5.3 一元一次方程的应用 第1课时 教学课件 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

5.3 一元一次方程的应用 主讲： 北师大版（2024） 七年级 上册 第5章 一元一次方程 第1课时 学习目标 1.能列出一元一次方程解决图形中的等体积、等周长、等面积等问题，并会检验答案的合理性;（重点） 2.初步体会用一元一次方程解决实际问题的一般步骤;（难点） 3.经历运用方程解决实际问题的过程，培养逻辑思维能力. 复习回顾 （1） 解：去分母，得 ， 移项， 得 ， 合并同类项，得 ， 两边都除以2 得 。 新课导入 复习回顾 1.解一元一次方程的一般步骤： (1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5)未知数的系数化为1. 去括号 合并同类项 移项 去分母 2.(1)长方形的周长= ;面积= (a,b分别表示长方形的长和宽). (2)圆的周长= ，面积= (r表示圆的半径). 2a+2b ab 2πr πr2 3.(1)长方体的体积= (a,b,c分别表示长方体的长、宽、高); (2)圆柱的体积= (r表示圆柱底面圆的半径，h表示圆柱的高). abc πr2h 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： (1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了? (2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢? 创设情境，导入新课 探究点　利用一元一次方程解决几何图形问题 1.图形的等积变化 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少2cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、 高、容积 活动引入，合作探究 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 容积不变，但直径(半径)和高有变 改造前 改造后 直径(半径)减少，高如何变化？ 　(2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 (3)根据等量关系，列出方程 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 = 解得 x=27 答：新包装的高度为27cm 1.列方程的关键 找出问题中的等量关系 2.解决实际问题的基本步骤 理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答. 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 12 x 容积/cm3 新课讲授 等积变形问题： 知识归纳 等积变形是指一个物体的形状发生变化，但变化前后的体(面)积不变.等量关系是：变形前的体(面)积=变形后的体(面)积. 注意：(1)设未知数时，未知量一定要叙述清楚； (2)列方程时，单位要统一； (3)找出问题中的等量关系是列方程的关键. 新课讲授 D 知识点2 等积变形问题 5.［教材习题 变式］在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水 全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确 方程是( ) A A. B. C. D. 中考考法 12 重点典例研析 【重点1】等体(容)积变形(运算能力、应用意识) 【典例1】(教材再开发·P147引例拓展)在一个底面直径为6 cm、高为9 cm的圆柱形瓶内注水,使水柱的高为5 cm,向瓶中放入一块长、宽、高分别为2 cm, 2 cm,4 cm的长方体铁块,则此时水柱的高为(π取3)( ) A. cm B. cm C. cm D. cm D 新课讲授 探究二：应用一元一次方程解决等长变形问题 例：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. (1)若该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各是多少米？ (2)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？ (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？ 分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 本题涉及的量有铁丝的长度，长方形的长、宽，正方形的边长. 它们的等量关系为： 长方形的周长=铁丝的长度，正方形的周长=铁丝的长度. 新课讲授 x m (x+1.4) m 解：（1） 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 解这个方程，得 x =1.8 1.8+1.4=3.2. 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. 根据题意，得 2（x+1.4）+2x =10 (1)若该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各是多少米？ 新课讲授 (2)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？ x m (x+0.8) m (2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m. 根据题意，得 2 (x+0.8)+2x=10 解这个方程，得 x=2.1 2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)， (1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2). 新课讲授 (3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？ 解这个方程，得 x=2.5 面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2) 解：设正方形的边长为xm. 根据题意，得 4x =10 比(2)中长方形的面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2） 正方形的边长为2.5m， 新课讲授 等长变形问题： 知识归纳 等长变形问题是指把一个长度一定的物体围成不同的平面图形时，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变. 等量关系是：变形前的周长=变形后的周长. 典例分析 例1：要锻造一个直径为12 cm，高为8 cm的圆柱形毛坯，应截取多少直径为8 cm的圆钢？(不计锻造时的损耗) (1)本题建立方程的相等关系是_____________________； (2)设截取直径为8 cm的圆钢x cm，根据数量关系填表： 应截圆钢 锻造毛坯 底面半径(cm) 高(cm) 体积(cm3) 根据题意列方程：____________________． 解得x＝________． 因此，应截取直径为8 cm的圆钢______ cm. 圆钢体积＝毛坯体积 4 6 x 8 π×42·x π×62×8 π×42·x＝π×62×8 18 18 新课讲授 2．用5.2 m长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6 m，求围成的长方形的宽为多少．设长方形的宽为x m，可列方程为(　　) A．x＋(x＋0.6)＝5.2 B．x＋(x－0.6)＝5.2 C．2(x＋x＋0.6)＝5.2 D．2[x＋(x－0.6)]＝5.2 C 典例分析 例2：如图，地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形的一个锐角顶点处的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉长方形的长、宽各是多少？面积是多少？ 解：此直角三角形的周长＝6＋8＋10＝24. ①当去掉顶点A处的钉子时，BC为长方形的一条边长， 设长方形的另一相邻边长为x，由题意得2(x＋6)＝24， 解得x＝6， 则该长方形的长和宽均为6，面积为6×6＝36； ②当去掉顶点B处的钉子时，AC为长方形的一条边长，设长方形的另一相邻边长为y，由题意得2(y＋8)＝24， 解得y＝4，则该长方形的长和宽分别为8，4，面积为8×4＝32. 故长方形的长、宽、面积分别为6，6，36或8，4，32. 2.如图所示，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为20 cm，容器内水的高度为15 cm.如果把一根半径为10 cm的玻璃棒垂直插入水中，那么容器内的水升高(水不会溢出)(　　) A．10 cm   B．5 cm C．15 cm   D．12 cm 学以致用 1.一个正方形花圃的边长增加2 m，所得新正方形花圃的周长是28 m，设原正方形花圃的边长为x m，由此可得方程为(　　) A．x＋2＝28   B．4(x＋2)＝28 C．2(x＋2)＝28   D．4x＋2＝28 B B 【举一反三】 如图,将一个长方形剪去一个宽为4的长条,再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形,若增加的与剪去的两个长条的面积相等,则这个相等的面积是( ) 　　 A.6 B.8 C.10 D.12 B （第2题） 2.［2025长沙月考］如图，一个长方形的周长为 26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可 围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别 为( ) B A.11，2 B.10，3 C.8，5 D.7，6 中考考法 24 如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为6cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm 的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？ 解：设正方形的边长为 x cm 6x=8(x-6) 解得 x=24 答：每一个长条的面积为144cm2 6×24=144 *培优点 利用一元一次方程解决拼接图形问题 如图，周长为68的长方形ABCD 被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD 的面积为多少？ 解：设小长方形的宽为x，则长方形ABCD的长为5x，小长方形的长为，则长方形ABCD的宽为+x= . 2×5x+2× =68 解得 x=4 答：长方形ABCD 的面积为280. 5×4=20 ×4=14 ×14=280 （第10题） 10.如图，一个酒瓶的容积为 ，瓶子内还剩有一些黄 酒。当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为 ， 倒放时，空余部分的高度为 ，则瓶子的底 面积为( ) C A. B. C. D. 中考考法 27 学以致用 4.一个梯形的面积是 60 cm2，高为5 cm，它的上底比下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为xcm，则下面所列方程正确的是（ ） A. 5[x+(x-2)]=60 B.5[x+(x+2)]=60 C.5[x+(x-2)]=60 D.5[x+(x+2)]=60 3.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　) A.6 cm　 　B.7 cm　　 　C.8 cm　　 　D. 9 cm B C 课堂小结 一元一次方程的应用1 等积变形问题 等长变形问题 列方程的思路 变形前的体(面)积=变形后的体(面)积 列一元一次方程，首先需要审题，找到其中的等量关系根据题意设未知数，并列出方程，解方程后还要检验方程的解. 变形前的周长=变形后的周长 1．已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是(　　) A．5π×42·x＝π×52×7 B．π×42·x＝5π×102×7 C．5π×()2·x＝π×()2×7 D．5π×()2·x＝π×52×7 $