四川成都棠湖外国语学校2026-2027学年高一上学期数学期中模拟试卷（一）（基础卷）

高一上期期中模拟试卷（一）（基础卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中：；；；正确的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：是集合的子集，不是元素，错误； 的元素都是的元素，所以，正确； 空集是任何非空集合的真子集，正确； 是数集，是点集，不相等，错误， 所以正确的个数是． 故选：． 根据元素与集合的关系、集合间的关系、真子集和子集的定义以及集合相等的定义判断每个式子的正误即可． 本题考查了子集和真子集的定义，空集的定义，集合相等的定义，是基础题． 2.已知，，则是等式成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】解：根据题意，已知，，若，则有， 反之，若，变形可得，则有，必有， 故是等式成立的充要条件， 故选：． 根据题意，先证明充分性，由，易得，再证明必要性，将，变形可得，分析可得，结合充分必要条件的定义分析可得答案． 本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题． 3.已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意，和是方程的两个根，且， 根据韦达定理，可得，解得，， 不等式可化为， 两边都除以，可得， 即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：． 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理算出，，将其代入所求不等式化简，进而可得本题的答案． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题． 4.已知函数，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题可得， 则， 所以， 又，所以． 故选：． 先求得，再由求得． 本题主要考查奇函数的性质应用，属于基础题． 5.若函数是定义在上的偶函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性以及应用，属于基础题． 由偶函数的定义可得，求得、的值即可． 【解答】 解：因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 则， 所以， 则． 故选：． 6.已知集合点不在第二、四象限，集合若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：， 点不在第二、四象限， 因为“”是“”的充分条件，所以， 即对任意，恒成立， 当时，，恒成立； 当时，，不等式等价于， 即对所有恒成立， 所以， 综上，实数的取值范围为． 故选：． 先求解集合及集合的不等式，利用充分条件等价于，结合恒成立关系求出的取值范围． 本题考查了充分条件的判定，是中档题． 7.函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查求分段函数的定义域、值域、解析式，属于基础题． 由函数可得其解析式，由此求得的图象，故可得答案． 【解答】 解：由，得到函数图象， 由图易知函数的最小值为． 故选B． 8.关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是(    ) 不等式的解集可以是 不等式的解集可以是 不等式的解集可以是 不等式的解集可以是 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：当且时，二次函数图象开口向上，与轴无交点，恒成立，解集为，正确． 若解集为，不等式只能是一次不等式，即，， 不等式化为，解得， 令，得，不等式为，解集为，正确． 当时代入得， 则一定满足不等式，解集不可能为空集，错误． 若解集为，说明，方程两根为，， 由根与系数的关系得，，解得，，得， 不等式，即，解集为，正确． 综上，正确，一共个． 故选：． 当且时，符合题意；根据题意可得，的值，进而判断；一定满足不等式，错误；根据题意可得，的值，进而判断． 本题考查不等式的解法及其运用，考查运算求解能力，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正实数，满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】解：因为，即， 化简得， 所以舍去或， 即，当且仅当时取“”，故A正确； 因为，即， 化简得， 所以舍去或，当且仅当时取“”，故B错误； 由，可得，即， 因为，均为正实数，且，所以，， 所以， 当且仅当，取等号， 所以，故C正确； 因为，且，， 所以， 当且仅当，时取“”，故D正确． 故选：． 利用基本不等式判断，，利用分解因式以及基本不等式判断，． 本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 10.在下列四组函数中表示同一函数的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD  【解析】解：对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于，函数的定义域为，的定义域为，与的定义域相同， 对应关系相同，则与是同一函数； 对于，函数的定义域为，的定义域为， 与的定义域不相同，则不是同一函数； 对于，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数． 故选：． 根据两个函数的定义域与对应法则均相同为同一函数判断．，逐一分析即可． 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题． 11.已知函数满足，，，且当时，，则(    ) A. B. 是奇函数 C. D. 在上单调递减 【答案】ABD  【解析】解：选项A，在中，令，则，所以，即选项A正确； 选项B，令，则， 所以是奇函数，即选项B正确； 选项C，当时，，不满足，即选项C错误； 选项D，设，则， 因为当时，， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 又是奇函数， 所以在上单调递减，故选项D正确． 故选：． 选项A，令，即可得；选项B，令，可得，由函数奇偶性的定义即可作出判断；选项C，取特殊值，代入，即可判断；选项D，利用函数单调性的定义，并结合函数的奇偶性，求解即可． 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，熟练掌握函数的单调性与奇偶性的定义，赋值法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若不等式的解集是，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：若不等式的解集是， 可知是方程两根， 所以，则，则． 故答案为：． 根据一元二次不等式以及一元二次方程相关知识可解． 本题考查一元二次不等式以及一元二次方程相关知识，属于基础题． 13.函数的单调递增区间是        ． 【答案】  【解析】解：根据题意，，有，解可得，即函数的定义域为， 设，，则， 若函数单调递增，必有，为增函数， 而在上为增函数， 故函数的单调递增区间是 故答案为： 根据题意，先分析函数的定义域，设，，则，结合复合函数的单调性判断方法分析可得答案． 本题考查复合函数的单调性，涉及幂函数的性质，属于基础题． 14.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用函数的单调性建立不等式组，即可得解． 【解答】 解：要使函数在上单调递增， 只需，解得：． 所以实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，． 若，求； 若，求实数的取值范围． 【答案】解由，得或， 由，得， 所以或． 由，得． 当，即时，，满足，符合题意． 当，即时，若满足，则有，解得． 综上所述，实数取值范围为．   【解析】本题主要考查交并补混合运算，含参数的交集运算问题，属于基础题． 当时，分别求出，结合交集的概念即可得解； 由题意得，分是否是空集进行分类讨论，分别列出不等式即可求解． 16.本小题分 已知集合、集合． 若，求实数的取值范围； 设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】解：由题意可知： ， 又， 当时，，解得， 当时， 解得， 综上所述， 实数的取值范围为； 命题是命题的必要不充分条件， 集合是集合的真子集， 当时， 可得，解得， 当时，由可得． 综上所述，实数的取值范围为  【解析】本题考查必要不充分条件的应用，含参数的交集运算问题，属于基础题． 分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； 根据必要不充分条件，和两种情况讨论，即可求解． 17.本小题分 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入为元已知这种水果的市场售价大约为元千克，且销售畅通，记该水果单株利润为单位：元． 求单株利润单位：元关于施用肥料单位：千克的关系式； 当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：由题意得，， 即，整理得． 当时，为对称轴开口向上的抛物线， 所以当时，， 当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即， 综上，当时，该水果单株利润最大，最大利润是元．  【解析】利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； 根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案． 本题考查了分段函数模型应用问题，是中档题． 18.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 确定函数的解析式，并证明在的单调性； 解关于的不等式． 【答案】解：根据题意，因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 又，即， 所以，所以函数， 因为函数是定义为，且， 即函数为上的奇函数； 函数在区间上单调递增，证明如下： 设，是上任意两个实数，且，则有， 于是有 ， 因为，所以，， 所以，又，所以， 所以函数在区间上单调递增； 因为函数是定义在上单调递增的奇函数， 所以不等式的解等价于的解， 所以有， 所以不等式的解为：．  【解析】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及不等式的解法，属于中档题． 利用函数的奇偶性以及已知条件即可求出函数的解析式，并用定义证明函数在的单调性； 利用函数奇偶性以及函数单调性解不等式即可． 19.本小题分 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数该函数具有以下性质： 的定义域为，值域为； 任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． 若，求关于的方程的解； 求关于的不等式的解集； 若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】解：已知， 当时，，， 代入方程得， 解得，符合题意； 当时，，， 代入方程得， 解得，符合题意． 综上，方程的解为或； 当时，， 又，得，不等式恒成立； 当时，，， 代入不等式得，解得， 结合区间得； 当时，，， 代入不等式得， 解得， 结合区间得； 当时，，， 故，不等式无解． 综上，不等式的解集为； 当时，，， 不等式整理为恒成立． 令，， 则， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 故右端最小值为，得； 当时，，，不等式整理为恒成立． 令，， 则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减， 故，得． 结合， 综上，的取值范围为．  【解析】解：已知， 当时，，， 代入方程得， 解得，符合题意； 当时，，， 代入方程得， 解得，符合题意． 综上，方程的解为或； 当时，， 又，得，不等式恒成立； 当时，，， 代入不等式得，解得， 结合区间得； 当时，，， 代入不等式得， 解得， 结合区间得； 当时，，， 故，不等式无解． 综上，不等式的解集为； 当时，，， 不等式整理为恒成立． 令，， 则， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 故右端最小值为，得； 当时，，，不等式整理为恒成立． 令，， 则， 由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减， 故，得． 结合， 综上，的取值范围为． 根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对的取值范围分段讨论，求解方程即可； 根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对的取值范围分段讨论，求解不等式即可； 根据高斯函数的分段性质，按整数分界点对的取值范围分段讨论，采用分离参数法结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数范围． 本题考查了高斯函数的定义及性质，考查了分类讨论思想、基本不等式的应用及对勾函数的性质，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上期期中模拟试卷（一）（基础卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中：；；；正确的个数是(    ) A. B. C. D. 2.已知，，则是等式成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，若，则(    ) A. B. C. D. 5.若函数是定义在上的偶函数，则(    ) A. B. C. D. 6.已知集合点不在第二、四象限，集合若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 7.函数的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的个数是(    ) 不等式的解集可以是 不等式的解集可以是 不等式的解集可以是 不等式的解集可以是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正实数，满足，则(    ) A. B. C. D. 10.在下列四组函数中表示同一函数的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 11.已知函数满足，，，且当时，，则(    ) A. B. 是奇函数 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若不等式的解集是，则的值为        ． 13.函数的单调递增区间是        ． 14.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，． 若，求； 若，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知集合、集合． 若，求实数的取值范围； 设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17.本小题分 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”经调研发现：某水果树的单株产量单位：千克与施用肥料单位：千克满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入为元已知这种水果的市场售价大约为元千克，且销售畅通，记该水果单株利润为单位：元． 求单株利润单位：元关于施用肥料单位：千克的关系式； 当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 18.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 确定函数的解析式，并证明在的单调性； 解关于的不等式． 19.本小题分 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，，取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数该函数具有以下性质： 的定义域为，值域为； 任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． 若，求关于的方程的解； 求关于的不等式的解集； 若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $