第25章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第25章一元二次方程 检测卷 -2026—2027学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 4．已知方程，则的值为（    ） A． B．0 C． D．或0 5．若关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．或3 D．或1 6．已知关于x的一元二次方程 的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．一元二次方程+2x-6=0的根是（　　） A． == B．=0，=-2 C．=，=-3 D．=-，=3 8．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．用配方法解一元二次方程，可以写成（x＋h）2＝k的形式，则___________． 10．设m，n是方程的两个实数根，则的值为________． 11．若关于的方程的两个根分别为1和，则_____，_____. 12．代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根_______和_______ ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 13．观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处： （1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200 相同之处：两边都是整式，都只含有____个未知数． 不同之处：方程（1）未知数的最高次数是_____次，方程（2）未知数的最高次数是____次． 14．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是_____． 三、解答题 15．解下列一元二次方程． (1) (2) 16．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 18．已知方程的两根分别为、，求的值． 19．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 20．为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 21．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 22．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 23．某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第25章一元二次方程 检测卷 -2026—2027学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D A C C C 1．C 【详解】=25， x=±5， 所以. 故选C. 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵ 方程 中，，， ∴ ． 故选：A． 3．D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 4．D 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． 5．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，一般地，形如的方程叫做一元二次方程得到关于的方程，然后进行求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， 且， 解得， 故选：A． 6．C 【分析】利用判别式大于0求解即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴一元二次方程 的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．C 【详解】解：，a=1，b=，c=-6，∴△=b2-4ac==32＞0，∴x==，故选C． 8．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 9． 【分析】根据配方法的一般步骤进行配方即可． 【详解】解：原方程可以化为：， 移项，得， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得； 故答案是：． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，掌握配方法解一元二次方程是解答本题的关键． 10．2 【分析】根据根与系数的关系进行求解即可 【详解】由题意为方程的两个实数根 ∴， 把代入方程可得： ∴ 故答案为2 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 11． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．由题意已知两个根，利用根与系数的关系，进行分析求解． 【详解】解：∵的两个根分别为1和， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 12． 【分析】本题考查了代数基本定理解高次方程，解一元二次方程． 设另外两根是的根，由其中一个根为，则可化为，求出，，得到，求解即可． 【详解】设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为， ∴可化为， 即， 计算得， 可得，， ∴， 解得，， 故答案为：，． 13． 1 1 2 【解析】略 14．36（1-x）2=25 【分析】第一次降价后的价格为36×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1-x）×（1-x），进而即可列出方程. 【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1-x）×（1-x）， 则列出的方程是36（1-x）2=25． 故答案为：36(1-x)2=25 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系列出方程是关键. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 16．(1)或； (2)或 【分析】本题考查用直接开方法解一元二次方程，直接开方法适用于形如或的方程，核心是将方程转化为完全平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义求解． （1）先利用平方差公式展开方程左边，将方程转化为的形式，再直接开平方求解； （2）方程两边都是完全平方的形式，直接对两边开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为， 移项，合并同类项，得， 直接开平方得； 所以原方程的根为：或． （2）解：， 两边直接开平方得， ①当时，解得； ②当时，解得； 所以原方程的根为：或． 17．(1) 解：∵， ∴方程总有两个实数根； (2)该方程的另一个根为2 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 18．的值为 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出，后，代入即可得解． 【详解】解：方程的两根分别为、， ，， ． 故的值为． 19． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 20．(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． 21．（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式，求解一元一次不等式即可； （2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得； （2）由根与系数的关系，可得， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴ 【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根的情况以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本知识是解题的关键． 22．（1）1   （2），；， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值； （2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得 解得． （2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程． 此时方程为，解得； 当即时，方程为一元一次方程， 此时方程为，解得． 【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面． 23．(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $