第三章 图形的相似 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

第三章 图形的相似 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则DF的长为（　　） A．12.5 B．12 C．8 D．4 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，且．若DE＝6，则BC的长为（　　） A．8 B．9 C．12 D．15 3．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　） A．3cm B． C． D．4cm 4．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．3 D．5 5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点．BD与CE交于点O，连接DE．下列结论： ①OE•OB＝OD•OC； ②； ③＝； ④＝． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（　　） A．（2，2） B．（3，1） C．（3，2） D．（4，2） 8．已知a、b、c为非零实数，且满足，则一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 9．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，G为边AD上一点，且，连CG交对角线BD于点E，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF交BC于点N，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为________ ． 12．如图，在正方形网格中的斜三角形：①△CDB；②△DEB；③△CEB．其中能与△ABC相似的是_____ （只填写序号）． 13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为4米，则线段BE的长为 __________________ 米（结果保留根号）． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，中线AD、CE相交于点F，则AF的长为 _____ ． 15．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 _________________ ． 三．解答题（共8小题） 16．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． （1）若△ABC关于x轴的轴对称图形为△A1B1C1，则点C1的坐标是 ___________ ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2；使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C2的坐标是 __________ ； （3）△A2B2C2的面积是 _______ 平方单位． 17．如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长BD为18m，留在墙上的影高CD为3m，AB⊥BD，CD⊥BD，点A，B，C，D在同一平面内，求旗杆的高度AB． 18．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积． 19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．这个正方形零件的边长是多少？ 20．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长； （3）若AB＝12，DE＝1，BM＝5，求DN的长． 22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当期中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP＝__________ ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求运动时间是多少？ 23．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证：EG2＝AF•GF； （3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长． 第三章 图形的相似 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则DF的长为（　　） A．12.5 B．12 C．8 D．4 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴＝， ∴＝， ∴EF＝8， ∴DF＝DE+EF＝4+8＝12． 故选：B． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，且．若DE＝6，则BC的长为（　　） A．8 B．9 C．12 D．15 【分析】根据DE∥BC，得到计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC，且，DE＝6， ∴， 解得BC＝9． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 3．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（　　） A．3cm B． C． D．4cm 【分析】根据题意证明△AOB∽△COD，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰AB的高度是2cm，进行求解，即可解题． 【解答】解：∵AC与BD交于点O，AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， 由题意可得：， ∵蜡烛火焰AB的高度是2cm， ∴， 解得CD＝3cm， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形性质和判定，正确进行计算是解题关键． 4．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．3 D．5 【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断． 【解答】解：∵这三个正方形的边都互相平行． ∴△DEF∽△FGH， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝4． 故选：B． 【点评】本题考查相似多边形的性质，如果两个多边形都和第三个多边形相似，那么这两个多边形也相似． 5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点．BD与CE交于点O，连接DE．下列结论： ①OE•OB＝OD•OC； ②； ③＝； ④＝． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由三角形中位线定理可得DE＝BC，DE∥BC，可得△DEO∽△BCO，由相似三角形的性质可依次判断即可求解． 【解答】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点． ∴DE＝BC，DE∥BC ∴△DEO∽△BCO ∴ ∴OE•OB＝OD•OC，BO＝2DO，CO＝2EO 故①②正确 ∵△DEO∽△BCO ∴＝（）2＝ 故③正确 ∵BO＝2DO ∴BD＝3OD ∴＝ 故④正确 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，证明△DEO∽△BCO是本题的关键． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解． 【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵EF＝AD， ∴EF＝BC， ∵AD∥BC，NG⊥AD， ∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC， ∴GN：GM＝EF：BC＝1：2， 又∵MN＝AB＝6， ∴GN＝2，GM＝4， ∴S△BCG＝×10×4＝20， ∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60， ∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为（　　） A．（2，2） B．（3，1） C．（3，2） D．（4，2） 【分析】根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出OB、CD，求出点C的坐标． 【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴＝，＝＝， 即＝，＝， 解得，OB＝3，CD＝2， ∴点C的坐标为（3，2）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的性质、正方形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似形是解题的关键． 8．已知a、b、c为非零实数，且满足，则一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限 【分析】根据比例的性质求得k值，然后根据一次函数图象与系数的关系作出选择． 【解答】解：由，得 a+b＝ck，① b+c＝ak，② a+c＝bk，③ 由①+②+③，得 2（a+b+c）＝k（a+b+c）， （1）当a+b+c≠0时，k＝2； ∴一次函数y＝kx+k+1的解析式是：y＝2x+3， ∴该函数经过第一、二、三象限； （2）当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，④ 将④代入②，得 ﹣a＝ak； 又∵abc≠0， ∴a≠0， ∴k＝﹣1， ∴一次函数y＝kx+k+1的解析式是：y＝﹣x； ∴该函数经过第二、四象限； 综上所述，一次函数一定经过的象限是第二象限． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质、一次函数图象与系数的关系．直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 9．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则图中阴影部分面积为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N， ∵AC＝AB+BC＝4+6＝10， ∴AC＝CG， ∴∠CAG＝∠CGA， 又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°， ∴∠CGA＝30°， ∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°， ∴AG⊥GD， ∵∠BCF＝∠D＝60°， ∴CF∥DG， ∴△ACM∽△ADG， ∴MN⊥CF，， 即， 解得CM＝5， 所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1， ∵∠F＝60°， ∴MN＝MF＝， ∴S△MNF＝MF•MN＝×1×＝， 即阴影部分面积为． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于判断出直角三角形． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，G为边AD上一点，且，连CG交对角线BD于点E，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF交BC于点N，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本根据旋转的性质得∠ECF＝90°，CE＝CF，可得，再根据勾股定理求得，易证△DEG∽△BEC，可得，则可得，进而可求解． 【解答】解：∵将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF， ∴∠ECF＝90°，CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝3， ∴∠CDA＝90°，AD＝CD＝AB＝3，AD∥BC， ∵， ∴， 在Rt△CDG中，由勾股定理得：， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△BEC， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形周长的比为　2：3　 ． 【分析】根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为 2：3， ∴它们的周长比为：2：3． 故答案为：2：3． 【点评】此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比． 12．如图，在正方形网格中的斜三角形：①△CDB；②△DEB；③△CEB．其中能与△ABC相似的是　②　 （只填写序号）． 【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【解答】解：由题意可知：AB＝1，，， ∴△ABC的三边之比是， 同理：①△CDB的三边之比是； ∴△CDB与△ABC不相似，不符合题意； ②△DEB中，． ∴△DEB与△ABC相似，符合题意； ③△CEB中，． ∴△CEB与△ABC不相似，不符合题意， 故答案为：②． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 13．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为4米，则线段BE的长为 　　 米（结果保留根号）． 【分析】根据BE2＝AE⋅AB，建立方程即可求解． 【解答】解：∵BE2＝AE⋅AB，AB＝4， 设BE＝x，则AE＝4﹣x， ∴x2＝4（4﹣x）， ∴x2+4x＝16， ∴（舍去）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解此题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，中线AD、CE相交于点F，则AF的长为 　2　 ． 【分析】利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则利用勾股定理可计算出AD＝3，然后根据三角形重心的性质计算AF的长． 【解答】解：∵AB＝AC，AD为中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4， 在Rt△ABD中，AD＝＝3， ∵点F为中线AD、CE的交点， ∴F点为△ABC的重心， ∴AF＝AD＝×3＝2． 故答案为2． 【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形的性质． 15．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 　4　 ． 【分析】连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．首先证明DF＝2AE，则AF+2AE＝DF+DF＝DF+FT，根据FT+DF≥DT，求出DT即可解决问题． 【解答】解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD， ∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF， ∴∠DBA＝30°， ∴BD＝2AD， ∵BF＝2DE， ∴＝＝2， ∴△DBF∽△ADE， ∴＝＝2， ∴DF＝2AE， ∴AF+2AE＝AF+DF， ∵FB⊥AT，BA＝BT， ∴FA＝FT， ∴AF+2AE＝DF+FT≥DT， ∵DT＝＝＝4， ∴AF+2AE≥4， ∴AF+2AE的最小值为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共8小题） 16．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． （1）若△ABC关于x轴的轴对称图形为△A1B1C1，则点C1的坐标是 　（2，﹣2）　 ； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2；使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C2的坐标是 　（1，0）　 ； （3）△A2B2C2的面积是 　10　 平方单位． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，进行解答便可； （2）延长BA到A2，使BA2＝2BA，延长BC到C2，使BC2＝2BC，继而可得答案； （3）将△A2B2C2的面积看作是梯形的面积减去两个直角三角形的面积． 【解答】解：（1）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，如图1， ∴点C1 的坐标为（2，﹣2）， 故答案为：（2，﹣2）； （2）所求图形如图2所示： 即：△A2B2C2为所求作的图形． 点C2 的坐标为：（1，0）， 故答案为：（1，0）； （3）△A2B2C2的面积＝梯形A2MNB2的面积﹣△A2MC2的面积﹣△B2NC2的面积 ＝（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4 ＝18﹣4﹣4＝10（平方单位）， 故答案为：10． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换、点的坐标以及作图﹣轴对称变换，解答本题的关键是掌握平移变换与位似变换的特点． 17．如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长BD为18m，留在墙上的影高CD为3m，AB⊥BD，CD⊥BD，点A，B，C，D在同一平面内，求旗杆的高度AB． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，易得，据此求解即可． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E． ∵CD⊥BD，AB⊥BD，B＝∠BDC＝∠BEC＝90°， ∴四边形BECD为矩形， ∴CE＝BD＝18m，BE＝CD＝3m， 根据题意可得，即， 解得AE＝12， ∴AB＝AE+BE＝15m； 答：旗杆的高度AB为15m． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积． 【分析】（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得平行即可； （2）根据上题证得的平行可以判定△AEF∽△ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求得△ABD的面积． 【解答】（1）证明：∵DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F， ∴F为AD的中点， ∵点E是AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BC； （2）解：∵EF为△ABD的中位线， ∴，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴S△AEF：S△ABD＝1：4， ∴S△AEF：S四边形BDFE＝1：3， ∵四边形BDFE的面积为6， ∴S△AEF＝2， ∴S△ABD＝S△AEF+S四边形BDFE＝2+6＝8． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD＝1：4． 19．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．这个正方形零件的边长是多少？ 【分析】设正方形的边长为xcm，表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：设正方形的边长为xcm， 则AE＝AD﹣x＝（80﹣x）cm， ∵POMN是正方形， ∴PN∥OM， ∴△APN∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得x＝48， 答：这个正方形零件的边长是48cm． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AE的长度，然后列出比例式是解题的关键． 20．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长． 【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC； （2）由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解． 【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD． ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， 又∵∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEC； （2）∵△ABC∽△DEC； ∴＝（）2＝， 又∵BC＝6， ∴CE＝9． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△DEC是本题的关键． 21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长； （3）若AB＝12，DE＝1，BM＝5，求DN的长． 【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DN的长； （3）根据余角的性质得到∠BAM＝∠E，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝6， ∴AM＝＝6，AD＝12， ∵F是AM的中点， ∴AF＝AM＝3， ∵△ABM∽△EFA， ∴＝， 即＝， ∴AE＝15， ∴DE＝AE﹣AD＝3， ∵∠EDN＝∠EFA＝90°，∠E＝∠E， ∴△AEF∽△NED， ∴＝， ∵EF＝＝6， ∴DN＝； （3）解：∵∠B＝∠EDN＝90°， ∴∠BAM+∠EAF＝∠EAF+∠E＝90°， ∴∠BAM＝∠E， ∴△ABM∽△EDN， ∴， 即， ∴DN＝． 【点评】本题考查了相似三角形，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当期中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：AP＝　2tcm ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求运动时间是多少？ 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动， ∴AP＝2tcm， 故答案为：2tcm； （2）∵点P从A出发，以2cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以3cm/s的速度向A运动， ∴AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝16﹣3t， ∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ∴＝或＝， ∴＝或＝， ∴t＝4或． 答：当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求运动时间是4s或s． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 23．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证：EG2＝AF•GF； （3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD﹣GH求解即可． 【解答】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF＝∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG． ∴GD＝DF． ∴DG＝GE＝DF＝EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF． ∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴＝，即DF2＝FO•AF． ∵FO＝GF，DF＝EG， ∴EG2＝GF•AF． （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2 ， ∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0． 解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）． ∵DF＝GE＝2 ，AF＝10， ∴AD＝＝4 ． ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴＝，即 ＝． ∴GH＝． ∴BE＝AD﹣GH＝4 ﹣＝． 【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2＝FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/19 16:21:14；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $