精品解析：天津市南开翔宇学校2025-2026学年八年级上学期数学第三次学情自测

2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，轴对称图形有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键； 根据如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此作答即可． 【详解】解：∵如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， ∴第2，3，4个图形是轴对称图形， ∴轴对称图形有3个， 故选：C． 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，把分式的分母因式分解后，根据最简公分母的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是 故选：B． 3. 唐诗“不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香．”歌颂了梅花不畏严寒，努力绽放的坚毅品格．已知某种梅花花粉的直径约为0.000032米，数据0.000032用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解后右边是整式乘积的形式 根据因式分解的定义，判断等式右边是否为乘积形式且与左边相等即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式， A、的右边为和的形式，不是乘积且等式左右不相等； B、的右边为和的形式，不是乘积； C、的右边为和的形式，不是乘积； D、的右边为乘积形式，且左边，符合定义； ∴ 故选：D． 5. 分式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据分式的值为的条件，即可求解． 【详解】解：分式， 且， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 6. 如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线的作法及角平分线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的步骤是解题的关键； 根据尺规作图的画法可得是的角平分线，所以，，从而证得，由此可以判断各个选项． 【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线， ∴，， ∴选项A、D不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵不一定成立， ∴选项C符合题意； 故选：C． 7. 如果把分式的x和y都变为原来的相反数，那么分式的值（ ） A. 变为原来的相反数 B. 变大了 C. 变小了 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中和分别用和替换得到新分式，然后化简新分式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，新分式为， ∴新分式的值与原分式的值相同，即分式的值不变， 故选：D． 8. 若的三边，，满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，，，解得，，，于是可得，即可得出答案． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ， 是等边三角形， 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，等式的性质，等边三角形的判定等知识点，由推出，，是解题的关键． 9. 若，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．根据，再判断、的关系即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， 故选：D． 10. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟进站旅客的人数是人，根据300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人． 根据题意，得， 故选：A． 11. 已知常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简及代数式求值，同时也考查了完全平方公式的应用：熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先根据题意，由完全平方公式及二次根式性质可知，再由因式分解及完全平方公式变形，代入即可求解． 【详解】 故选：B 12. 如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 已知：，且，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平方差公式应用，根据代入计算即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，中，，，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角，三角形的内角和定理，等腰三角形等边对等角的性质等； 根据等腰三角形等边对等角得到，，，由外角的性质得到，最后根据三角形的内角和定理得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若的展开式不含x的二次项，则a的值为_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法． 将多项式展开后，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解a的值即可． 【详解】解：， ∵的展开式不含x的二次项， ∴， 解得． 故答案为：2． 16. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】原式先将负整数指数幂进行化简，然后再约分即可， 【详解】解： = = =， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确将变形为是解答本题的关键， 17. 如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为__________； （2）_______． 【答案】 ①. 平行四边形 ②. 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，含直角三角形的性质等知识． （1）由已知条件可得出，含直角三角形的性质得出，由等边三角形的性质得出，即可得出， ，再得出，，即可得出四边形的形状为平行四边形， （2）设，则，分别求出对应三角形的面积以及四边形的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， （2）设，则， ∴， ∴， 故答案为：平行四边形，． 三．解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图中以为边画出，使它的顶点都在格点上，且，； （2）作出（1）中所作最大边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、网格作图、实数的大小比较以及全等三角形的判定和性质等知识； （1）根据勾股定理结合网格的特点即可确定三角形的第三个顶点； （2）先判断是最大边，取格点E，连接交于D，易得，利用网格的特点结合全等三角形的判定和性质即可判断即为边上的高． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由于，即， 所以是最大边，边上的高作图如下：取格点E，连接交于D，则即为边上的高． 19. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解． （2）计算： ． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． （1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）将代入求解即可． 【小问1详解】 解：将看成一个整体，令， 则原式． 【小问2详解】 解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 20. 解分式方程： ． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤计算：①去分母变为整式方程；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【详解】解：， 两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母时要注意符号的变化． 21. 如图，点B，E，C，F在一条直线上， ，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三位同学的发言：甲说：“添加”．乙说：“添加”．丙说：“添加”．请选择甲、乙、丙三个同学中说法正确的一种，并给出相应的证明过程． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 由可得，再加上已知条件，然后分别根据添加的条件，利用三角形全等的判定方法分别判定甲、乙、丙同学的说法即可，然后选一个证明即可； 【详解】∵， ∴， ∵， ∴添加，条件为，不可以证明； 所以，甲同学中说法不正确， 选乙同学的说法，证明： ∵， ∴． ∵， ∴， 在与中， ， ∴； 选丙同学的说法，证明： ∵， ∴． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，，． （1）如图1，已知，，，轴于E， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，已知在中，，，连接，N是的中点，连接，，试猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等即可解答； ②证明，可得，，即可证明为等腰直角三角形，即可解答； （2）延长至点P，使，连接、、，延长交y轴于点Q、交延长线于点K，证明，可得，，再证明，得到，，利用角度的计算即可解答． 【小问1详解】 证明：①∵． ∴ ∵． ∴； ②∵，，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，证明如下； 如图，延长至点P，使，连接、、，延长交y轴于点Q、交延长线于点K， ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴ ∴， ∴． ∴． 23. “人间烟火味，最抚凡人心”，个体商户是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多10个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.5倍．求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： （1）小凯同学设B型玩具的单价为x元，可列方程为　　　，小华同学设A型玩具的数量为y元，可列方程为　　　． （2）调帮助小凯同学完成剩下的解题过程． 【答案】（1）， （2）A、B两种型号玩具的单价各是15元，10元 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据用600元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多10个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.5倍，列方程即可； （2）解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：小凯同学设B型玩具的单价为x元，可列方程为， 小华同学设A型玩具的数量为y元，可列方程为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：去分母，得， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A、B两种型号玩具的单价各是15元，10元． 24. 如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段中点的定义和已知条件可得，则，，再由三角形内角和定理可得，即． （2）由平行线的性质得到，，证明，得到，，证明垂直平分，可得，据此可得结论． 【详解】解：（1）∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2），理由： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，轴对称图形有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 3. 唐诗“不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香．”歌颂了梅花不畏严寒，努力绽放的坚毅品格．已知某种梅花花粉的直径约为0.000032米，数据0.000032用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 分式，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果把分式的x和y都变为原来的相反数，那么分式的值（ ） A. 变为原来的相反数 B. 变大了 C. 变小了 D. 不变 8. 若的三边，，满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 若，，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知常数，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 已知：，且，则______． 14. 如图，中，，，则________ ． 15. 若的展开式不含x的二次项，则a的值为_____ ． 16. 计算：__________． 17. 如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为__________； （2）_______． 三．解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 在如图所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图中以为边画出，使它的顶点都在格点上，且，； （2）作出（1）中所作最大边上的高． 19. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解． （2）计算： ． （3）已知，求的值． 20. 解分式方程： ． 21. 如图，点B，E，C，F在一条直线上， ，，老师说：再添加一个条件就可以使．下面是课堂上三位同学的发言：甲说：“添加”．乙说：“添加”．丙说：“添加”．请选择甲、乙、丙三个同学中说法正确的一种，并给出相应的证明过程． 22. 在平面直角坐标系中，，． （1）如图1，已知，，，轴于E， ①求证：； ②求证：； （2）如图2，已知在中，，，连接，N是的中点，连接，，试猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并证明你的结论． 23. “人间烟火味，最抚凡人心”，个体商户是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多10个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.5倍．求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： （1）小凯同学设B型玩具的单价为x元，可列方程为　　　，小华同学设A型玩具的数量为y元，可列方程为　　　． （2）调帮助小凯同学完成剩下的解题过程． 24. 如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $