26.2二次函数的图象和性质 （同步分层） -2026—2027学年人教版数学九年级上册

26.2二次函数的图象和性质 一、单选题 1．抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x+2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x-6）2+4，平移过程正确的是（　　） A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移6个单位，再向下平移3个单位 5．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①；②；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③若，则；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在平面直角坐标系中，二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点．若和都大于1，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D．的最小值是25 8．如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．抛物线与y轴的交点坐标是　 　． 10．当x=　 　时，函数y=有最 　 　值，是　 　. 11．把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　． 12．已知二次函数，用配方法可化为的形式是 　 　． 13．函数是二次函数，则　 　． 14．二次函数y=x2+（2m+1）x+（m2﹣1）有最小值﹣2，则m=　 　． 15．将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为　 　. 16．抛物线y=（x﹣5）2的开口　 　，对称轴是　 　，顶点坐标是　 　，它可以看做是由抛物线y=x2向　 　平移　 　个单位长度得到的．抛物线　 　向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2． 17．二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）的图象经过点A（-1，n）． （1）n=　 　； （2）已知平面内有两点P（-3，1），Q（0，1），若该函数图象与线段PQ有交点，则m的取值范围是　 　． 18．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，下列结论：① b2＞4ac；② abc＞0；③ a－c＜0；④ am2＋bm≥a－b（m为任意实数），其中正确的结论是　 　 19．已知：当n≤x≤n+1时，二次函数y=x2-3x+3的最小值为1，则n的值为　 　。 20．规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为　 　 ． 21．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，经过A（0，2），B（－1，m）两点，其中m＜0，下列四个结论：①ab＜0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在1和2之间；③点P1（t，y1）1，P2（t＋1，y2）在抛物线上，当实数t＞ 时，y1＞y2；④a＜－ .其中正确的结论是　 　（填写序号）. 22．当时，函数的最小值是，最大值是0，求m、n的值． 三、解答题 23．已知抛物线经过点，B是点A关于y轴的对称点． （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）求的面积． 24．已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 25．如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）二次函数的最值． 26．已知抛物线（为常数）经过点． （1）用含的代数式表示，并求该抛物线的对称轴． （2）当时，，求抛物线的函数表达式． （3）在（2）的条件下，已知点在抛物线上，，求的取值范围． 27．已知二次函数的图象经过，两点． （1）求b和c的值； （2）自变量x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小？ 28．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向下平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 29．用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值. 30．抛物线与轴交于点两点，抛物线的顶点为点．点是抛物线上的任意一点，横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，抛物线上最高点的纵坐标为，求的值； （3）点在抛物线上，横坐标为，平面内有一点，做P、Q关于点的对称点M、N，顺次连结，得到． ①当轴，求出此时点C到直线的距离； ②当被直线分割成的两部分图形可以拼成一个无缝隙、且不重叠的三角形时，直接写出的值． 31．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为． （1）若函数图象关于直线对称，求函数的表达式； （2）求的最大值； （3）是否存在实数a，使得当时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a：若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线为，∴顶点坐标． 故答案为：A． 【分析】二次函数的顶点式为“y=a(x-h)2+k”，其中其顶点坐标为（h，k），据此可直接得出答案. 3．【答案】C 4．【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线y＝x2+1向右平移6个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线， 故答案为：C． 【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， ∵二次函数（都是正整数）的图象与轴有两个不同的交点． ∴是的两个实数根， ∵都是正整数， ∴，，抛物线的开口向上，对称轴直线在轴的左侧， ∵和都大于1， ∴，， ∴对称轴在的左侧，， ∴，，故B选项错误，符合题意； ∴，故A选项正确，不符合题意， ∴当时，， 则，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵都是正整数，， ∴的最小值为1， 当时，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值也为5， ∴的最小值为：；故D选项正确，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】先得到抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧，根据和都大于1，得到，即可得到对称轴在的左侧，即可得，当时，，根据二次函数与一元二次方程的关系，得到，计算即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为， ∴ ∴故①符合题意； ∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4， ∴函数的顶点坐标为（-1，4） 当x=-1时， ∴ ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间， ∴<<2 ∴<4+a<2 ∴，故②符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴，故③符合题意； ∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴，故④不符合题意； 由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤不符合题意． 所以，正确的结论是①②③，共3个， 故答案为：B 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质逐项判断即可。 9．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由题意，将代入，解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【分析】根据物线与轴相交， 把代入抛物线，解得y的值，即可求解． 10．【答案】2；小；2 【解析】【解答】解：∵，a=1， ∴（x-2）2≥0， ∴（x-2）2+4≥4， ∴当x=2时（x-2）2+4的最小值为4， ∴y的最小值为2. 故答案为：2，小，2. 【分析】利用二次函数的性质可知当x=2时（x-2）2+4的最小值为4，据此可得y的最小值. 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】2. 【解析】【解答】解：∵ 函数是二次函数， ∴，且， ∴解得m=±2，且m≠﹣2， ∴m=2. 故答案为：2． 【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2，可列出关于m的方程，求解即可. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵二次函数有最小值﹣2， ∴y=﹣ = =﹣2， 解得：m= ， 故答案为： ． 【分析】根据函数的最小值为﹣2得出 =﹣2，解之可得答案． 15．【答案】y=(x-1)2+3 【解析】【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为y=（x-1）2+3. 故答案为：y=（x-1）2+3. 【分析】根据二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。 16．【答案】向上；x=5；（5，0）；右；5；y=2（x+2）2 【解析】【解答】解：抛物线y=（x﹣5）2的开口向上，对称轴是直线x=5，顶点坐标是（5，0），它可以看作是由抛物线y=x2向右平移5个单位长度得到的． 抛物线y=2（x+2）2向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2． 故答案为：向上，x=5，（5，0），右，5，y=2（x+2）2． 【分析】由题意知，a=10，则抛物线开口向上；对称轴是直线x=5；顶点为（5，0）；根据平移的规律可知：抛物线是由抛物线向右平移5个单位长度得到的；抛物线向右平移3个单位长度即得到抛物线. 17．【答案】（1）-1 （2） 【解析】【解答】解：（1）把点A（-1，n）代入二次函数y=-mx2+x+m， 得：n=-m-1+m， 解得：n=-1； 故答案为：-1. （2）二次函数y=-mx2+x+m（m为常数且m＜0）， 当y=1时，得：-mx2+x+m=1， 因式分解的：， 解得：， ∵m＜0， ∴， ∵，P（-3，1），Q（0，1）， ∴当二次函数图象与线段PQ有交点时， 得：， 即：， 解得：. ∴m的取值范围是. 故答案为：. 【分析】（1）将点A的坐标代入y=-mx2+x+m求出n的值即可； （2）先解出方程的解，再根据二次函数图象与线段PQ有交点时， 可得，再求出m的取值范围即可。 18．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2-4ac＞0，∴①正确；∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，c＞0， ∴abc＞0，∴②正确；∵对称轴为直线x＝－1，顶点在第三象限，∴ a－b+c＜0，-b÷2a=-1，∴2a=b，∴ a－2a+c＜0，∴a－c＞0，∴③错误；∵对称轴为直线x＝－1，∴ 当x=-1时，y有最小值a－b+c，当x=m时，y=am2＋bm+c，∴am2＋bm+c≥a－b+c，∴am2＋bm≥a－b，∴④正确.故答案是：①②④ 【分析】根据抛物线与x轴的交点情况可判断① ；判断出a、b、c的符号可判断②；根对称轴及顶点可判断③；据函数的最小值可判断④. 19．【答案】0或2 【解析】【解答】解： y=x2-3x+3 =(x-)2+3-， =(x-)2+； ∵a=1>0， 当x>时，y随x的增大而增大，当x<时，y随x的减小而减小； 又∵x2-3x+3=1， x2-3x+2=0， （x-1）(x-2)=0， ∴x=1或x=2， ∴x>时，有2≤x≤3，函数有最小值1，这时n=2 ； 当x<时，有0≤x≤1，函数有最小值1，这时n=0. ∴n的值为：0或2. 【分析】先把二次函数配方，a>0，在对称轴右边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小；再令y=1，求出此时的x值，在对称轴左右边分别讨论即可求解。 20．【答案】（3，0）或（4，0） 【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。 故答案为：（3，0）或（4，0）. 【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可； ②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。 21．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1， ∴ ， ，ab异号，ab＜0；故①正确； ∵抛物线经过A（0，2），B（－1，m）两点，其中m＜0，所以，抛物线开口向下； ∴抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，抛物线的对称轴为直线x＝1，根据对称性，抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别在-1和0之间和2和3之间；故②错误； 点P1（t，y1）1，P2（t＋1，y2）在抛物线上， P1到对称轴的距离是 ，P2到对称轴的距离是 ， ∵t＞ ， ∴ ， ∵抛物线开口向下， ∴y1＞y2；③正确； ∵ ， ， ， ∴ ，解得，a＜－ ，④正确； 故答案为：①③④. 【分析】①由对称轴直线x =-=1>0，推出a、b异号，即ab< 0；②根据抛物线经过A（0，2），B（－1，m）两点，其中m＜0，推出抛物线的开口向下，一个根在-1和0之间，结合抛物线对称轴为x=1，推出另一根在2和3之间，错误；③先分别求出这两点到对称轴的距离，结合 t＞ ，比较出距离的大小，然后根据二次函数的性质判断即可；④把 ， 代入再变形即可判断. 22．【答案】，或， 23．【答案】（1） （2）2 24．【答案】（1） （2）或 25．【答案】（1） （2）最小值为 26．【答案】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为（为常数）， ∴对称轴直线为； （2）解：当时，图象开口向上， ∵抛物线对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：（舍去）； 当时，图象开口向下，当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴直线为，图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， ∴点关于对称轴直线对称的点为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴． 【解析】【分析】（1）把点代入计算，根据对称轴的计算方法即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时，图象开口向上，当时，，即；当时，图象开口向下，当时，，即；由此即可求解； （3）根据题意得到抛物线的解析式，对称轴，图形开口，增减性，把代入得到的值，由此得到的范围，由此即可求解． （1）解：抛物线（为常数）经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为（为常数）， ∴对称轴直线为； （2）解：当时，图象开口向上， ∵抛物线对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，，即， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，图象开口向下，当时，随的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （3）解：在（2）的条件下，抛物线解析式为，对称轴直线为，图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴点关于对称轴直线对称的点为， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴． 27．【答案】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴，； （2）解：由（1）可知：， 则抛物线的对称轴为直线，，开口向上， ∴当时，随的增大而减小． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式即可求出答案. （2）将解析式转换为顶点式，求出对称轴，结合二次函数的性质即可求出答案. 28．【答案】（1） （2） （3） 29．【答案】解：∵ ， ∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13. 【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式就可得到开口方向、对称轴、顶点坐标以及最大值. 30．【答案】（1） （2）2 （3）①和；② 31．【答案】（1） （2） （3）当或 学科网（北京）股份有限公司 $