第三章 图形的相似 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 第三章 图形的相似 单元检测 一、选择题 1．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为(　　) A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米 2．如图所示，△DEF是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数是 （      ）  A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 （      ）  A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 4．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的最大边的比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 5．如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段，则端点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE∶S△COB等于 （      ）  A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶3 7．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线FD分别交直线a，b，c于点F，E，D．若，EF＝1.2，则FD的长为(　　) A．3.6 B．3.0 C．2.6 D．2.4 8．如图，在Rt△ABC中，AB=6 cm，BC=8 cm，D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC=1∶2，则四边形DFEG的面积为 A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 9．如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（  ） A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n） C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m） 10．如图，矩形中，，，点E在边上，点在边上，点G、H在对角线上，若四边形是菱形，则的长是（  ） A． B．7 C．8 D． 11．如图，在矩形中，，，对角线与相交于点O，点H为射线延长线上一点，连接交于点E，若，则的长度为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的(　　) A．△PEF的周长总等于△AEF的周长 B．PE+PF可能等于 C．S△EFP=S△ABC D．S△EFP＝S△AEF 二、填空题 13．两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为__________． 14．如图，在长8 cm，宽4 cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为__________ cm. 15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠B=30°，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，AC交DE的中点于点G，则点C到点F的距离为__________.  16．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为__________ . 17．某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C点作CD1⊥AB于D1，再过D1作D1D2⊥CA于D2，再过D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的边长为a，则CD1＝a，D1D2＝a，D2D3＝a，依此规律，则D5D6的长为__________. 三、解答题 18．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB. (1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于； (2)将△OAB以原点O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长. 19．如图所示，正三角形ABC的边长为3＋. (1)如图，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； (2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的面积. 20．如图，在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t秒. (1)用含t的代数式表示：AP＝    ，AQ＝    ； (2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少. 21．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD．（要求：新图与原图的相似比为2：1）； （2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标； （3）求△OCD的面积； （4）如果△OAB内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△OCD内的对应点N的坐标． 22．[教材呈现]下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： [问题原型]如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM． [结论应用]如图②，在[问题原型]的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若MN＝4，则线段QR的长为 　             　； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC＝10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 　          　． 北师大版（2024）九年级上册 第三章 图形的相似 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为(　　) A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米 【答案】D 【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， ∴≈0.618， ∵b为2米， ∴a约为1.24米． 故选：D． 2．如图所示，△DEF是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数是 （      ）  A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】第一个图形的位似中心为点A，第二个图形的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形的位似中心为点O，第四个图形的位似中心为点O，共4个. 3．如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 （      ）  A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 【答案】B 【解析】∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似， ∴DE∶MN＝AB∶FG＝2∶3， ∴3DE＝2MN. 4．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的最大边的比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 【答案】A 【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1∶4，∴它们的最大边的比是1∶2，故选A. 5．如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段，则端点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以原点为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的倍后得到线段， 点与点是对应点， 点的对应点的坐标为，位似比为， 端点的坐标为， 故选：D． 6．如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE∶S△COB等于 （      ）  A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶3 【答案】A 【解析】由题意得D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB，， ∴∠EDO＝∠BCO. ∵∠DOE＝∠COB，∴△DOE∽△COB， ∴S△DOE∶S△COB＝1∶4. 7．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线FD分别交直线a，b，c于点F，E，D．若，EF＝1.2，则FD的长为(　　) A．3.6 B．3.0 C．2.6 D．2.4 【答案】A 【解析】∵a∥b∥c， ∴， ∵EF＝1.2， ∴， 解得FD＝3.6， 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，AB=6 cm，BC=8 cm，D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC=1∶2，则四边形DFEG的面积为 A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 【答案】B 【解析】连接DE，如图. ∵D，E分别为AC，BC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB=3(cm)，DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴==，==， ∴==， ∴S△ABF=S△ABE=×·AB·BE=××6××8=8(cm2)， ∴S△DEF=S△ABF=2(cm2). ∵S△DEC=DE·CE=×3×4=6(cm2)，DG∶GC=1∶2， ∴S△DEG=S△DEC=2(cm2)， ∴S四边形DFEG=S△DEF+S△DEG=4(cm2). ∴四边形DFEG的面积为4 cm2. 9．如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（  ） A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n） C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m） 【答案】A 【解析】解：过C作CR⊥X轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥X轴于G，FH⊥y轴， 根据图象得：＝， ∵大三角形与小三角形是位似图形，∴＝＝＝， 根据平行线分线段成比例定理得：＝＝＝， ∵CR＝OK＝﹣n，CK＝OR＝﹣m， ∴FH＝OG＝﹣2m，FG＝﹣2n， ∴小三角形上的顶点（m，n）对应于大三角形上的顶点是（﹣2m，﹣2n）， 故选：A． 10．如图，矩形中，，，点E在边上，点在边上，点G、H在对角线上，若四边形是菱形，则的长是（  ） A． B．7 C．8 D． 【答案】D 【解析】如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∵，， ∴， ， ∴． 故选：D． 11．如图，在矩形中，，，对角线与相交于点O，点H为射线延长线上一点，连接交于点E，若，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， 点是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 故选：D． 12．如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的中点，P是BC所在直线上任一点，当点P在BC所在直线上移动时，下列结论不正确的(　　) A．△PEF的周长总等于△AEF的周长 B．PE+PF可能等于 C．S△EFP=S△ABC D．S△EFP＝S△AEF 【答案】A 【解析】当P是BC中点时， ∵E是AB中点，F是AC中点， ∴PE、PF是△ABC的中位线， ∴PE＝AC＝AF，PF＝AB＝AE， ∴PE+PF＝（AB+AC），AE+AF＝PE+PF， ∴此时△PEF的周长＝△AEF的周长， 若P不是BC中点，则△PEF的周长≠△AEF的周长， 故A符合题意；B不符合题意； 过A作AN⊥BC于N交EF于M， ∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，BC＝2EF， ∴AM：MN＝AE：BE，AN⊥EF， ∵AE＝BE， ∴AM＝MN， ∴S△PEF＝S△AEF， 故D不符合题意； ∵S△AEF＝EF•AM，S△ABC＝BC•AN，BC＝2EF，AN＝2AM， ∴S△AEF＝S△ABC， ∴S△PEF＝S△ABC， 故C不符合题意． 故选：A． 二、填空题 13．两三角形的相似比为1∶4，它们的周长之差为27 cm，则较小三角形的周长为__________． 【答案】9 cm 【解析】令较大的三角形的周长为x cm.小三角形的周长为(x－27) cm，由两个相似三角形对应中线的比为1∶4，得1∶4＝(x－27)∶x，解之得x＝36，x－27＝36－27＝9 cm. 14．如图，在长8 cm，宽4 cm的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为__________ cm. 【答案】2 【解析】设留下的矩形的宽为x cm， ∵留下的矩形与原矩形相似， ∴，解得x＝2，∴留下的矩形的宽为2 cm. 15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠B=30°，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，AC交DE的中点于点G，则点C到点F的距离为__________.  【答案】4 【解析】∵将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF， ∴AB∥ED，AC∥DF， ∵G为ED的中点，AC∥DF， ∴==1， ∴C是EF的中点，即EC=CF， ∴EC=CF=EF=BC， 即E是BC的中点，BE=BC， 如图，连接AE， ∵AB=AC=8，AE⊥BE， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=8， ∴AE=AB=4， ∴BE==4， ∴CF=BE=4. 16．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为__________ . 【答案】8 【解析】如图，过点A作AD⊥a于点D，交b于点E， ∵a∥b， ∴， ∵AC＝12， ∴AB＝8. 17．某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C点作CD1⊥AB于D1，再过D1作D1D2⊥CA于D2，再过D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的边长为a，则CD1＝a，D1D2＝a，D2D3＝a，依此规律，则D5D6的长为__________. 【答案】a 【解析】CD1＝a＝a， D1D2＝a＝a， D2D3＝a＝a， 则D5D6的长为：a＝a， 三、解答题 18．如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB. (1)在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于； (2)将△OAB以原点O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长. 【答案】解　(1)如图，△OA'B'或△OA″B″即为所求. (2)如图，△OA1B1即为所求.OB＝＝2， 线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2＝4π. 19．如图所示，正三角形ABC的边长为3＋. (1)如图，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； (2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的面积. 【答案】解 (1)如图，正方形E'F'P'N'即为所求. (2)设正方形E'F'P'N'的边长为x， ∵△ABC为正三角形，∠CAB＝∠CBA＝60°， ∴AE'＝BF'＝x. ∵E'F'＋AE'＋BF'＝AB， ∴x＋x＋x＝3＋， ∴x＝，即x＝3－3. 正方形E'F'P'N'的边长为3－3， 则E'F'P'N'的面积为(3－3)2＝36－18. 20．如图，在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t秒. (1)用含t的代数式表示：AP＝    ，AQ＝    ； (2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少. 【答案】解 (1)AP＝2t厘米，AQ＝(16－3t)厘米. (2)如图，∵∠PAQ＝∠BAC， ∴当时， △APQ∽△ABC， 即， 解得t＝； 当时， △APQ∽△ACB， 即， 解得t＝4. ∴运动时间为秒或4秒. 21．如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）． （1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似三角形OCD．（要求：新图与原图的相似比为2：1）； （2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标； （3）求△OCD的面积； （4）如果△OAB内部一点M的坐标为（m，n），写出点M在△OCD内的对应点N的坐标． 【答案】解：（1）如图： （2）C（﹣6，﹣2），D（﹣4，2）； （3）如图所示： ∵DE＝4，OE＝2，OF＝2，EF＝4，CF＝6， ∴S△OCD＝S梯形CDEF﹣S△ODE﹣S△OCF＝（DE+CF）•EF﹣DE•OE﹣CF•OF ＝×（4+6）×4﹣×4×2﹣×6×2＝10； （4）∵△OAB内部一点M的坐标为（m，n）， ∴点M在△OCD内的对应点N的坐标为（﹣2m，﹣2n）． 22．[教材呈现]下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： [问题原型]如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD交边DC于点F，点P、Q分别在矩形的边AD、BC上，连结PQ交EF于点M．求证：PM＝QM． [结论应用]如图②，在[问题原型]的基础上，点R在边BC上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若MN＝4，则线段QR的长为 　             　； （2）当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC＝10，且△PMN周长的最小值为12，则边AB的长为 　          　． 【答案】解：[问题原型]∵点E为边AB的中点， ∴AE＝BE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∵EF∥AD， ∴AD∥EF∥BC， ∴， ∴PM＝QM， [结论应用]（1）根据题意可得AD∥EF∥BC ∴， ∴QR＝2MN＝8， 故答案为：8． （2）如图所示， 作点C关于AD的对称点，连接PG，BG，DG， ∴PB+PC＝PB+PG≥BG， 当P在BG上时，取得最小值， 又∵PD∥BC，D是CG的中点， ∴PD是BC的中位线， ∴P是AD的中点，则PB＝PG＝PC， 即当P顶点是AD中点时，三角形PBC的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出MN是是△PQR的中位线，BC＝10，且△PMN周长的最小值为12， ∴△PBC的周长为24， ∴PA=PD=，PB+PC＝24﹣10＝14， ∴PB＝7， ∴AB=． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $