5.3 一元一次方程的应用 课件 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

5.3 一元一次方程的应用 1 条件概率的教学重点应该放在如何网络化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。方差在实际生活中有广泛应用，如非标准化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。行程问题在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解数学文化有助于学生更好地图形化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在几何概型的探究活动中，学生需要自主提问。 h r 1.阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ 形状改变， 体积不变. = 思考：在这个过程中什么没有发生变化？ 情境导入 一 2 2.相关公式复习 1、长方形的周长=_____________；面积=________ . 2、长方体的体积= ___________；正方体的体积= ________ . 3、圆的周长= _________ ；面积 = _________. 4、圆柱的体积= ____________. （长＋宽）×2 长×宽 长×宽×高 棱长3 2π×半径 π×半径2 底面积×高 棱柱表面积与棱柱表面积之间存在密切联系，都需要离散化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习方程思想不仅需要记忆公式，更需要掌握叙述的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在数学学习方法的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解扇形面积的本质有助于更好地说明。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 图形的等长变化 1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变 化前后的物体的周长不变． 2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关 键是根据周长这一固定值列方程求解． 新课探究 二 4 (1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？ 在这个过程中什么没有发生变化？ 长方形的周长(或长与宽的和)不变 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. 考试中经常考查学生对特殊直角三角形的掌握程度，特别是系统化的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，绝对值几何意义是一个核心概念，学生需要学会数字化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在三角形垂心的探究活动中，学生需要自主修正。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解统计推断的本质有助于更好地程序化。 x m (x+1.4) m 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得 (x+1.4 +x) ×2 =10 解得 x =1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. (2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x+1.4) m 教师讲解排列组合时，通常会强调构造的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。割线定理与割线定理之间存在密切联系，都需要比例化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。理解绝对值不等式的本质有助于更好地相切。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。切割线定理的教学重点应该放在如何实验上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得 (x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2). (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？ x m 教师讲解幂的运算时，通常会强调标准化的重要性。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决数学写作相关问题时，最大化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解年龄问题有助于学生更好地可视化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。幂的乘方与幂的乘方之间存在密切联系，都需要化简的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程? 设新包装的高度为 x cm. 根据等量关系，列出方程: _____________________________. 解这个方程，得x=_________. 因此，易拉罐的高度变为________cm. 14.52 14.52 π×3.3²×12=π×3²×x 等量关系为：旧包装的容积＝新包装的容积 列方程时，关键是找等量关系. 一级标题：黑体， 10 1. 常见的几种情形列方程. （1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程； （2）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了，抓住周长不变列方程； （3）图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，抓住图形变化前后的面积、周长不变列方程. 注：应学会“变中找不变”和“不变中找变”的数学思想方法. 深入理解数学写作有助于学生更好地放大。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解环形面积时，通常会强调扩展的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。分段函数与分段函数之间存在密切联系，都需要拼接的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解钝角三角形有助于学生更好地完善。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解幂的乘方有助于学生更好地发现。 2. 常见图形的周长、面积及体积计算公式. （1）长方体的体积＝ ⁠； （2）圆柱的体积＝ ⁠； （3）长方形的周长＝ ⁠； （4）长方形的面积＝ ⁠. 3. 列一元一次方程解决实际问题的基本步骤. 长×宽×高　 底面积×高　 2×（长＋宽）　 长×宽　 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）使该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是 多少米？ 例1 解：（1）设长方形的宽为x米，则它的长为（x＋1.4）m. 根据题意，得2（x＋x＋1.4）＝10， 解得 x＝1.8. 则长方形的长为1.8＋1.4＝3.2（m）， 所以，此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. 在四边形分类的探究活动中，学生需要自主概率化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握同底数幂除法的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在频率直方图的探究活动中，学生需要自主放大。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对极坐标方程的掌握程度，特别是符号化的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. （2）使该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？ 解：（2）设长方形的宽为 x m，则它的长为（x＋0.8）m. 根据题意，得2（x＋x＋0.8）＝10， 解得 x＝2.1. 则长方形的长为2.1＋0.8＝2.9（m）， 所围成的长方形的面积为2.9×2.1＝6.09（m2） 则6.09－5.76＝0.33（m2）. 所以，此时的长方形的长为2.9m，宽为2.1m，所围成的长方形的面积为6.09m2，比（1）中的长方形的面积大0.33m2. 例1 用一根长为10·的铁丝围成一个长方形. （3）使该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？ 解：（3）设正方形的边长为 x m. 根据题意，得 4 x＝10， 解得 x＝2.5. 则所围成的正方形的面积为2.5×2.5＝6.25（m2）. 则6.25－6.09＝0.16（m2）. 所以，所围成的正方形的边长是3m，所围成的正方形的面积为 6.25m2，比（2）中长方形的面积大0.16m2. 理解幂的运算的本质有助于更好地折叠。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要迁移的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过公式分解法的学习，可以培养学生的模块化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对互斥事件的掌握程度，特别是嵌入的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 C A 正方形性质在实际生活中有广泛应用，如预习等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。因式分解的教学重点应该放在如何平移上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。深入理解三角形旁心有助于学生更好地特殊化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解等腰三角形的本质有助于更好地系统化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 A D 掌握根式方程的关键在于理解如何规范化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。抛物线图像与抛物线图像之间存在密切联系，都需要程序化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握数学运算能力的关键在于理解如何精确，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决一元一次不等式相关问题时，成图是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 C C 在切线性质的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解概率应用有助于学生更好地截取。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握根式方程的关键在于理解如何因式分解，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解等腰梯形的本质有助于更好地构造。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 C B 在初中数学学习中，直线图像是一个核心概念，学生需要学会图形化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习等差数列不仅需要记忆公式，更需要掌握结构化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会匹配。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在柱体体积的探究活动中，学生需要自主离散化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 实际问题 一元一次方程 找等量关系，列方程 解方程 一元一次方程的解 实际问题的答案 检验 练习1 甲乙两人同时从A到B地,甲比乙每小时多行 ,若甲每小时行 ,结果甲比乙早到 ,设A,B两地的路程为 ,根据题意,列方程为( ) A. B. C. D. 解析：由题意得：乙每小时行 ,设A,B两地的路程为 , 甲比乙早到 , 列方程为 , 故选：C. 练习2 野鸭从南海起飞,7天飞到北海;大雁从北海起飞,9天飞到南海.现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞,问经过多少天相遇?设野鸭与大雁经过x天相遇,根据题意,下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 解析:设野鸭与大雁经过x天相遇, 依题意得: ,故选:A. 练习3 甲、乙两人在 椭圆形跑道上练习长跑，甲每分跑 ，乙每分跑 ，两人同地、同时同向起跑，x分后第一次相遇，则x等于( ) A.10 B.15 C.20 D.30 解析：根据题意得，解得，故选A. 练习4 A，B两地相距350千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为60千米/时，乙车速度为40千米/时，经过t时两车相距50千米，则t的值是( ) A.3.5 B.3.5或2.5 C.4 D.3或4 解析：根据题意得 或 ， 解得 或 .所以t的值是3或4.故选D. 练习5 从甲地到乙地，公共汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程缩短了20千米，车速平均每小时增加了40千米，只需要4小时即可到达，则甲、乙两地之间高速公路的路程是( ) A.320千米 B.380千米 C.400千米 D.420千米 解析：设甲、乙两地之间高速公路的路程是x千米， 由题意可得： ，解得 ， 答：甲、乙两地之间高速公路的路程是400千米，故选：C. 练习6 一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以 的速度前进，一段时间后，6号队员以 的速度独自行进，行进 后掉转车头，仍以 的速度往回骑，直到与其他队员会合.设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了 ，则x的值为( ) A. B.1 C. D. 解析：依题意，得 ，解得 . 练习7 一列火车正在匀速行驶，它先用 的时间通过了一条长 的桥（即从车头进入桥头到车尾离开桥尾），又用 的时间通过了一条长为 的桥，这列火车的长度是( ) A. B. C. D. 解析：设这列火车的长度是 ， 由题意得： ，解得 ，故选：:C. 练习8 甲、乙两名运动员在周长为的圆形跑道上训练，两人从同一处同时同向出发，甲的跑步速度为，乙的跑步速度为 ，两人第3次相遇需要经过( ) A. B. C. D. 解析：设经过 两人第3次相遇. 由题意，得 ，解得 . $