四川成都棠湖外国语学校2026-2027学年高一上学期数学期中模拟试卷（一）（提升卷）

成都棠湖外国语学校高一上期期中模拟试卷（一）（提升卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：集合， ， 则． 故选：． 先求出集合，利用交集定义能求出结果． 本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】集合表示被整除余数为的整数所构成的集合， 集合表示被整除余数为的整数构成的集合， 表示被整除余数为或的整数集合， 则它在整数集中的补集是恰好被整除的整数集． 故选：． 3.已知函数，那么当取得最小值时，的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：函数， 可得，当且仅当时，取等号． 故选：． 直接利用基本不等式求解即可． 本题考查基本不等式的应用，考查计算能力． 4.若：，：，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基础题． 先求出成立时的范围，根据包含关系可解决此题． 【解答】 解：由：，变形得，解得或， ：， 可知， 是的必要不充分条件． 故选B． 5.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：函数中，， 所以． 故选： 6.已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设，由题意可得，解得． 所以实数的取值范围是． 7.已知函数，关于的不等式的解集为，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则满足条件的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意，的解集为且在恒成立， ，即，则，即，， 则即，整理得在恒成立， 所以，解得， 不等式，即， 整理得， 又， 所以可化为， 解集为， 因为解集中有且仅有个整数， 所以，解得， 又， 所以的取值范围是． 故选：． 先由不等式解集为，利用一元二次不等式根与系数关系得到，用表示，结合区间恒成立求出；再化简第二个不等式，根据解集恰好个整数得到，最后取交集得到的范围． 本题考查不等式的解法及其运用，考查运算求解能力，属于中档题． 8.已知，均为正实数，为实数，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：法一若，则原式； 若，则，且，均为正实数， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 法二， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 故选：． 法一对原式变形，利用基本不等式分析求解即可． 法二由，分母利用基本不等式即可得出答案． 本题考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的有(    ) A. 已知，则 B. 函数的图象与直线的交点最多有个 C. 函数，则 D. 与是同一函数 【答案】ABD  【解析】解：对于，由，得，选项A正确； 对于，由函数定义知，函数的图象与直线的交点最多有个，选项B正确； 对于，由，得，则，选项C错误； 对于，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数，选项D正确． 故选：． 10.已知关于的不等式的解集为，则(    ) A. B. 不等式的解集为 C. 解集为 D. 函数的图象过定点 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式和函数，方程之间的关系，考查转化的思想，是中档题． 根据所给不等式和解集，可得，且，，中令可得，中直接把代入解二次不等式，中根据不等式和函数的关系可知过，即可得图象过定点． 【解答】 解：的解集为，可得，，且，， 中，令，有，所以不正确； 中，即，即，所以或，故B正确； 中，，即，即，解集为，故C正确， 中，因为过，所以函数的图象过定点，故D正确． 故选BCD． 11.定义在上的函数满足下列条件：；当时，，则(    ) A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 【答案】ACD  【解析】【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于，取可得；对于，取，再由条件当时，推理可得；对于，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于，运用单调性定义法推导即可． 【详解】对于，由， 取，得，故 A正确； 对于，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故 C正确； 对于，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故 B错误； 对于，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故 D正确． 故选：． 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，若，则实数的取值范围为        ． 【答案】  【解析】解：集合，， 当时，满足，此时应满足， 整理得，即，解得． 当时，需满足或， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 分集合为空集和非空集两类情况，结合的约束条件列不等式求解的取值范围即可． 本题主要考查交集的应用，考查计算能力，属于基础题． 13.已知，，，则的最小值为        ． 【答案】  【解析】解：，，令，，则． 由，等式两边同乘，得． 因为，所以，从而． 当、时，，，且，故满足题设条件并有． 因此的最小值为． 故答案为：． 令、，将约束改写为关于的二次式，再利用其最大值求的下界，并验证等号能够取得． 本题考查基本不等式的应用，是中档题． 14.已知集合，用符号表示非空集合中元素的个数，表示非空集合中元素的个数，定义，若，则实数的所有可能取值构成集合，则        请用列举法表示 【答案】  【解析】解：由得因为，由得或． 方程等价于或． 当时，因为恒为解，所以，此时必须； 而时给、无实根，确实，故符合． 当时，若，则与都在中且互不相等，此时需恰好再提供个新元素： 若该方程有两个相等实根，则，即． 当时，重根为，，，，符合； 当时，重根为，，，，符合． 若该方程有两个不等实根且其中一个恰为，则且，解得． 当时，的根为、，其中，，，符合； 当时，的根为、，其中，，，符合． 综上，． 故答案为：． 由定义把化为或，再按中元素个数分类：时只能；时先固定与两个元素，再分“二次方程有两个重根“与“有两个不等根且其一为“两种情况求，逐一验证后合并． 本题主要考查集合中元素个数的讨论、一元二次方程根的分布及对新定义的理解，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，或，． 求，； 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】解：集合，集合或， 所以或，； 由“是的必要不充分条件”知：是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，，即； 综上所述，实数的取值范围是．  【解析】解：集合，集合或， 所以或，； 由“是的必要不充分条件”知：是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，，即； 综上所述，实数的取值范围是． 先求解一元二次不等式得到集合，再根据集合交集、并集运算即可求解； 把必要不充分条件转化为集合真包含关系，分集合为空集、不是空集两种情况讨论，列不等式组即可求得参数的取值范围． 本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 16.本小题分 已知全集，集合或，，． 若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围． 【答案】解：已知集合或，因此． 由“是的必要条件”，可得：若则必有，即． 集合， 则满足， 解得， 即实数的取值范围为； 当，即，解得， 当，此时，要让中没有小于或大于的元素， 需满足：，解得，结合，得， 综上可得实数的取值范围为．  【解析】解：已知集合或，因此． 由“是的必要条件”，可得：若则必有，即． 集合， 则满足， 解得， 即实数的取值范围为； 当，即，解得， 当，此时，要让中没有小于或大于的元素， 需满足：，解得，结合，得， 综上可得实数的取值范围为． 求出的补集，根据必要条件转化为集合包含关系；再利用区间包含列不等式组，求出范围； 根据，分空集、非空集两类讨论，最后合并两种情况得到的取值范围． 本题考查了充要条件的判定，是中档题． 17.本小题分 比较和的大小； 若，，，求证：． 【答案】解：根据题意， 作差可得：， 则有； 证明：因为，所以， 又因为，则有，所以， 则有， 又由，，则，而，所以， 则有，得．  【解析】解：根据题意， 作差可得：， 则有； 证明：因为，所以， 又因为，则有，所以， 则有， 又由，，则，而，所以， 则有，得． 根据题意，用作差法，将两式相减后，分析差的符号，即可得结论； 由已知条件推出和，利用倒数性质和同号可乘性，结合确定，最终证得结论． 本题考查不等式的证明，涉及作差法比较不等式的大小，属于基础题． 18.本小题分 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． 求二次函数的不动点； 若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； 若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 【答案】解：令，则，即， 解得或，所以二次函数的不动点为和． 令，整理得． 由题意得：，解得． ， 令，则代入得， 当且仅当，即时，也即是时等号成立，此时的最小值为． 令，整理得， 由题意得，对任意，恒成立， 即对任意恒成立，那么． 化简得，即，解得． 又，故，所以的取值范围是．  【解析】解：令，则，即， 解得或，所以二次函数的不动点为和． 令，整理得． 由题意得：，解得． ， 令，则代入得， 当且仅当，即时，也即是时等号成立，此时的最小值为． 令，整理得， 由题意得，对任意，恒成立， 即对任意恒成立，那么． 化简得，即，解得． 又，故，所以的取值范围是． 根据不动点的定义，令，解一元二次方程即可． 根据已知条件列出不等式组，然后根据韦达定理化简表达式，最后利用基本不等式的性质计算即可． 根据已知条件列出方程与不等式，进而计算出结果． 本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，新定义问题，考查运算求解能力，属于中档题． 19.本小题分 已知函数，且． 求函数的解析式； 若，使得不等式成立，求实数的取值范围； 若，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】【详解】由题意， 解得，， 所以． 当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，． 所以，则． 不等式，即， 得在有解，所以且， 即， 则实数的取值范围为． 因为，所以， 恒成立，所以，则， 而 ， 设，其中，则， 当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以， 因为函数在上单调递增，可得， 所以，即实数的最小值为． 【点睛】方法点睛：求解函数不等式恒能成立问题，常常利用函数最值解决问题，而遇到原函数有参数时，常用参变量分离法分离参数，进而利用函数性质求解最值以解决问题．   【解析】【分析】根据题设代点求解即可； 结合对勾函数的性质可得，转化问题为在有解，进而求解即可； 由已知可得，化简可得，，换元结合对勾函数的性质求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都棠湖外国语学校高一上期期中模拟试卷（一）（提升卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，那么当取得最小值时，的值是(    ) A. B. C. D. 4.若：，：，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 6.已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，关于的不等式的解集为，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则满足条件的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知，均为正实数，为实数，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的有(    ) A. 已知，则 B. 函数的图象与直线的交点最多有个 C. 函数，则 D. 与是同一函数 10.已知关于的不等式的解集为，则(    ) A. B. 不等式的解集为 C. 解集为 D. 函数的图象过定点 11.定义在上的函数满足下列条件：；当时，，则(    ) A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，若，则实数的取值范围为        ． 13.已知，，，则的最小值为        ． 14.已知集合，用符号表示非空集合中元素的个数，表示非空集合中元素的个数，定义，若，则实数的所有可能取值构成集合，则        请用列举法表示 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，或，． 求，； 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知全集，集合或，，． 若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； 若，求实数的取值范围． 17.本小题分 比较和的大小； 若，，，求证：． 18.本小题分 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． 求二次函数的不动点； 若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； 若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 19.本小题分 已知函数，且． 求函数的解析式； 若，使得不等式成立，求实数的取值范围； 若，使得不等式成立，求实数的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $