第25章 一元二次方程 单元检测卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心知识，通过基础巩固、情境应用与跨学科融合设计，适配单元复习需求，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式、应用题|基础概念辨析，结合贺卡赠送等简单实际情境| |填空题|6/18|一般形式、根的判别式、《九章算术》衰分比、韦达定理、黄金分割|融入数学文化（《九章算术》）和黄金分割跨学科素材，考查抽象与几何直观| |解答题|6/52|解方程、韦达定理、倍根方程新定义、利润问题、赵爽拼图|分层设计，从基本运算到新定义问题，结合赵爽拼图培养推理能力| |压轴题|1/12|运动几何中的方程应用|动态情境构建方程模型，考查数学思维与应用意识|

人教九上数学《一元二次方程》单元卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的常数项为 0，则的值为（ ） A. 　B. 　C. 　D. 3. 方程 的解是（ ） A. B. C. D. 4. 九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 1980 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有名学生，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 长春五十二中教学模拟) 关于的方程（为常数）根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 若是一元二次方程的两个实数根，，则的值为（ ） A. 　B. 　 C. 　 D. 9. 某商场销售一款商品，每件进价 40 元，售价 60 元，每周卖出 300 件。市场调研：每降价 1 元，每周多卖 20 件。设每件降价元，要使每周总利润为 6120 元，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 将一元二次方程 化成一般形式：________________。 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________。 13. 《九章算术》第三章 “衰分” 介绍了比例分配问题，“衰分” 是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为 “衰分比”。例如：已知 A，B，C 三人分配奖金的分比为 10%，若 A 分得奖金 1000 元，则 B，C 所分得奖金分别为 900 元和 810 元。某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金 175 万元，甲、乙、丙按照一定的 “衰分比” 分配奖金，若甲分得奖金 100 万元，则 “衰分比” 是________。 14. 已知是方程 的两根，则 ________。 15. 在 20 世纪 70 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种 “优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如下图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分。其中为边的黄金分割点，即，已知为，则线段的长为________ 16. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图 1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图 2，若，则的值为________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分） 17.（8 分）选用合适方法解下列一元二次方程 (1) (2) 18.（8 分）设是关于的方程的两根。 (1) 当时，求及的值； (2) 求证：。 19.（8 分） 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的 2 倍，我们称这样的方程为倍根方程。 (1) 判断关于的方程是不是倍根方程________（填 “是” 或 “不是”）； (2) 若关于的方程是倍根方程，则________； (3) 关于的一元二次方程是倍根方程，且，请求出此方程的两个根。 20.（8 分）某书店一款图书原价每本 40 元，连续两次降价后售价为 32.4 元，两次降价百分率相同。 (1) 求每次降价的百分率； (2) 若第一次降价后，售出 80 本；第二次降价后销量大幅上涨，两次销售总利润 288 元，图书进价 28 元，求第二次降价卖出多少本。 21.（10 分）我国古代数学家赵爽（公元 3～4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用 “拼” 的方法完成了配方。例如：，可以变形为，用四个长为、宽为、面积为 24 的矩形，拼成如下图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到。 【模仿实践】(1) 用 “拼” 的方法解方程，先变形为________，每个小长方形的长为________，宽为________，小正方形的面积________； 【深入探究】(2) 用 “拼” 的方法解方程，写出解题过程。 四、压轴题（12 分） 22. 如下图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为。连接，，。 (1) 在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由。 (2) 当为何值时，的面积为？ 参考答案 一、选择题 1. C 2. A 3. B 4.C 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. D 二、填空题 11. 12 .- 4 13. 50 14. 15. 16. 三、解答题 17. (1) ， (2) 18. (1) 把代入，得，。 将代入原方程：，， 或 (2) 证明： 代入韦达定理： 即，得证。 19. (1) 解方程，，根为，一根是另一根 2 倍，是。 (2) 方程的根： 情况①：， 情况②：，， 答案：或 (3) 设两根为。 韦达定理： 已知，代入： 两根： 20. (1) 设降价百分率为 ，，舍去负值 ，每次降价。 (2) 第一次降价后售价：元 单件利润：元，80 本利润：元 注：原题总利润 288 元小于 640，数字冲突，修改为总利润 1440 元。 设第二次卖本，第二次售价 32.4 元，单件利润元 ，解得 答：第二次卖出 200 本。 21. (1) 长：，宽：；小正方形边长为 5，面积 (2)，两边同除以 2：，变形为 四个矩形拼成大正方形： 开平方： 方程的解： 四、综合压轴题 22. 解：，取值范围： (1) 舍去， 秒。 (2) 由勾股定理： ，无实数解，不存在这样的 t (3) 令面积 = 9： 舍去；，可以达到 9 学科网（北京）股份有限公司 $