案】B 12．【答案】D 【解析】【解答】解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=﹣ ＞﹣1，且c＞0． ①由图可得：当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确； ②已知x=﹣ ＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②正确； ③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）； 联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4； 故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确； ④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即： ＞2， 由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确； 因此正确的结论是①②③④． 故答案为：D． 【分析】根据函数图象，得出a＜0，再根据对称轴和抛物线与y轴的交点确定b和c的取值情况，然后分析x=-2时，y的取值即可判定①；根据对称轴为x=﹣ ＞﹣1，以及a的取值情况，变形即可判定②；根据抛物线经过（﹣1，2），得出a﹣b+c=2，又图形可知当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，由①可知4a﹣2b+c＜0；然后分别联立（1）（2），（1）（3），得出关系式，进而得出结论即可判定③；根据对称轴大于-1，得出，再根据a的取值变形即可判定④. 13．【答案】﹣3 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】直线x=4 【解析】【解答】解：根据二次函数的性质可得对称轴为直线x= =4. 故答案为： 直线x=4 . 【分析】利用二次函数的对称性进行解答即可. 17．【答案】y=(x-1)2+1 【解析】【解答】解：抛物线y=(x+1)2向右平移2个单位，再向上平移1个单位， 得到的抛物线表达式为y=（x+1-2）2+1=(x-1)2+1. 故答案为： y=(x-1)2+1. 【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m；根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式. 18．【答案】m<n 【解析】【解答】解：∵A（-7，m）、C（13，m） ∴对称轴为直线x= ∵a＜0 所以当x=3时，此二次函数有最大值为n ∴m＜n. 故答案为：m＜n. 【分析】观察点A，C两点的纵坐标相等，就可求出抛物线的对称轴，再由a＜0，可知当x=3时，此二次函数有最大值为n，据此可以得到m，n的大小关系。 19．【答案】5.8 【解析】【解答】解：由表格可知：当x=5时，y=-1.10；x=6时，y=-0.14； ∴方程 的一个实数根大约是5.8. 故答案是：5.8 【分析】根据表格的x，y的值，当y的值为0或接近0时，对应的x的值就是方程 的一个实数根的近似值. 20．【答案】﹣1≤t≤3 【解析】【解答】∵二次函数y=x2+bx图象的对称轴为直线x=1， ∴- =1，解得b=-2， ∴抛物线解析式为y=x2-2x， ∵y=（x-1）2-1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，-1）， 当抛物线y=x2-2x与直线y=t在-1≤x≤2有交点时，关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1≤x≤2的范围内有解， 而-1≤x≤2对应的二次函数值y的范围为-1≤y≤3， 所以t的范围为-1≤t≤3． 故答案为-1≤t≤3． 【分析】根据抛物线的对称轴直线公式x=，及对称轴为直线x=1 ，列出方程，求解得出b的值，从而得出抛物线的解析式，再将解析式配成顶点式得出其顶点坐标；关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1≤x≤2的范围内有解，也就是抛物线y=x2-2x与直线y=t在-1≤x≤2有交点，而-1≤x≤2对应的二次函数值y的范围为-1≤y≤3，从而得出t的取值范围。 21．【答案】①②④ 22．【答案】①④ 【解析】【解答】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2， ∵开口向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴﹣ ＞0， ∴﹣ ＞0， ∴a﹣2＜0， ∴a＜2； ∴0＜a＜2； ∴①符合题意； ∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2）， ∴c=﹣2，故③不符合题意； ∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②不符合题意； ∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧， ∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ， ∴x2=2＞ ﹣1，故④符合题意． 故答案为①④． 【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解． 23．【答案】②③ 24．【答案】（1） （2）这个二次函数图象的顶点坐标为 25．【答案】 26．【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 27．【答案】（1）解：∵抛物线顶点坐标为（4，4） ∴设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4 把（0， ）代入，得a= 所以此轨迹所在抛物线的解析式为 . （2）解：x=7是y=3， 因此此球能准确投中. （3）解：x=2是y= ＞3.1，因此他不能拦截成功. 【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点解析式：y=a(x-h)2+c，根据题意可知顶点的坐标，以及抛物线和y轴的交点坐标，将两个坐标代入解析式中，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式。 （2）球是否可以命中，可以转化为，当y=3的时候，抛物线是否有解，令y=3，求出x的值即可。 （3）将x=2代入抛物线方程，求出y的值，比较求出的y和3.1的大小即可。 【答案】28．20元/千克 29．，W最大值是800元，W最小值是600元 30．【答案】证明：由题意，知二次函数对应的方程 的判别式为 . 因为 ，所以 ，即 ， 所以不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点. 【解析】【分析】要证明二次函数y＝−x2＋（m−2）x＋m＋1的图象与x轴始终有两个交点，只需证明关于x的方程0＝−x2＋（m−2）x＋m＋1的根的判别式是正数即可． 31．【答案】（1）， （2） （3）当时，的值最大，为 32．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 33．【答案】（1）对称轴为：直线， 当，得 抛物线的顶点在轴上方，且到轴的距离为4． 解得， 抛物线的解析式为 （2）①画图如图所示： ②由题意，得的对称轴为：直线 的表达式为：，它的对称轴为：直线 情况一：当点在轴左侧和点之间时，总有，如下图： 此时，即： 情况二：当点在轴右侧时，如图： 当时，解得，或 由题意知，时，总有有 综上所述，或时，总有 【解析】【分析】（1）根据对称轴的公式求得抛物线的对称轴，确定顶点纵坐标，由题意-4a=4，从而求得a的值，写出二次函数解析式即可； （2）关于原点对称的点：横坐标和纵坐标都互为相反数，据此求出T2的解析式；分两种情况即可求解：点Q在y轴和点P之间，或点Q在yl轴右侧，分别画出图象求解即可． 34．【答案】解：（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4； （Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5， 由题意得，x2+bx+5=1有两个相等是实数根， ∴△=b2﹣16=0， 解得，b1=4，b2=﹣4， ∴次函数的解析式y=x2+4x+5，y=x2﹣4x+5； （Ⅲ）当c=b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2， 图象开口向上，对称轴为直线x=﹣ ， ①当﹣ ＜b，即b＞0时， 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大， ∴当x=b时，y=b2+b•b+b2=3b2为最小值， ∴3b2=21，解得，b1=﹣ （舍去），b2= ； ②当b≤﹣ ≤b+3时，即﹣2≤b≤0， ∴x=﹣ ，y= b2为最小值， ∴ b2=21，解得，b1=﹣2 （舍去），b2=2 （舍去）； ③当﹣ ＞b+3，即b＜﹣2， 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小， 故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值， ∴3b2+9b+9=21．解得，b1=1（舍去），b2=﹣4； ∴b= 时，解析式为：y=x2+ x+7 b=﹣4时，解析式为：y=x2﹣4x+16． 综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+ x+7或y=x2﹣4x+16． 【解析】【分析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可． 35．【答案】（1） （2） （3）①；②m的取值范围为或 学科网（北京）股份有限公司 $