第26章二次函数2026-2027学年人教版九年级上册数学试卷

2026-2027学年人教版九年级上册数学试卷 （适用于第26章：二次函数） 一、单选题 1．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（  ）. A． B． C． D． 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是 A．开口向下； B．对称轴是直线x＝－1； C．顶点坐标是（－1，2）； D．与x轴没有交点． 3．已知抛物线，向下平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为（    ）． A． B． C． D． 4．函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，二次函数的图象经过点、点，交y轴于点C，给出下列结论：①；②若，则；③当时，该二次函数有最大值；④一元二次方程的两根为和．其中正确的结论是（    ）    A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 7．把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象经过点，，，其中a，b，c均大于0，记A、B、C到该二次函数的对称轴的距离分别为，，，若，则下列结论正确的是（    ） A．当时，y随着x的增大而减小 B．当时，y随着x的增大而减小 C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时，y随着x的增大而增大 9．下列函数中，对于任意实数x，y随x的增大而减小的是(   ). A．y=x B．y= C．y=－x+2 D．y=2x2 10．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（        ） A． B． C． D． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是______． 12．抛物线的顶点坐标是______ ，当x______ 时，y随x的增大而减小． 13．抛物线的顶点坐标是____________． 14．将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 15．矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为____，自变量的取值范围是______． 16．已知实数、满足，则代数式的最小值为________． 17．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： …… 1 2 3 …… …… 11 11 3 …… 下列四个结论： ①点在该函数图象上； ②若没有实数根，则； ③当时，随的增大而增大 ④方程的解为或 其中一定正确的是_______．（填写正确序号） 18．若是二次函数，则的值为______． 三、解答题 19．已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 20．已知二次函数 （1）求顶点坐标； （2）求与x轴交点坐标； （3）用描点法画函数图像； （4）当时，x的取值范围为_______． 21．已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 22．已知抛物线的顶点坐标是（﹣2，1）且过点（1，﹣2），求抛物线的解析式． 23．已知函数是二次函数．   （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 24．如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 25．把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m． (1)求这条抛物线的解析式． (2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由． 26．小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质________； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则的取值范围是________． 27．某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分． x 0 1 2 3 4 y 0 （1）请补全函数图象； （2）方程实数根的个数为______；其中一根为______． （3）观察图象，写出该函数y随x增大而增大时，自变量x的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年人教版九年级上册数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D A B D C A 1．B 【分析】先求出抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的顶点坐标，再根据关于x轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a的值，即可求出答案. 【详解】抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x轴对称和y轴对称两种方式.二次函数关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 2．D 【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断A、B、C，令y＝0利用判别式可判断D，则可求得答案． 【详解】∵y＝2（x−1）2＋2， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），故A、B、C均不正确， 令y＝0可得2（x−1）2＋2＝0，可知该方程无实数根，故抛物线与x轴没有交点，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 3．A 【分析】根据二次函数图象平移规律：左加右减，上加下减，可得新抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线，向下平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为： ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解决本题的关键． 4．C 【分析】将化简得，即当时，函数的最大值是，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， 即：函数可化为： ∴当时，函数的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式配方写成顶点式的形式是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的图象及性质、二次函数的最值，根据函数图象与轴的交点，将函数解析式化为交点式，进而可判断①，当时，代入，再将函数解析式化为顶点式，利用函数的性质即可判断②，根据函数的顶点坐标及开口方向即可判断③，方程化为：，整理得，进而可判断④，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点、点， 抛物线解析式为：，即：， ，， ，故①正确； 当时，， ， 顶点坐标为：， 抛物线的开口向下， 当时，则，故②错误； ， 顶点坐标为：， 抛物线的开口向下， 当时，该二次函数有最大值，故③正确； 方程化为：， 整理得：， 解得：，，故④正确， 则正确的结论是①③④， 故选D． 6．A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：   在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 7．B 【分析】将平移后的抛物线反向平移得到原抛物线，化为一般式即可求得，的值． 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到原抛物线， 原抛物线解析式为， 整理得， ∴，． 8．D 【分析】先得到抛物线的对称轴为直线，开口向上，再根据二次函数的性质即可判断． 【详解】由二次函数可知，对称轴为直线，开口向上， ∵a，b，c均大于0，， ∴A点可能在对称轴的左侧或右侧或在对称轴上，而B、C都位于对称轴的右侧， ∵图象开口向上， ∴当或或时，y随着x的增大有可能减小，也有可能增大， 当时，y随着x的增大而增大； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．C 【分析】根据一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，可得答案． 【详解】A、y=x, y随x的增大而增大，故A错误； B、y=，当x<0或x>0时，y随x的增大而减小，故B错误； C、y=－x+2，对于任意实数x，y随x的增大而减小，故C正确； D、y=2x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质y=kx+b,k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小；y=ax2，a＞0时，对称轴的左侧y随x的增大而减小，对称轴的右侧y随x的增大而增大． 10．A 【分析】设该二次函数与坐标轴的交点分别为A、B，连接AB，可作直线l∥AB，当直线l与该抛物线只有一个交点时，可设直线l与坐标轴的交点为C、D，求出△OCD的面积即为抛物线图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积． 【详解】如图， 设抛物线与坐标轴的交点为A、B，则有： A（4，0），B（0，4）； 作直线l∥AB，易求得直线AB：y=-x+4， 所以设直线l：y=-x+h，当直线l与抛物线只有一个交点（相切）时，有： -x+h=（x-4）2， 整理得：x2-x+4-h=0， △=1-4×（4-h）=0，即h=3； 所以直线l：y=-x+3； 设直线l与坐标轴的交点为C、D，则C（3，0）、D（0，3）， 因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于S△OCD小于S△OAB S△OCD=×3×3=4.5． S△OAB=×4×4=8， 故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5＜S＜8的范围内，选项中符合的只有A， 故选A． 【点睛】此题考查的是函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等知识，难度适中． 11． 【分析】根据函数的解析式，即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握和运用二次函数的性质是解决本题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键. 由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标，根据二次项系数的正负判断开口方向，从而确定增减性，据此即可求得x的取值范围． 【详解】解：∵二次函数是顶点式， ∴该二次函数的抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小． 故答案为：，． 13． 【分析】将变形为的形式，即为抛物线的顶点坐标． 【详解】变形，得 ． 所以，抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的特点，牢记二次函数的特点是解题的关键． 14． 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移，掌握其平移的规律是解题的关键． 15． ． 【分析】本题考查了二次函数、矩形的周长和面积，因为矩形的周长为，一边长为，则另一边可以表示为，根据矩形的面积公式可以得到与的函数关系式；根据矩形的周长公式可以得到自变量的取值范围． 【详解】解：矩形的周长为，设其一边长为， 则矩形的另一边长为， ， 整理得：； 矩形的周长为， 矩形的长与宽的和为， ． 故答案为：； ． 16． 【分析】根据可得，代入整理可得，根据平方的非负性即可求出结果． 【详解】解：， ， 把代入， 可得：， 的最小值为， 的最小值为． 17．①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，能从表格获取信息是解题的关键． 把代入，求出值，可判断①正确；令，则，求出的最小值为，可得没有实数根时，直线与函数没有交点，可得，可判断②正确；根据表格数据，函数在时先减小后增大，不单调递增，可判断③错误；根据表格数据，当或时，，分别令或，求出或，可判断④正确；综上所述即可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点在该函数图象上，故①正确； 令，则， ∴的最小值为， ∵没有实数根， ∴直线与函数没有交点， ∴，故②正确； 根据表格数据可知，函数在时先减小后增大，不单调递增，故③错误； 由表格数据可知，当或时，， ∴令或， 解得：或，故④正确； 综上所述：正确的是①②④． 故答案为：①②④ 18．2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令即可求解． 【详解】（1）解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； （2）解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 20．（1）（−1，−4）（2）（−3，0）、（1，0）；（3）图见解析（4）x＜-2或x＞0 【分析】（1）利用配方法得到顶点坐标； （2）通过解方程x2＋2x−3＝0得抛物线与x轴的交点坐标； （3）利用描点法画二次函数图象； （4）结合函数图象和二次函数的性质确定y的范围． 【详解】解：（1）∵＝（x＋1）2−4， ∴抛物线的顶点坐标为（−1，−4）； （2）当y＝0时，x2＋2x−3＝0，解得x1＝−3，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（−3，0）、（1，0）； （3）当x＝0时，y＝x2＋2x−3＝−3； 当x＝−2时，y＝x2＋2x−3＝−3； 抛物线经过点（0，−3），（−2，−3）， 故画图像如下： （4）由图可知当时，x的取值范围为x＜-2或x＞0． 故答案为：x＜-2或x＞0． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的图像与性质． 21．(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与轴的交点坐标． （1）通过完全平方公式展开将二次函数化为一般形式，即可求解； （2）代入即可求函数图像与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； （2）解：令， ∵， ∴该函数图像与轴的交点坐标为． 22．y＝﹣（x+2）2+1 【分析】先根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再把点（1，-2）代入所设抛物线的解析式求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+1， 把点（1，-2）代入得，-2=a（1+2）2+1，解得a=-， 故抛物线的解析式为：y=-（x+2）2+1． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意设出抛物线的顶点式是解答此题的关键． 23．（1）；（2），顶点坐标为． 【分析】（1）根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案； （2）根据y=ax2+bx+c的对称轴是x=-，顶点坐标是（- ，），可得答案． 【详解】解：（1）由是二次函数，得 且． 解得； （2）当时，二次函数为， ，，， 对称轴为， 顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的性质：y=ax2+bx+c的对称轴是x=-，顶点坐标是（- ，），注意二次项的系数不能为零是解题关键． 24．(1)剪掉的正方形边长为 (2)折成的长方体盒子的侧面积有最大值；长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的实际运用，利用已知关系正确列出方程与函数式是解题关键． （1）设剪掉的正方形边长为，根据题意列方程求解即可得到答案； （2）设剪掉的正方形边长为，根据题意列出函数解析式，即可求出侧面积最大值和剪掉的正方形边长． 【详解】（1）解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得： ． 解得：，（舍）， 答：剪掉的正方形边长为； （2）解：设剪掉的正方形边长为， 则长方形盒子的侧面积为： ， 当时，S有最大值． 即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为． 25．(1) (2)货船能顺利通过此桥洞，见解析 【分析】（1）根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点（12，0），从而可以设出抛物线的顶点式，进而求得抛物线的解析式； （2）把x＝4代入函数解析式即可得到结论． 【详解】（1）由图象可知， 抛物线的顶点坐标为（6，4）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4， 过点（12，0）， 则0＝a（12﹣6）2+4， 解得a． 即这条抛物线的解析式为：y（x﹣6）2+4． （2）货船能顺利通过此桥洞．理由： 当x（12﹣4）＝4时， y（4﹣6）2+43， ∴货船能顺利通过此桥洞． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，本题运用二次函数的顶点坐标式，运用二次函数解决实际问题，比较简单． 26．(1) (2)4 (3) 如图所示： 函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可）； (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不等于零求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；观察图象即可得出该函数的性质； （4）由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．图象上的点离对称轴越近，相应的函数值越大．根据点A与点B位于图象的位置分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的自变量x应满足，即， ∴函数的自变量的取值范围是． 故答案为：； （2）解：当时，， 即． 故答案为：4； （3）略 （4）解：由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．图象上的点离对称轴越近，相应的函数值越大． ∴①若点和点都在函数图象的左半支上，要使，则 ，该不等式组无解； ②若点和点都在函数图象的右半支上，要使，则 ，解得； ③若点在函数图象的左半支上，点在函数图象的右半支上，要使，则 ，解得； ③若点在函数图象的右半支上，点在函数图象的左半支上，要使，则 ，该不等式组无解； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查函数的图象和性质，函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，求函数值，画函数图象，比较函数值大小等知识，掌握相关知识，运用数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． 27．（1）见解析；（2）3，；（3）或 【分析】（1）用平滑曲线连接即可； （2）利用函数图象与x轴的交点个数判断方程2x＝0实数根的个数；利用函数图象经过原点可判断一个根为0； （3）结合图象写出对应自变量的范围． 【详解】解：（1）如图， （2）根据图像可知：方程2x＝0有3个实数根；其中一根为x＝0； 故答案为3，0； （3）当x＜﹣2或x＞2时，函数y随x增大而增大． 【点睛】本题考查了函数的图象形状以及图象和x轴的交点情况，根据函数图象与x轴的交点来判断函数的单调性． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $