第26章 二次函数--a、b、c、Δ符号判断 重点题型归纳练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章 二次函数--a、b、c、Δ符号判断 重点题型归纳练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、基础四参数符号判断（二次函数a、b、c、Δ符号判断） 1．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若抛物线 （a≠0）的示意图如图所示，则a_____0，b_____0，c____0（填“>”，“=”或“<”） 二、特殊值代数式符号判断 5．如图是二次函数，，是常数，图象的一部分， 经过点，且与y轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论成立的是（　　） A．abc＞0 B．b＜a+c C．b2﹣4ac＜0 D．2c＜3b 7．已知二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的有（   ） ①   ②  ③   ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 8．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 三、对称轴衍生等式判断 9．二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 11．在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 四、综合多选结论判断 12．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五、多式子混合符号推导 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．如图所示的是二次函数（，，为常数，）的部分图象，其顶点坐标为，与轴交于点，与轴正半轴交于点（）．下列结论：①；②；③；④若点，（）都在抛物线上，则；⑤若，则关于的方程的两根之和为．其中正确结论的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于、两点，与轴交于点．对称轴为直线，且，下列结论：①；②；③若，则；④若点、点在该二次函数图象上，当且时，则其中正确的结论是___________(填写正确结论的序号) 20．如图，顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的m，均有③；④若，则；⑤⑥不等式的解集为其中正确的为____（填序号）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 9 12 13 14 答案 C D D D D D B B B C 题号 15 16 17 18 答案 B B B B 1．C 本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 由二次函数开口方向、与y轴交点位置，对称轴位置即可解答． 解：由题意知，二次函数开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在y轴右侧，则， ． 故选：C． 2．D 本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，即可求解． 解：观察图象得，：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧， ∴，故A，B，C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 3．D 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴、与x轴的交点逐一判断可得答案． 解：A、由抛物线开口向上知，此选项错误； B、由抛物线与y轴交于负半轴知，则，此选项错误； C、由抛物线的对称轴位置得，此选项错误； D、由抛物线与x轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，此选项正确． 故选：D． 4． > < < 由抛物线开口方向可以判断得到；抛物线对称轴在y轴的右侧，可以知道，进一步分析得到；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可以知道． 解：①∵抛物线开口向上 ∴ 故答案为： ②∵抛物线的对称轴在y轴的右侧 ∴ ∵ ∴ 故答案为： ③∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，牢记相关知识点并能结合函数图象灵活应用是解题关键． 5．D 本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可． 对称轴为直线，经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ，故A选项错误； ， ， ，故B选项错误； 抛物线的开口向上， ， 当时，， ， ， ，故C选项错误； 抛物线与轴的交点在点与之间， ， 当时，， ， ， ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 6．D 根据二次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 解：A、∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，对称轴在y轴的右边， ∴a＜0，b＞0，c＞0，即abc＜0，故此选项错误； B、根据图象，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误； C、∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△= b2﹣4ac＞0，故此选项错误； D、∵抛物线的对称轴为直线x= 1，即=1，∴2a=﹣b， 又∵当x=1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，即2a+2c＜2b， ∴﹣b+2c＜2b，即2c＜3b，故此选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，能根据图象的开口方向、与坐标轴的交点、对称轴的位置以及特殊点的位置进行判断是解答的关键． 7．D 本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向可判断①正确；根据对称轴的位置可判断②正确；根据抛物线与y轴的交点可判断③错误；根据时的函数值可判断④正确． 解：∵抛物线开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴在y轴的右侧， ∴，故②正确； ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确． 故选D． 8．①②③④ 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 9．B 本题考查了二次函数图像的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与x轴的交点在x轴上方， ∴ ∴，即①不正确； 根据图象，当时，， ∴当时， ∴，即②不正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 故选：B． 10．①④⑤ 本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，二次函数开口向下，与轴正半轴有交点，则、，根据对称轴可得与轴的一个交点坐标为，令得到，根据二次函数图像与轴有两个交点， 得到判别式，根据 二次函数图像的对称轴判断增减性即可． 解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 11．①②③ 本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 12．B 根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 13．B 本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 14．C 本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 15．B 根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解． 解：根据函数图象，可得当时，，故①正确； ∵在上， ∴是方程的一个解；故②正确； ∵，在抛物线上， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得： ∴当时，， 当时，， ∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确； ∵，顶点坐标为， ∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误． 故正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．B 先根据抛物线开口、对称轴、与y轴交点判定、、正负，判断①；利用抛物线对称性得到，结合点横坐标范围判断②；由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由推出，代入抛物线得到与、关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结论个数选出答案。 解：由二次函数图象可得： 抛物线开口向下， ； 顶点坐标为，则对称轴为直线， 由对称轴公式， 整理得，结合，得 ； 抛物线与轴交于正半轴， ； 抛物线与轴正半轴交点满足． ， ， 故①错误 根据二次函数轴对称性质：对称轴为，则 将代入解析式： 把代入化简： ，说明直线在交点左侧，此位置抛物线图象在轴上方 ，即 故②错误 ∵顶点坐标为， ∴ 故③正确 抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 平方作差比较距离大小： ， ， 即，得 点离对称轴更近，， 故④正确 由得，由得 ， ，即， 将代入抛物线解析式： ， 设一元二次方程的两根为，由韦达定理： ， 将代入： ， 故⑤正确 综上所述正确结论一共有3个． 17．B 根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 18．B 根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 19．①③④ 本题主要考查二次函数的图象和性质．抛物线与轴的交点，熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．由二次函数图象的对称轴而可判断①；由时，，结合，即可判断②；判断直线过，两点，根据图象即可判断③；由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可判断④． 解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 时，， ， ， ， ，故②错误； ，， ， ， 直线与轴的交点为， 直线过，两点， 观察图象，若，则，故③正确； 由题意可知点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 抛物线开口向下， ．故④正确； 故答案为：①③④． 20．①③⑤ 本题主要考查了函数与不等式，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质，将二次函数与不等式结合，逐个进行判断即可． 解：顶点为的抛物线， 设顶点式为， 把代入， 解得，故⑤正确； ， 即， ， ，故①正确； 当时，有最小值， 对于任意的m，均有，即故②错误； ，故③正确； 抛物线的对称轴为， 当或时，， 当，则或，故④错误； 解方程得 抛物线与直线的交点的横坐标分别为， 当或时，， 故不等式的解集为或，故⑥错误． 故答案为：①③⑤． 学科网（北京）股份有限公司 $