第25-27章题型精练：解答题-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25-27章题型精练：解答题-2026-2027学年数学九年级上册人教版 考点汇总 考点一：一元二次方程定义与求值问题 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 考点三：实际问题与一元二次方程 考点四：二次函数的图象和性质 考点五：二次函数与一元二次方程 考点六：实际问题与二次函数 考点七：反比例函数的图象和性质 考点八：实际问题与反比例函数 跟踪特训 考点一：一元二次方程定义与求值问题 1．（2025秋•广州校级月考）如果x＝1是一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个解，求另外一个解和b值． 2．（2025秋•独山子区校级期中）方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ （2）当m取何值时是一元一次方程？ 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 3．（2026秋•迎泽区校级月考）解方程： （1）x2﹣3x﹣1＝0； （2）（2x+4）（x﹣2）＝x+2． 4．（2026秋•江阳区校级月考）解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学： x2﹣2x＝3， x（x﹣2）＝3， x＝1或x﹣2＝3， ∴x1＝1或x2＝5． 乙同学： a＝1，b＝﹣2，c＝3， b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法________ ，乙同学的解法________ ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程3（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 5．（2026秋•厦门月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为x1，x2，满足x1x2＝x1+x2﹣2，求k的值． 6．（2026秋•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 考点三：实际问题与一元二次方程 7．（2026秋•青山湖区校级月考）某农产品公司购进一批红枣，六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋．求七，八这两个月的月平均增长率． 8．（2026春•兰州期末）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 9．（2026秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以3cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，PQ的长度等于3cm？ （2）△PBQ的面积能否等于10cm2？说明理由． 10．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，在一块长是30m、宽24m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，两个花圃的面积之和为480m2，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 考点四：二次函数的图象和性质 11．（2026秋•宁波月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）将函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 12．（2026•泰山区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若点P（﹣2，c）在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； （2）在（1）的基础上，若c＝﹣3，当﹣5≤x≤1时，求二次函数的最大值； （3）若该函数在x≤1时，y随x增大而减小；在x≥3时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 13．（2025秋•市中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当y≥0时，x的取值范围是___________ ； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是__________ ． 14．（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式___________________ ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 考点五：二次函数与一元二次方程 15．（2026秋•六安月考）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，4）与x轴的一个交点为（1，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当﹣3＜x＜1时，求y的取值范围． 16．（2026秋•思明区校级月考）如图，二次函数y＝﹣2x2+4x的图象交x轴于原点O及点A，点D为抛物线顶点． （1）求抛物线的对称轴及点D坐标； （2）点P为抛物线上动点，满足S△AOD：S△AOP＝2：1，求点P的坐标． 17．（2026秋•萨尔图区校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围． 18．（2026•惠州校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，5），B（0，5），抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的取值范围； （3）连接AB，若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m（m＞0）个单位长度时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为______________ ． 考点六：实际问题与二次函数 19．（2026•九龙县模拟）某超市以每件15元的价格购进一种商品，经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（不用分析取值范围）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润W最大？最大利润是多少？ 20．（2026•仁怀市二模）某文化用品商店销售一种进价为每件20元的多功能计算器，经市场调查发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，其中销售单价不低于进价．已知当销售单价为30元时，每周可售出50件；当销售单价为40元时，每周可售出40件． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）设每周销售该商品所获利润为w（元），求w关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少元时，每周利润最大，最大利润是多少？ 21．（2026•科尔沁区校级二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 22．（2026秋•同步）2026年米兰﹣科尔蒂纳冬奥会于2026年2月6日至22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举办．某网店顺势推出A、B两种纪念徽章．每个A种纪念徽章的进价比每个B种纪念徽章的进价高2元，用600元购进A种纪念徽章的数量与用500元购进B种纪念徽章的数量相同． （1）A、B两种纪念徽章每个进价各是多少元？ （2）网店某天共购进A、B两种纪念徽章共50个，当天全部销售完．销售A种纪念徽章的价格y（单位：元/个）与日销售量x（单位：个）之间的函数关系是y＝﹣2x+80；销售B种纪念徽章日获利m（单位：元）与日销售量n（单位：个）之间的关系为m＝16n﹣260． ①若该网店销售这50个纪念徽章日获利为300元，问B种纪念徽章的销售单价是多少？ ②该网店购进的50个纪念徽章中，B种纪念徽章的数量不少于A种纪念徽章数量的4倍，网店想尽快售完，决定每个A种纪念徽章降价a（0＜a＜6）元销售，B种纪念徽章的销售情况不变，若网店销售这50个纪念徽章日获利的最大值为820元，求a的值． 考点七：反比例函数的图象和性质 23．（2026秋•天津校级月考）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A（2，4）． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 24．（2026秋•天山区校级月考）已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于第一象限内的两点，与x轴交于A点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求S△OPQ的值； （3）当x取何值时． 25．（2026•青海模拟）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限交于点B（﹣2，3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PAC的面积等于3，求点P的坐标． 26．（2026秋•长沙月考）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y﹣x称为点A的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“郡值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“郡值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1在3≤x≤6时的“最优郡值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣2，3）的“郡值”为_____ ； ②函数yx（﹣4≤x≤﹣1）的“最优郡值”为_______ ； （2）线段MN：y＝kx+1（﹣1≤x≤2）的“最优郡值”为3，求k的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k图象的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1≤x≤4时，二次函数的“最优郡值”为7，求h的值． 考点八：实际问题与反比例函数 27．（2026•德阳）同学们学习了物理知识后，知道在力F（单位：N）的作用下，如果物体在力F的方向上发生位移s（单位：m），那么力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．请根据以上信息解决以下问题： （1）写出s关于F的函数解析式； （2）当物体受到的力F为10N时，求物体在该力方向上的位移s； （3）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于20m，求力的范围． 28．（2026•湘桥区模拟）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC，点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b． （1）求反比例函数解析式和直线AC的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分∠ABD时，直接写出直尺平移的距离． 29．（2025秋•安康期末）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从600℃降到室温30℃所需要的时间． 30．（2026春•肥城市期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于7：20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … y（℃） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 参考答案与试题解析 1．（2025秋•广州校级月考）如果x＝1是一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个解，求另外一个解和b值． 【解答】解：由条件可得1+b﹣3＝0， 解得b＝2， 故一元二次方程为x2+2x﹣3＝0， 即（x+3）（x﹣1）＝0， 则另外一个解为x＝﹣3． 2．（2025秋•独山子区校级期中）方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ （2）当m取何值时是一元一次方程？ 【解答】解：（1）∵方程是一元二次方程， ∴， ∴m＝1； （2）当m＝0时，原方程为x﹣3x﹣1＝0，是一元一次方程，符合题意； 当m≠0时， ∵方程， ∴， ∴m＝﹣1； 综上所述，m＝0或m＝﹣1． 3．（2026秋•迎泽区校级月考）解方程： （1）x2﹣3x﹣1＝0； （2）（2x+4）（x﹣2）＝x+2． 【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2； （2）（2x+4）（x﹣2）＝x+2， （x+2）（2x﹣4）﹣（x+2）＝0， （x+2）（2x﹣5）＝0， ∴x+2＝0或2x﹣5＝0， ∴x1＝﹣2，x2． 4．（2026秋•江阳区校级月考）解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学： x2﹣2x＝3， x（x﹣2）＝3， x＝1或x﹣2＝3， ∴x1＝1或x2＝5． 乙同学： a＝1，b＝﹣2，c＝3， b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法　不正确　 ，乙同学的解法　不正确　 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程3（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 【解答】解：（1）判断正误甲同学的解法：不正确， 甲由x（x﹣2）＝3， 得到x＝1或x﹣2＝3，这是错误的， 只有当两个因式的积为0时，才能逐个令因式为0（即若ab＝0，则a＝0或b＝0）， 乙同学的解法：不正确． 用公式法前，必须先把方程化为一般式， 原方程应整理为x2﹣2x﹣3＝0， 此时a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， 于是b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝4+12＝16＞0， 方程有两个不相等实数根，乙同学没有先移项化为一般式， 把常数项c误当成3，才得出无实数根的错误结论， 故答案为：不正确，不正确； （2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）， 3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）[3（x﹣1）﹣2]＝0， （x﹣1）（3x﹣5）＝0， 所以x﹣1＝0 或 3x﹣5＝0， 解得x1＝1，． 5．（2026秋•厦门月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为x1，x2，满足x1x2＝x1+x2﹣2，求k的值． 【解答】（1）对于一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+2＝0， a＝1，b＝﹣（k+4），c＝3k+2， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（3k+2） ＝k2+8k+16﹣12k﹣8 ＝k2﹣4k+8 ＝（k﹣2）2+4． ∵（k﹣2）2≥0， ∴（k﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两实数根为x1，x2， ∴由根与系数的关系得：x1+x2＝k+4，x1x2＝3k+2． ∵x1x2＝x1+x2﹣2， ∴3k+2＝k+4﹣2， 解得k＝0． 6．（2026秋•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）问：是否存在等腰△ABC，AB＝2cm，另外两条边是该方程的根，若存在，求△ABC的周长，若不存在，说明理由． 【解答】（1）证明：对于方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0，a＝1，b＝﹣2m，c＝m2﹣1， Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4， ∵Δ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：不存在这样的等腰△ABC，理由如下： 解方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0， 配方得（x﹣m）2＝1， 开方得x﹣m＝±1， ∴x1＝m+1，x2＝m﹣1． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△ABC另外两条边的长度不相等，即等腰三角形的相等边为其中一条边与AB＝2cm相等， 分两种情况： ①若x1＝2，则m+1＝2， 解得m＝1， 此时x2＝m﹣1＝0， 边长不能为0，不符合题意，舍去； ②若x2＝2，则m﹣1＝2， 解得m＝3， 此时x1＝m+1＝4， 三角形三边长为2cm、2cm、4cm， ∵2+2＝4，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． 综上所述，不存在这样的等腰△ABC． 7．（2026秋•青山湖区校级月考）某农产品公司购进一批红枣，六月份售出500袋，七，八月份销量持续上升，八月份售出720袋．求七，八这两个月的月平均增长率． 【解答】解：设七，八这两个月的月平均增长率是x， 由题意得：500（1+x）2＝720， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：七，八这两个月的月平均增长率是20%． 8．（2026春•兰州期末）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， ∵500（1+x）2＝720， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为20%． （2）设售价应降低a元， 由题意可列出式子：（100﹣a﹣60）（20+2a）＝1200， ∴a＝10或a＝20， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴a＝20， 答：售价应降低20元． 9．（2026秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以3cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，PQ的长度等于3cm？ （2）△PBQ的面积能否等于10cm2？说明理由． 【解答】解：（1）设a秒后，PQ的长度等于3cm，此时PB＝（5﹣a）cm，BQ＝3acm， ∵∠B＝90°， ∴PB2+BQ2＝PQ2， 即（5﹣a）2+（3a）2＝（3）2， 解得a1＝2，a2＝﹣1（不符合题意，舍去） ∵P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动， ∴a， ∴a＝2符合题意， 答：2秒后，PQ的长度等于cm； （2）△PBQ的面积不能等于10cm2． 理由：设x秒后，△PBQ的面积等于10cm2， 由图可得，10， 解得该方程无实数根， ∴△PBQ的面积不能等于10cm2． 10．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，在一块长是30m、宽24m的矩形空地内，拟建两个形状、大小完全相同的矩形花圃，其余的铺设草坪，两个花圃的面积之和为480m2，且花圃四周以及两个花圃之间草坪宽度都相等，求两个花圃之间的草坪的宽度． 【解答】解：设两个花圃之间的草坪的宽度为xm，则两个花圃可合成长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480， 整理得：x2﹣22x+40＝0， 解得：x1＝2，x2＝20（不符合题意，舍去）， 答：两个花圃之间的草坪的宽度为2m． 11．（2026秋•宁波月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）将函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解答】解：（1）由题知， y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1； （2）因为二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1， 所以该函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）． 12．（2026•泰山区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若点P（﹣2，c）在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； （2）在（1）的基础上，若c＝﹣3，当﹣5≤x≤1时，求二次函数的最大值； （3）若该函数在x≤1时，y随x增大而减小；在x≥3时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点为（0，c）， 又∵点P（﹣2，c）在该函数图象上， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1， ∴1， ∴b＝2， 又c＝﹣3， ∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵1＞0， ∴该二次函数开口向上， 又|﹣5﹣（﹣1）|＞|1﹣（﹣1）|， ∴当﹣5≤x≤1时，x＝﹣5，二次函数有最大值为（﹣5）2+2×（﹣5）﹣3＝12， ∴当﹣5≤x≤1时，二次函数有最大值为12； （3）∵二次函数y＝x2+bx+c， ∴此函数图象的对称轴为直线， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵在x≤1时，y随x的增大而减小， ∴， 解得b≤﹣2， ∵在x≥3时，y随x的增大而增大， ∴， 解得b≥﹣6， ∴﹣6≤b≤﹣2． 13．（2025秋•市中区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … ﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当y≥0时，x的取值范围是　﹣1≤x≤3　 ； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　0＜y≤4　 ． 【解答】解：（1）利用描点法画出函数图象如下： （2）由条件可得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （3）①当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； ②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是0＜y≤4． 故答案为：0＜y≤4． 14．（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式y＝ax2+4ax+4a﹣3　 ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a＞0）的“孪生抛物线”为C2， ∴y＝ax2+4ax+4a﹣3； 故答案为：y＝ax2+4ax+4a﹣3； （2）当x＝0时，y＝4a﹣3， ∴E（0，4a﹣3）， ∵E（0，﹣1）， ∴4a﹣3＝﹣1， 解得a， ∴yx2+2x﹣1； （3）∵C2的解析式为y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3； 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ，当a﹣4＜﹣2＜a﹣2时，0＜a＜2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3； 函数的最小值为﹣3． ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a＝2或a＝2（舍）或a＝0（舍）； 当1＜a＜2时，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为﹣3． ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a或a（舍）或a＝0（舍）； II，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3， ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）或a＝0（舍）； III，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去． 综上，a的值为2或． 15．（2026秋•六安月考）已知二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，4）与x轴的一个交点为（1，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当﹣3＜x＜1时，求y的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为（﹣1，4）与x轴的一个交点为（1，0）． ∴可设函数解析式为y＝a（x+1）2+4， ∵与x轴的一个交点为（1，0）， ∴a（1+1）2+4＝0， ∴a＝﹣1， ∴函数解析式为y＝﹣（x+1）2+4； （2）对于y＝﹣（x+1）2+4， 当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， 此二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别是（﹣3，0）和（1，0）， 观察图象知，当﹣3＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤4． 16．（2026秋•思明区校级月考）如图，二次函数y＝﹣2x2+4x的图象交x轴于原点O及点A，点D为抛物线顶点． （1）求抛物线的对称轴及点D坐标； （2）点P为抛物线上动点，满足S△AOD：S△AOP＝2：1，求点P的坐标． 【解答】解：（1）因为y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）2+2， 所以抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点D的坐标为（1，2）； （2）因为点O（0，0）、A（2，0）都在x轴上， 所以OA＝2． 以OA为公共底边：， 由S△AOD：S△AOP＝2：1， 得， 设P（x，y）， 以OA为底，P到x轴的距离即|y|， 所以， ∴y＝1或y＝﹣1， ①当y＝1时：﹣2x2+4x＝1， 即2x2﹣4x+1＝0，即， 即， 得、， ②当y＝﹣1时：﹣2x2+4x＝﹣1， 即2x2﹣4x﹣1＝0，即， 即， 得、， 答：点P的坐标为、、、． 17．（2026秋•萨尔图区校级月考）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线x＝2，且过点A（﹣1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣4x﹣5； （2）①当m、n在函数对称轴左侧时，m≤n≤2， 由题意得：x＝m时，y＝7，x＝n时，y＝m， 即：m2﹣4m﹣5＝7， 解得m＝﹣2或m＝6（舍）， n2﹣4n﹣5＝m， 解得n＝2或2（舍）， 解得﹣2≤x≤2； ②当m、n在对称轴两侧时， x＝2时，y的最小值为﹣9，不合题意； ③当m、n在对称轴右侧时， 同理可得x≤6； 故x的取值范围是：﹣2≤x2或x≤6． 18．（2026•惠州校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，5），B（0，5），抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的取值范围； （3）连接AB，若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m（m＞0）个单位长度时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为m＝1或2＜m≤5　 ． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，5），B（0，5），抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． 将C（1，0），D（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得 解得 ∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4）， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵﹣4≤x≤0，﹣1﹣（﹣4）＞0﹣（﹣1）， ∴x＝﹣4时，y＝﹣16+8+3＝﹣5为此时的函数最小值， 当x＝﹣1时，函数最大值为y＝4， ∴当﹣4≤x≤0时，y的取值范围是﹣5≤y≤4； （3）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m个单位长度后解析式为y＝﹣x2﹣2x+3+m， 此时顶点坐标为（﹣1，4+m），当顶点落在线段AB上时， 4+m＝5，解得m＝1， 当函数图象向上移动，经过点B（0，5）时，5＝3+m， 解得m＝2， 当函数图象经过点A（﹣3，5）时，5＝﹣9+6+3+m， 解得m＝5， ∴当m＝1或2＜m≤5时，函数图象与线段AB有一个公共点． 故答案为：m＝1或2＜m≤5． 19．（2026•九龙县模拟）某超市以每件15元的价格购进一种商品，经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（不用分析取值范围）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润W最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，把x＝14时，y＝220；x＝16时，y＝180，分别代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣20x+500； （2）设每天所获利润为w元， 依题意得：w＝（x﹣15）（﹣20x+500）＝﹣20（x﹣20）2+500， ∵a＝﹣20＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝20时，w有最大值， w最大值＝500（元）， 答：销售单价定为20元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是500元． 20．（2026•仁怀市二模）某文化用品商店销售一种进价为每件20元的多功能计算器，经市场调查发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，其中销售单价不低于进价．已知当销售单价为30元时，每周可售出50件；当销售单价为40元时，每周可售出40件． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）设每周销售该商品所获利润为w（元），求w关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少元时，每周利润最大，最大利润是多少？ 【解答】（1）解：由题意，设所求函数关系式为y＝kx+b， ∵当销售单价为30元时，每周可售出50件；当销售单价为40元时，每周可售出40件， ∴， ∴， ∴y＝﹣x+80， ∵， ∴20≤x≤80； （2）解：由题意可得：w＝（x﹣20）（﹣x+80） ＝﹣x2+100x﹣1600 ＝﹣（x﹣50）2+900． ∵﹣1＜0， ∴当x＝50时，w最大，w最大＝900（元）． 答：w＝﹣x2+100x﹣1600（20≤x≤80）；当销售单价定为50元时，每周利润最大，最大利润为900元． 21．（2026•科尔沁区校级二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 【解答】解：（1）∵三边栅栏总长为36米，AB＝x米， ∴BC＝（36﹣2x）米． ∴y＝x（36﹣2x），即y＝﹣2x2+36x． ∵墙长20米， 3a+b＜0， ∴8≤x＜18． （2）令y＝34，则﹣2x2+36x＝34， 解得x＝17或x＝1． ∵8≤x＜18， ∴x＝17， 当x＝17时，满足条件的花园面积能达到34平方米． （3）将y＝﹣2x2+36x化为顶点式为y＝﹣2（x﹣9）2+162， ∵8≤x＜18， ∴当x＝9时，y最大，最大面积是162平方米． 22．（2026秋•同步）2026年米兰﹣科尔蒂纳冬奥会于2026年2月6日至22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举办．某网店顺势推出A、B两种纪念徽章．每个A种纪念徽章的进价比每个B种纪念徽章的进价高2元，用600元购进A种纪念徽章的数量与用500元购进B种纪念徽章的数量相同． （1）A、B两种纪念徽章每个进价各是多少元？ （2）网店某天共购进A、B两种纪念徽章共50个，当天全部销售完．销售A种纪念徽章的价格y（单位：元/个）与日销售量x（单位：个）之间的函数关系是y＝﹣2x+80；销售B种纪念徽章日获利m（单位：元）与日销售量n（单位：个）之间的关系为m＝16n﹣260． ①若该网店销售这50个纪念徽章日获利为300元，问B种纪念徽章的销售单价是多少？ ②该网店购进的50个纪念徽章中，B种纪念徽章的数量不少于A种纪念徽章数量的4倍，网店想尽快售完，决定每个A种纪念徽章降价a（0＜a＜6）元销售，B种纪念徽章的销售情况不变，若网店销售这50个纪念徽章日获利的最大值为820元，求a的值． 【解答】解：（1）设B种纪念徽章每种b元，则A种纪念徽章每种（b+2）元， ∴， ∴b＝10， 经检验，b＝10是原分式方程的解且符合实际意义； ∴b+2＝12， 答：A种纪念徽章每种12元，B种纪念徽章每种10元； （2）设该网店的日利润为w元，由题意可知 x+n＝50， ∴n＝50﹣x， ①由题意可知，w＝（y﹣12）x+m＝（﹣2x+80﹣12）x+16（50﹣x）﹣260＝﹣2x2+52x+540， ∵该网店销售这50个纪念徽章日获利共300元， ∴﹣2x2+52x+540＝300， ∴x＝30或 x＝﹣4（舍）． ∴n＝50﹣x＝20， 设此时B种纪念徽章的售价为c元， ∴m＝16×20﹣260＝（c﹣10）×20，则c＝13， ∴B型纪念徽章的销售单价是13元； ②根据题意可知，此时w＝（y﹣12﹣a）x+m＝（﹣2x+80﹣12﹣a）x+16（50﹣x）﹣260＝﹣2x2+（52﹣a）x+540， ∵0＜a＜6， ∴46＜52﹣a＜52， ∴， ∵B型纪念徽章的数量不少于A型纪念徽章数量的数量的4倍， ∴n≥4x， ∴50﹣x≥4x，则x≤10， ∴当x＝10时，w取得最大值， ∴﹣2×102+10（52﹣a）+540＝820，则a＝4． ∴a的值为4． 23．（2026秋•天津校级月考）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A（2，4）． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且A（2，4）． 将点A（2，4）代入y＝kx+2中得2k+2＝4， ∴k＝1， ∴一次函数表达式为y＝x+2， 将点A（2，4）代入中得， 解得：m＝8， ∴反比例函数表达式为； （2）联立y＝x+2与，得，即x2+2x﹣8＝0， 解得：x＝﹣4或2， 经检验均是方程的解， 当x＝﹣4时，y＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）； （3）∵A（2，4），B（﹣4，﹣2）， 根据函数图象可得，当时，0＜x≤2或x≤﹣4． 24．（2026秋•天山区校级月考）已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数的图象交于第一象限内的两点，与x轴交于A点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求S△OPQ的值； （3）当x取何值时． 【解答】解：（1）由条件可得，， 解得k2＝4， ∴反比例函数表达式为； ∵点Q（4，m）在反比例函数表达式的图象上， ∴， ∴Q（4，1）， 把，Q（4，1）代入y＝k1x+b得， ， 解得， ∴一次函数表达式为y＝﹣2x+9． （2）设一次函数y＝﹣2x+9图象与y轴交点为B，连接OP，OQ， 由条件可知，B（0，9）， ∴，OB＝9， ∴S△OPQ＝S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ ； （3）由函数图象可得，当或x＞4时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， ∴当或x＞4时，． 25．（2026•青海模拟）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限交于点B（﹣2，3）． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PAC的面积等于3，求点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点B（﹣2，3）在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴该反比例函数的解析式为：； （2）对于y＝﹣x+1，当y＝0时，x＝1， ∴一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴的交点A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， ∵点B的坐标为（﹣2，3），BC⊥x轴， ∴OC＝2， ∴AC＝OC+OA＝1+2＝3， ∵点P在反比例函数图象上，且△PAC的面积等于3， ∴有以下两种情况： ①当点P在第二象限的反比例函数的图象上时，过点P作PD⊥x轴于点D，如图1所示： ∵△PAC的面积等于3， ∴， ∴， ∴PD＝2， ∴点P的纵坐标为2， 对于，当y＝2时，x＝﹣3， ∴点P的坐标为（﹣3，2）； ②当点P在第四象限的反比例函数的图象上时，过点P作PE⊥x轴于点E，如图1所示： ∵△PAC的面积等于3， ∴， ∴， ∴PE＝2， ∴点P的纵坐标为﹣2， 对于，当y＝﹣2时，x＝3， ∴点P的坐标为（3，﹣2）； 综上所述：点P的坐标为（﹣3，2）或（3，﹣2）． 26．（2026秋•长沙月考）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y﹣x称为点A的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上，点A的“郡值”为3﹣1＝2，函数y＝2x+1图象上所有点的“郡值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1在3≤x≤6时的“最优郡值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣2，3）的“郡值”为　5　 ； ②函数yx（﹣4≤x≤﹣1）的“最优郡值”为　﹣1　 ； （2）线段MN：y＝kx+1（﹣1≤x≤2）的“最优郡值”为3，求k的值； （3）若二次函数y＝﹣（x﹣h）2+k图象的顶点在直线y＝x+9上，当﹣1≤x≤4时，二次函数的“最优郡值”为7，求h的值． 【解答】解：（1）①点B（﹣2，3）的“郡值”为3﹣（﹣2）＝5； 故答案为：5； ②∵， ∴， ∵在﹣4≤x≤﹣1时随x的增大而减小， ∴x＝﹣4时，y﹣x的最大值为﹣1， ∴函数的“最优郡值”为﹣1． 故答案为：﹣1； （2）∵线段MN：y＝kx+1（﹣1≤x≤2）， ∴y﹣x＝kx+1﹣x＝（k﹣1）x+1， ∵MN：y＝kx+1（﹣1≤x≤2）的“最优郡值”为3， ∴需要分k﹣1＜0和k﹣1＞0两种情况讨论， 当k﹣1＜0，即k＜1时，（k﹣1）x+1随x增大而减小， ∴y﹣x要取得最大值3，则x＝﹣1，解得k＝﹣1，经检验符合k＜1； 当k﹣1＞0，即k＞1时，（k﹣1）x+1随x增大而增大， ∴y﹣x要取得最大值3，则x＝2，解得k＝2，经检验符合k＞1， ∴综上所述，k＝﹣1或k＝2． （3）由条件可知k＝h+9， ∴y＝﹣（x﹣h）2+h+9， ∴二次函数“郡值”表达式为y﹣x＝﹣x2+（2h﹣1）x﹣h2+h+9， ∵﹣x2+（2h﹣1）x﹣h2+h+9在﹣1≤x≤4上的最大值为7， ∴需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，﹣x2+（2h﹣1）x﹣h2+h+9在﹣1≤x≤4区间上随x增大而减小， ∴当x＝﹣1时，取得最大值7，代入得﹣h2﹣h+2＝0，解得h＝﹣2或h＝1（舍去）； 当对称轴时，﹣x2+（2h﹣1）x﹣h2+h+9在﹣1≤x≤4区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得：， ∴该情况与题意不符； 当对称轴时，﹣x2+（2h﹣1）x﹣h2+h+9在﹣1≤x≤4区间上随x增大而增大， ∴当x＝4时，取得最大值7，代入得h2﹣9h+18＝0，解得h＝3（舍去）或h＝6． ∴综上所述，h＝﹣2或h＝6． 27．（2026•德阳）同学们学习了物理知识后，知道在力F（单位：N）的作用下，如果物体在力F的方向上发生位移s（单位：m），那么力F所做的功W（单位：J）满足W＝Fs．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示．请根据以上信息解决以下问题： （1）写出s关于F的函数解析式； （2）当物体受到的力F为10N时，求物体在该力方向上的位移s； （3）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于20m，求力的范围． 【解答】解：（1）由W＝Fs，且W为定值，说明s与F成反比例关系． 从图象可知， 当F＝20N时，s＝25m， 所以W＝20×25＝500J， 因此（F＞0）， 答：s关于F的函数解析式为（F＞0）； （2）当F＝10N时， m， 答：物体在该力方向上的位移为50m． （3）要使位移s＜20，即， 因为F＞0，两边同乘F，不等号方向不变：500＜20F， 所以力的范围为F＞25， 答：力的范围为F＞25N． 28．（2026•湘桥区模拟）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接AC，点A，B的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2，设直线AC的解析式为y＝kx+b． （1）求反比例函数解析式和直线AC的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分∠ABD时，直接写出直尺平移的距离． 【解答】解：（1）∵点A，B的刻度分别为5，2，OB＝2， ∴点A（2，3）， ∴m＝2×3＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）由（1）得，点A（2，3），由图可知点C的横坐标为4， ∴不等式的解集为2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4； （3）设沿x轴负方向平移直尺t个单位，如图，连接BC， 则B（2﹣t，0），D（4﹣t，0）， ∴BD＝2， ∵BC恰好平分∠ABD，∠ABD＝90°， ∴∠CBD＝∠ABD＝45°， ∵∠BDC＝90°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD＝BD＝2， ∴C（4﹣t，2）， 把点C的坐标代入y，得2， 解得：t＝1， ∴沿x轴负方向平移直尺1cm时，BC恰好平分∠ABD． 29．（2025秋•安康期末）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（30℃），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）求降温阶段y与x的函数表达式； （2）求温度从600℃降到室温30℃所需要的时间． 【解答】解：（1）设反比例函数表达式为， 由题意可得：， 解得k＝2400， 所以所求函数表达式为； （2）把y＝30代入得，x＝80， 80﹣4＝76（min）， 答：所需要的时间为76min． 30．（2026春•肥城市期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于7：20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： x（分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … y（℃） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （3）上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 【解答】解：（1）如图； （2）第一次加热：0≤x≤7，为一次函数，设y＝mx+30（m≠0）， 将点（7，100）代入，可得100＝7m+30， 解得m＝10， ∴第一次加热过程的函数解析式为y＝10x+30（0≤x≤7）； 第一次降温：x＞7，为反比例函数， 设， 将点（7，100）代入，可得， 解得k＝700， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）能，计算过程如下： 由题意得，由7：20到8：45，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当y＝30时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵46.7℃＜50℃， ∴同学们能喝到不超过50℃的水． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $