26.2 二次函数的图象和性质 分层分类训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，以6大考点为纲，通过基础到综合题构建从概念理解到应用分析的逻辑体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本性质|11题|顶点坐标/对称轴/开口方向判断|从顶点式切入，夯实概念基础| |形式转化|8题|配方与形式互化|衔接代数变形，为性质分析铺垫| |增减性比较|10题|函数值大小比较/增减区间判断|结合对称轴与开口方向，深化性质应用| |一系双图|6题|二次函数与一次函数图象综合识别|跨函数关联，培养几何直观| |系数关系|7题|a/b/c符号及代数式判断|从图象特征逆向推导系数性质| |点坐标特征|6题|交点/顶点坐标计算与应用|落实数形结合，强化模型意识|

26.2 二次函数的图象和性质 考点1 二次函数的基本性质 考点2 二次函数三种形式的相互转化 考点3 二次函数图象的增减性与大小比较 考点4 一系双图 考点5 二次函数图象与系数的关系 考点6 二次函数图象上点的坐标特征 基 础 达 标 练 考点1 二次函数的基本性质 1.（2026春•海淀区校级期末）二次函数y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 2.（2026春•福州校级期末）已知二次函数的解析式为y＝3（x﹣1）2﹣3，则该二次函数图象的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3） 3．（2026春•长安区校级月考）抛物线y＝﹣2（x+1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 4.（2026春•鼓楼区校级期末）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2 5.（2026春•长安区校级月考）对于二次函数y＝2x2+1，下列说法中不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝1 D．当x＜0时y随x的增大而减小 6.（2026•松北区校级模拟）对于二次函数y＝5（x+1）2+2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标为（﹣1，2） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 7.（2026•蓬江区校级二模）如图，根据二次函数y＝x2+x﹣6的图象，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．A，B两点之间的距离为6 D．抛物线的顶点坐标为 8.（2026春•沙河口区校级期末）函数y＝（m﹣2）m是二次函数，则它的图象（　　） A．开口向上，对称轴为y轴 B．开口向下，顶点x在轴上方 C．开口向上，与x轴无交点 D．开口向下，与x轴无交点 9.（2026春•南关区校级作业）已知抛物线y＝（x+3）2，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣3 C．抛物线的顶点坐标为（3，0） D．当x＜﹣10时，y随x的增大而减小 10.（2026•祁县二模）对于抛物线y＝x2﹣4x+1，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（2，﹣3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 11.（2026•湖里区三模）已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（　　） A． B． C． D． 考点2 二次函数三种形式的相互转化 12.．（2026•大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 13.（2026•道里区模拟）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 14.（2025秋•稷山县校级期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 15.（2025秋•孝感期末）将一元二次方程x2﹣4x+2＝0配成（x+m）2＝n的形式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 16.（2025秋•青龙县期末）用配方法将抛物线y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2﹣15 17.（2025秋•城关区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 18.（2025秋•张掖校级期末）将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ y＝（x﹣1）2+4　 ． 19.（2025秋•盐城期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 考点3 二次函数图象的增减性与大小比较 20.（2026•金安区校级模拟）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　） A．y＝4x+1 B．y＝﹣4x+1 C．y＝﹣3x2+1 D．y＝3x2+1 21.（2026•府谷县三模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22.（2026•靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 23.（2026春•兴隆台区期末）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3），是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 24.（2026春•海淀区校级期末）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 25．（2026春•南宁校级期末）二次函数y＝2x2的图象上有三个点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 26.（2026春•拱墅区期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数），若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在该函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 27.（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 28.（2026春•西山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：下列说法错误的是（　　） x ﹣1 0 1 y 5 1 ﹣1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为﹣1 29.（2026•龙海区校级模拟）已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）上的三个点，则下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2，则y3＜y1＜y2 B．若y1＜y2，则y1＜y2＜y3 C．若y2＜y1，则y2＜y1＜y3 D．若y2＜y1，则y2＜y3＜y1 考点4 一系双图 30．（2026春•渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A． B． C． D． 31.（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 32．（2026•安徽模拟）函数y＝kx+b和抛物线y＝kx2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 33.（2026•牧野区校级模拟）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 34.（2026春•开福区校级期末）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 35．（2026•瑶海区三模）在平面直角坐标系中，函数y1＝x2+ax+1与函数y2＝x2+bx+2的图象如图所示，若b是a，c的比例中项，则函数y＝x2cx+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 考点5 二次函数图象与系数的关系 36.（2026•花山区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则（　　） A．abc＞0 B．9a+3b+c＞0 C．2a+b＝0 D．3a+c＞0 37．（2026•科尔沁区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论： ①abc＜0 ②a﹣b+c＜0 ③2a+b＝0 ④（a+c）2＞b2 ⑤若A（2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3），则y1＞y2＞y3． 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 38．（2026春•让胡路区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＞0；②4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；③c＞3a；④若A（m，y1）和B（m+1，y2）为图象上两点，且y1＜y2，则.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（2026•渠县校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0），下列结论：①abc＜0，②b2﹣4ac＞0，③a﹣b+c＝0，④且x＞2时，y＜0，正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2026•双流区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，对称轴是直线x＝﹣1，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（1，0） D．4a+2b+c＞0 41.（2026•科尔沁区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有以下结论： ①c＞0； ②b＞0； ③a+b+c＜4a﹣2b+c； ④2a+b＞0． 则其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 42（2026春•青羊区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．abc＞0 B．a﹣c＞0 C．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数） D．已知图象上点A（﹣3，y1），B（2，y2），则y1＞y2 考点6 二次函数图象上点的坐标特征 43．（2026春•沙河口区校级期末）二次函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴交点坐标是　 　． 44.（2026•铜川二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（　　） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 45.（2026•陕西校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法不正确的是（　　） A．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝4 B．当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴 C．抛物线的顶点坐标是（m，m﹣4） D．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2 46.（2026•咸阳校级模拟）已知二次函数y＝﹣5x2+bx+2（b为常数），当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定正确的是（　　） A．b＞0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值大于2 D．方程﹣5x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根 47.（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 48.（2025秋•蔡甸区校级月考）已知抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0 B．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0） C．方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根 D．2a2+b+c＜0 能 力 提 升 练 49.（2026•温州校级二模）已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m≤3 50.（2026•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝mx2﹣4mx+m2（m为常数，且m≠0），当x＞3时，y随x的增大而减小，当﹣2≤x≤1时，y的最大值为4，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．﹣1或﹣3 51．（2026•江夏区校级模拟）若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．若函数与函数y2＝x+t（x＜0）存在奇对称点，则t的取值范围是（　　） A．0≤t≤2 B． C．t≥2 D．t≤2 52．（2026•眉山一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）且n＞0．下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．当x＝1和x＝﹣3时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值相等 D．函数y＝kx+1与y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象总有两个不同的交点 真 题 提 前 练 53．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 54.（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 55.（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 56．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 二次函数的图象和性质 考点1 二次函数的基本性质 考点2 二次函数三种形式的相互转化 考点3 二次函数图象的增减性与大小比较 考点4 一系双图 考点5 二次函数图象与系数的关系 考点6 二次函数图象上点的坐标特征 基 础 达 标 练 考点1 二次函数的基本性质 1.（2026春•海淀区校级期末）二次函数y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 1.D【解析】由题意，∵二次函数为y＝（x+3）2﹣2，∴其的顶点的横坐标为﹣3． 2.（2026春•福州校级期末）已知二次函数的解析式为y＝3（x﹣1）2﹣3，则该二次函数图象的顶点坐标是（　　） A．（1，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3） 2.A【解析】∵二次函数的解析式为y＝3（x﹣1）2﹣3，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3）． 3．（2026春•长安区校级月考）抛物线y＝﹣2（x+1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 3.B【解析】顶点坐标为（﹣1，2）. 4.（2026春•鼓楼区校级期末）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2 4.A【解析】由题意可得：对称轴是直线x＝1. 5.（2026春•长安区校级月考）对于二次函数y＝2x2+1，下列说法中不正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．图象的对称轴为直线x＝1 D．当x＜0时y随x的增大而减小 5.C【解析】二次函数y＝2x2+1，a＝2＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1），有最小值1，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；故选项A、B、D说法正确，选项C说法错误， 6.（2026•松北区校级模拟）对于二次函数y＝5（x+1）2+2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标为（﹣1，2） D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 6.【解析】A．a＝5＞0，抛物线的开口向上，所以A选项正确，不符合题意；B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以B选项正确，不符合题意；C．抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以C选项正确，不符合题意；D．在对称轴左侧y随x的增大而减小，所以D选项错误，符合题意. 7.（2026•蓬江区校级二模）如图，根据二次函数y＝x2+x﹣6的图象，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝1 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．A，B两点之间的距离为6 D．抛物线的顶点坐标为 7.B【解析】y＝x2+x﹣6，对称轴直线为：x，故A错误；由图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故B正确；令y＝0，0＝x2+x﹣6，解得x1＝﹣3，x2＝2，∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，∴A，B两点之间的距离为5，故C错误；当x＝﹣时，y6，故D错误. 8.（2026春•沙河口区校级期末）函数y＝（m﹣2）m是二次函数，则它的图象（　　） A．开口向上，对称轴为y轴 B．开口向下，顶点x在轴上方 C．开口向上，与x轴无交点 D．开口向下，与x轴无交点 8.D【解析】由题意得，m2﹣2＝2且m﹣2≠0，解得m1＝2，m2＝﹣2，且m≠2，所以，m＝﹣2， 则y＝﹣4x2﹣2，∵﹣4＜0，∴开口向下，∵Δ＝0﹣4×（﹣4）×（﹣2）＝﹣32＜0，∴抛物线与x轴无交点． 9.（2026春•南关区校级作业）已知抛物线y＝（x+3）2，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝﹣3 C．抛物线的顶点坐标为（3，0） D．当x＜﹣10时，y随x的增大而减小 9.C【解析】∵y＝（x+3）2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），∴当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，∴当x＜﹣10时，y随x的增大而减小；故C错误，符合题意，ABD正确，不符合题意. 10.（2026•祁县二模）对于抛物线y＝x2﹣4x+1，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（2，﹣3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 10.B【解析】配方得 y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴抛物线开口向上，故A选项错误；由顶点式可知，抛物线顶点坐标为（2，﹣3），故B选项正确；由抛物线的解析式可知，对称轴为直线x＝2，故C选项错误；根据二次函数性质，当x＞2时，y随x的增大而增大，当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而减小，故D选项错误． 11.（2026•湖里区三模）已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（　　） A． B． C． D． 11.A【解析】已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，所以对称轴为直线x＝h，并且顶点坐标为（h，0）在x轴的正半轴，故B、C、D错误，不符合题意. 考点2 二次函数三种形式的相互转化 12.．（2026•大同模拟）将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 12.D【解析】yx2﹣6x+21（x2﹣12x+36）﹣18+21（x﹣6）2+3． 13.（2026•道里区模拟）把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 13.B【解析】y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 14.（2025秋•稷山县校级期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝2（x+1）2+8 B．y＝2（x+1）2+4 C．y＝2（x﹣1）2+8 D．y＝2（x﹣1）2+4 14.D【解析】y＝2x2﹣4x+6＝2（x2﹣2x+1）+4＝2（x﹣1）2+4，即y＝2（x﹣1）2+4． 15.（2025秋•孝感期末）将一元二次方程x2﹣4x+2＝0配成（x+m）2＝n的形式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 15.B【解析】x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，x2﹣4x+4＝2，（x﹣2）2＝2，∵将一元二次方程x2﹣4x+2＝0配成（x+m）2＝n的形式，∴m＝﹣2，n＝2． 16.（2025秋•青龙县期末）用配方法将抛物线y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x﹣4）2﹣15 16.C【解析】y＝x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3. 17.（2025秋•城关区校级期末）二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 17.B【解析】∵y＝x2﹣4x﹣2，＝（x﹣2）2﹣6，∴将二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式后，m，n的值分别是﹣2、﹣6. 18.（2025秋•张掖校级期末）将二次函数y＝x2﹣2x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝ y＝（x﹣1）2+4　 ． 18.（x﹣1）2+4【解析】y＝x2﹣2x+5＝x2﹣2x+1+4＝（x﹣1）2+4. 19.（2025秋•盐城期末）已知二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）． （1）求m的值； （2）将y＝x2﹣6x+m化成y＝a（x+b）2+k的形式． 19.解：（1）二次函数y＝x2﹣6x+m的图象经过点P（1，5）， 则12﹣6×1+m＝5， 解得m＝10； （2）y＝x2﹣6x+10 ＝x2﹣6x+9+1 ＝（x﹣3）2+1． 考点3 二次函数图象的增减性与大小比较 20.（2026•金安区校级模拟）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　） A．y＝4x+1 B．y＝﹣4x+1 C．y＝﹣3x2+1 D．y＝3x2+1 20.B【解析】根据题意y的值随x值的增大而减小逐项分析判断如下：A．y＝4x+1中，k＝4＞0，∴y随x的增大而增大，不符合题意；B．y＝﹣4x+1中，k＝﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，符合题意；C．y＝﹣3x2+1是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，x＜0时y随x的增大而增大，x＞0时y随x的增大而减小，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意；D．y＝3x2+1是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时y随x的增大而增大，不是对所有x都满足y随x的增大而减小，不符合题意． 21.（2026•府谷县三模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21.D【解析】由抛物线解析式a＝1＞0可知抛物线开口向上，由对称轴公式得抛物线对称轴为，∵当x＜m时，y随x的增大而减小，又当x＜2时，y随x的增大而减小，∴m≥2＞0，即顶点的横坐标为正，，∵m≥2，∴m2+m＞0，∴，即顶点纵坐标为负，∴顶点在第四象限． 22.（2026•靖江市校级模拟）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 22.B【解析】由题知：抛物线的对称轴为直线，∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴离对称轴越远则函数值越小，题中三个点离直线x＝﹣1距离由远及近为A、C、B，∴y1＜y3＜y2. 23.（2026春•兴隆台区期末）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3），是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 23.A【解析】可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3），是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，∴|﹣2﹣（﹣1）|＜|1﹣（﹣1）|＜|2﹣（﹣1）|，∴y1＞y2＞y3. 24.（2026春•海淀区校级期末）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 24.A【解析】由题知，因为二次函数的解析式为y，所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1，则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大．因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上，则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3，所以y2＞y3＞y1． 25．（2026春•南宁校级期末）二次函数y＝2x2的图象上有三个点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 25.D【解析】由a＝2＞0可知：抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵点A、B、C的横坐标满足1＜2＜3，都在对称轴右侧，∴y3＞y2＞y1． 26.（2026春•拱墅区期末）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k（k为常数），若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在该函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1 26.B【解析】由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k可知，对称轴为x＝1，开口向下，∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，∴A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点为（3，y1）， ∵1＜2＜3＜4，∴y3＜y1＜y2，则y2＞y1＞y3． 27.（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 27.A【解析】根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远，∴y1最大，y3最小，∴y3＜y2＜y1. 28.（2026春•西山区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：下列说法错误的是（　　） x ﹣1 0 1 y 5 1 ﹣1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为﹣1 28.D【解析】由条件可得：，解得，∴抛物线解析式为． ∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，A正确，不符合题意；抛物线对称轴为直线，故B正确，不符合题意；抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x增大而增大，C正确，不符合题意；抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是﹣1，D错误，符合题意. 29.（2026•龙海区校级模拟）已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）是抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0）上的三个点，则下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2，则y3＜y1＜y2 B．若y1＜y2，则y1＜y2＜y3 C．若y2＜y1，则y2＜y1＜y3 D．若y2＜y1，则y2＜y3＜y1 29.B【解析】∵抛物线y＝ax2﹣4ax+m（a≠0），∴抛物线的对称轴为直线x2，若y1＜y2，则抛物线开口向下，∵|2﹣（﹣3）|＜|2﹣（﹣2）|＜|3﹣2|，∴y1＜y2＜y3，故A说法错误；B说法正确；若y2＜y1，则抛物线开口向上，∵|2﹣（﹣3）|＞|2﹣（﹣2）|＞|3﹣2|，∴y1＞y2＞y3，故C说法错误；D说法错误. 考点4 一系双图 30．（2026春•渝中区校级期末）在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A． B． C． D． 30.C【解析】x＝0时，两个函数的函数值y＝b，∴两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，∴a＞0，∴一次函数y＝ax+b经过第一三象限，∴A选项错误，C选项正确． 31.（2026•七星关区校级模拟）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 31.A【解析】联立得：，∴ax2﹣a＝ax﹣a，∴x2﹣x＝0，解得x＝0或x＝1，当x＝0时，y＝﹣a，当x＝1时，y＝0，∴二次函数与一次函数相交于点（1，0）和（0，﹣a）， 32．（2026•安徽模拟）函数y＝kx+b和抛物线y＝kx2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 32.C【解析】一次函数图象斜率为负，得k＜0，但二次函数开口向上，要求k＞0，矛盾，A错误，一次函数图象斜率为正，得k＞0，二次函数开口向上，符合k＞0，一次函数与y轴交于正半轴，得b＞0，二次函数对称轴x，由k＞0，b＞0得对称轴在y轴左侧，与图象中对称轴在右侧矛盾，B错误；一次函数图象斜率为正，得k＞0，二次函数开口向上，符合k＞0，一次函数与y轴交于负半轴，得b＜0，二次函数对称轴x，由k＞0，b＜0得对称轴在y轴右侧，与图象一致，故C正确，一次函数图象斜率为正，得k＞0，但二次函数开口向下，要求k＜0，矛盾，故D错误. 33.（2026•牧野区校级模拟）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 33.B【解析】A、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误. 34.（2026春•开福区校级期末）函数y＝ax+b与y＝ax2+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 34.A【解析】选项A中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项A符合题意；选项B中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＞0，b＞0，故选项B不符合题意；选项C中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项C不符合题意；选项D中，函数y＝ax+b中的a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+b中a＜0，b＞0，故选项D不符合题意. 35．（2026•瑶海区三模）在平面直角坐标系中，函数y1＝x2+ax+1与函数y2＝x2+bx+2的图象如图所示，若b是a，c的比例中项，则函数y＝x2cx+1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 35.D【解析】由题知，因为函数y1的图象与x轴有且只有一个交点且对称轴在y轴左侧，所以且a2﹣4＝0，所以a＝2．由函数y2的图象可知，且b2﹣4×1×2＜0，所以0＜b2＜8．因为b是a，c的比例中项，所以b2＝ac，则0＜2c＜8，所以0＜c＜4．由y＝x2cx+1得，该抛物线的对称轴为直线x0，Δ．因为0＜c＜4，所以，所以该抛物的对称轴在y轴左侧，开口向上且与x轴没有交点，所以只有D选项符合题意． 考点5 二次函数图象与系数的关系 36.（2026•花山区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则（　　） A．abc＞0 B．9a+3b+c＞0 C．2a+b＝0 D．3a+c＞0 36.C【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵对称轴是直线 x＝1，∴，即 b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故C正确，符合题意．∵a＜0，∴b＝﹣2a＞0．∵抛物线与 y 轴交点在x轴上方，∴c＞0．∴abc＜0，故A错误，不符合题意．由图可知，当 x＝﹣1 时，y＜0，即 a﹣b+c＜0． 将 b＝﹣2a 代入得 a﹣（﹣2a）+c＜0，即 3a+c＜0，故D错误，不符合题意．根据抛物线的对称性，当 x＝﹣1 时，y＜0，则当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，故B错误，不符合题意． 37．（2026•科尔沁区校级三模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论： ①abc＜0 ②a﹣b+c＜0 ③2a+b＝0 ④（a+c）2＞b2 ⑤若A（2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3），则y1＞y2＞y3． 其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 37.C【解析】∵开口向下，对称轴为x＝1，与y轴交于正半轴，∴c＞0，a＜0，，∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①正确．∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线x＝1∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于﹣1，∵当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确．∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，又a﹣b+c＜0， ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④错误．∵抛物线开口向下，∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大，∵|2﹣1|＝1，|﹣1﹣1|＝2，|4﹣1|＝3，∴y1＞y2＞y3，故⑤正确． 38．（2026春•让胡路区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＞0；②4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；③c＞3a；④若A（m，y1）和B（m+1，y2）为图象上两点，且y1＜y2，则.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 38.C【解析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣2，∴2，∴b＝4a，∴a，b同号，∴b＜0，根据图象可得当x＝﹣4时，y＜0，∵对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＝0时，y＜0，∴c＜0，∴abc＜0，故①错误；②当x＝﹣2时，ymax＝4a﹣2b+c，当x＝t时，y＝at2+bt+c，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，∴4a﹣2b≥at2+bt，即4a﹣2b≥t（at+b），故②正确；③∵b＝4a，∴y＝ax2+4ax+c，根据图象可得当x＝﹣1时，y＞0，∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+c＞0，∴c﹣3a＞0，即c＞3a，故③正确；④根据图象可知，抛物线上的点到对称轴直线x＝﹣2的距离越近，函数值越大，∵A（m，y1）和B（m+1，y2）为图象上两点，且y1＜y2，∴|m﹣（﹣2）|＞|m+1﹣（﹣2）|，即|m+2|＞|m+3|，解得，故④正确． 39．（2026•渠县校级模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0），下列结论：①abc＜0，②b2﹣4ac＞0，③a﹣b+c＝0，④且x＞2时，y＜0，正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39.C【解析】①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0，∵对称轴是直线x，∴，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③∵对称轴为直线x，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根，故③正确.④∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故④正确；综上所述，正确的结论是②③④共3个． 40．（2026•双流区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，对称轴是直线x＝﹣1，下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（1，0） D．4a+2b+c＞0 40.C【解析】由所给函数图象可知，因为抛物线的开口向下，所以a＜0．故A选项不符合题意；因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1且开口向下，所以当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故B选项不符合题意；因为抛物线与x轴的交点A坐标为（﹣3，0）且对称轴为直线x＝﹣1，所以抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0）．故C选项符合题意；由上述过程可知，当x＝2时，函数值小于零，所以4a+2b+c＜0．故D选项不符合题意． 41.（2026•科尔沁区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有以下结论： ①c＞0； ②b＞0； ③a+b+c＜4a﹣2b+c； ④2a+b＞0． 则其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 41.A【解析】由图象知，抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，则c＜0，故①错误，不符合题意；抛物线的对称轴为直线x＝1，即，即b＝﹣2a＜0，故②错误，不符合题意；抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上，即当x＝1时，二次函数取得最小值a+b+c，而当x＝﹣2时函数值为y＝4a﹣2b+c，所以a+b+c＜4a﹣2b+c，故③正确，符合题意；由2a+b＝2a+（﹣2a）＝0，故④错误，不符合题意. 42（2026春•青羊区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．abc＞0 B．a﹣c＞0 C．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数） D．已知图象上点A（﹣3，y1），B（2，y2），则y1＞y2 42.D【解析】由图象可得：a＞0，c＞0，1，∴b＝2a＞0，∴abc＞0，故A选项正确，不合题意； 当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝2a，∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故B选项正确，不合题意；当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，∴am2+bm≥a﹣b，故C选项正确，不合题意；∵图象上点A（﹣3，y1），B（2，y2），对称轴为直线x＝﹣1，∴点A（﹣3，y1）到对称轴的距离小于点B（2，y2）到对称轴的距离，∵开口向上，∴y1＜y2，故D选项错误，符合题意． 考点6 二次函数图象上点的坐标特征 43．（2026春•沙河口区校级期末）二次函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴交点坐标是　 　． 43.（0，﹣2【解析】令x＝0，代入二次函数解析式y＝x2+x﹣2，得y＝02+0﹣2＝﹣2，∴二次函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴交点坐标是（0，﹣2）． 44.（2026•铜川二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有（　　） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值6 D．最小值6 44.B【解析】解：由y＝2x2﹣2mx+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（0，8），其对称轴在y轴右侧， 得m2﹣2m＝8，得m＝4或﹣2（舍），故二次函数为y＝2x2﹣8x+8＝2（x﹣2）2，故二次函数有最小值0． 45.（2026•陕西校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列说法不正确的是（　　） A．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝4 B．当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴 C．抛物线的顶点坐标是（m，m﹣4） D．若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2 45.D【解析】先对抛物线配方得：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4＝（x﹣m）2+m﹣4，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，逐一判断选项：选项A：若抛物线与x轴只有一个公共点，则根的判别式Δ＝0，∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣4）＝﹣4m+16，令Δ＝0，解得m＝4，∴A说法正确，选项B：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，对称轴为x＝0，即y轴，∴B说法正确，选项C：由顶点式y＝（x﹣m）2+m﹣4可知，抛物线顶点坐标为（m，m﹣4），∴C说法正确，选项D：计算两点到对称轴x＝m的距离：点A到对称轴的距离为|（m﹣2）﹣m|＝2，点B到对称轴的距离为|（m+1）﹣m|＝1，∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，2＞1，∴y1＞y2，故D说法不正确. 46.（2026•咸阳校级模拟）已知二次函数y＝﹣5x2+bx+2（b为常数），当x＜0时，y的值随x值的增大而增大，则下列结论一定正确的是（　　） A．b＞0 B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值大于2 D．方程﹣5x2+bx+2＝0有两个不相等的实数根 46.D【解析】在二次函数y＝﹣5x2+bx+2 中，a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵当x＜0时，y随x的增大而增大，∴对称轴，可得b≥0．对于A，b可以等于0，故A错误；对于B，顶点横坐标为，顶点纵坐标为，顶点在第一象限或y轴正半轴，不可能在第四象限，故B错误；对于C，函数的最大值为顶点纵坐标，当b＝0时，最大值为2，不满足最大值大于2，故C错误；对于D，方程﹣5x2+bx+2＝0 的判别式Δ＝b2﹣4×（﹣5）×2＝b2+40， ∵b2≥0，∴Δ＝b2+40＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故D正确. 47.（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 47.A【解析】由题意可得：二次函数的对称轴为直线，∵对称轴公式为，a＝1，∴，解得b＝﹣4，又∵二次函数图象与x轴只有一个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0，解得c＝4，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4，将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1，∴A（1，1），B（3，1），∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1，∴． 48.（2025秋•蔡甸区校级月考）已知抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），下列结论中正确的是（　　） A．abc＞0 B．抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0） C．方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根 D．2a2+b+c＜0 48.C【解析】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线，即b＝﹣2a，抛物线有最大值3，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣2，0），即B选项错误；∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即c＞0，∵抛物线有最大值3，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，所以A选项错误；∵抛物线有最大值3，∴ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，即C选项正确；∵b＝﹣2a，∴2a2+b+c＝2a2﹣2a+c．∵a＜0，∴2a2＞0，﹣2a＞0，又c＞0，∴2a2+b+c＞0，故D选项错误． 能 力 提 升 练 49.（2026•温州校级二模）已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m≤3 49.C【解析】如图所示，∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当y＝3时，x＝0或2，∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，∴1≤m≤2． 50.（2026•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝mx2﹣4mx+m2（m为常数，且m≠0），当x＞3时，y随x的增大而减小，当﹣2≤x≤1时，y的最大值为4，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．﹣1或﹣3 50.B【解析】由题知，因为抛物线的解析式为y＝mx2﹣4mx+m2，所以抛物线的对称轴为直线x．因为当x＞3时，y随x的增大而减小，所以抛物线的开口向下，即m＜0．因为当﹣2≤x≤1时，y的最大值为4，所以m﹣4m+m2＝4，解得m＝﹣1或4．因为m＜0，所以m＝﹣1． 51．（2026•江夏区校级模拟）若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．若函数与函数y2＝x+t（x＜0）存在奇对称点，则t的取值范围是（　　） A．0≤t≤2 B． C．t≥2 D．t≤2 51.B【解析】由题意，设点M（a，﹣a2+2a）（0≤a≤2）在y1上，∴其关于原点的对称点N（﹣a，a2﹣2a）， 又∵N在 y2＝x+t（x＜0）上，∴a2﹣2a＝﹣a+t，∴t＝a2﹣a（0＜a≤2，因x＝﹣a＜0）．∵二次函数t＝a2﹣a的对称轴直线为a，∴在 0＜a≤2内：当a时，t取最小值为；当a＝2时，t取最大值为2．∴t的范围为t≤2． 52．（2026•眉山一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）且n＞0．下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．当x＝1和x＝﹣3时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值相等 D．函数y＝kx+1与y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象总有两个不同的交点 52.C【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n）且n＞0．∴对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，得a＜0,由对称轴公式，得b＝2a∵a＜0，∴b＜0,∵二次函数与x轴交于点（2，0），由对称性得另一个交点为2×（﹣1）﹣2＝﹣4，即（﹣4，0）∵开口向下，x＝0在两交点（﹣4，0）和（2，0）之间，∴x＝0时y＝c＞0，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故A选项不符合题意；依题意，把x＝﹣2代入y＝ax2+bx+c得y＝4a﹣2b+c∵x＝﹣2在﹣4＜x＜2这个范围内，开口向下，∴4a﹣2b+c＞0，故B选项不符合题意；∵|1﹣（﹣1）|＝|﹣3﹣（﹣1）|＝2，∴x＝1和x＝﹣3关于对称轴x＝﹣1对称，∴函数值相等，即当x＝1和x＝﹣3时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值相等故C选项符合题意；∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），∴0＝4a+2b+c，∵b＝2a，∴c＝﹣8a，依题意，联立，整理得ax2+（b﹣k）x+（c﹣1）＝0,∵c＝﹣8a∴ax2+（b﹣k）x+（﹣8a﹣1）＝0，则Δ＝（b﹣k）2﹣4a（﹣8a﹣1），整理得Δ＝（2a﹣k）2+32a2+4a，当，时，，无两个交点，故D选项不符合题意. 真 题 提 前 练 53．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2时，y的最小值为t，则下列t与a的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 53.A【解析】∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该函数的对称轴为直线x＝1，最小值为2，当a＞1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而增大，故选项B和D不符合题意；当﹣1≤a≤1，a≤x≤a+2时，t的值恒为2，当a＜﹣1，a≤x≤a+2时，t随a的增大而减小，故选项A符合题意，选项C不符合题意. 54.（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5，4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 54.B【解析】由题知，因为抛物线的解析式为y＝3（x﹣5）2﹣4，所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，﹣4），当x＞5时，y随x的增大而增大，所以只有B选项符合题意. 55.（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 55.C【解析】将点 （﹣1，4），（1，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵a＝﹣1＜0，∴函数图象的开口向下，则选项A正确；将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化成顶点式为y＝﹣（x+1）2+4，∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，则选项B正确；又∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴2a+c＝2×（﹣1）+3＝1，则选项C错误；b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，则选项D正确. 56．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 56.B【解析】∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，∴令y＝0，得方程x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A，B两点的坐标为 （﹣3，0）和 （3，0），∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $26.2二次函数的图象和性质 考点1二次函数的基本性质 考点2二次函数三种形式的相互转化 考点3二次函数图象的增减性与大小比较 考点4一系双图 考点5二次函数图象与系数的关系 考点6二次函数图象上点的坐标特征 基础达标练 考点1二次函数的基本性质 1.(2026春·海淀区校级期末)二次函数y=(x+3)2-2的顶点的横坐标为() A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.（2026春·福州校级期末)己知二次函数的解析式为y=3(x-1)?-3,则该二次函数图象的顶点坐标是 () A.(1,-3) B.(-1,-3) C.(1,3) D.(-1,3) 3.(2026春长安区校级月考)抛物线y=-2(x+1)2+2的顶点坐标是() A.(1,2) B.（-1,2) C.（-1,-2) D.(1,-2) 4.(2026春·鼓楼区校级期末)二次函数y=(x-1)2+2图象的对称轴是() A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2 5.(2026春长安区校级月考)对于二次函数y=2x2+1,下列说法中不正确的是() A.图象的开口向上 B.函数的最小值为1 C.图象的对称轴为直线x=1 D.当x<0时y随x的增大而减小 6.(2026·松北区校级模拟)对于二次函数y=5(x+1)2+2的图象，下列说法不正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-1 C.顶点坐标为(-1,2) D.当x<-1时，y随x的增大而增大 7.（2026蓬江区校级二模)如图，根据二次函数y=x+x-6的图象，下列说法正确的是() A A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.当x>-时，y的值随x值的增大而增大 C.A,B两点之间的距离为6 D.抛物线的顶点坐标为（一是 ，-6) 8.（2026春·沙河口区校级期末)函数y=(-2)xm2-2+m是二次函数，则它的图象() A.开口向上，对称轴为y轴 B.开口向下，顶点x在轴上方 C.开口向上，与x轴无交点 D.开口向下，与x轴无交点 9.(2026春·南关区校级作业)已知抛物线y=(x+3)2,下列结论错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-3 C.抛物线的顶点坐标为(3,0) D.当x<-10时，y随x的增大而减小 10.（2026·祁县二模)对于抛物线y=x2-4x+1,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为(2，-3) C.抛物线的对称轴为直线x=-2 D.当x>-2时，y随x的增大而增大 11.(2026·湖里区三模)己知抛物线y=(x-h)2,其中h>0,该抛物线示意图是() 考点2二次函数三种形式的相互转化 12(2026·大同模拟)将二次函数y=2x2-6x+21化为y=a(x-)2+k的形式为〈） A.y=c+62-3 B.y=2c-62-3 c.y=2c+62+3 D.y=2-602+3 13.(2026道里区模拟)把二次函数y=x2-2x-1的解析式配成顶点式为（) A.y=(x-1)2 B.y=(x-1)2-2 C.y=(x+1)2+1 D.y=(x+1)2-2 14.(2025秋•稷山县校级期末)将二次函数y=2x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的形式，结果为() A.y=2(x+1)2+8 B.y=2(x+1)2+4 C.y=2(x-1)2+8 D.y=2(x-1)2+4 15.(2025秋·孝感期末)将一元二次方程x2-4x+2=0配成(x+m)2=n的形式，则m的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 16.(2025秋•青龙县期末)用配方法将抛物线y=x2-4x+1化成y=a(x-h)2+k的形式为() A.y=(x+2)2-3 B.y=(x-4)2-3 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x-4)2-15 17.(2025秋城关区校级期末)二次函数y=x2-4x-2写成形如y=a(x+)2+n的形式，则m,n的值分 别是() Am=号n=9 B.=-2,n=-6 C.=2,n=6 D.m=2,n=-2 18.(2025秋·张掖校级期末)将二次函数y=x2-2x+5化为y=a(x-h)2+k的形式为y=y=(x-1)2+4一 19.(2025秋·盐城期末)已知二次函数y=x2-6x+m的图象经过点P(1,5). (1)求m的值： (2)将y=x2-6x+m化成y=a(x+b)2+k的形式. 考点3二次函数图象的增减性与大小比较 20.(2026·金安区校级模拟)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是() A.y=4x+1 B.y=-4x+1 C.y=-3x2+1 D.y=3x2+1 21.（2026府谷县三模)己知抛物线y=x2-2x-m(m为常数)，当x<2时，y随x的增大而减小，则抛 物线的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 22.(2026·靖江市校级模拟)已知点A（-5,y1)B(-2,y2)和C（1,y3)都在二次函数y=am2+2+c (a<0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是() A.y1<2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y3≤y1 D.y3<y2<y1 23.(2026春兴隆台区期末)A(-2,y1),B(1,2),C(2,y3),是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点， 则y1,y2,y3的大小关系是() A.y12>y3 B.y1>y3>V2 C.y3>y2>y1 D.y2>y1>y3 24.(2026春海淀区校级期末)若A(-2,),B(1,),C(3,g)均在抛物线y=-2x-1)2上，则 y1,y2,3的大小关系为() A.y2>3>y1 B.2>y1>3 C.y3>y2>y1 D.y1>2>y3 25.(2026春·南宁校级期末)二次函数y=2x2的图象上有三个点A(1,y1),B(2,y2),C(3,y3),则 y1、y2、3的大小关系为() A.y1>2>y3 B.y1>y3>2 C.y2>y1>y3 D.3>2>y1 26.(2026春·拱墅区期末)已知二次函数y=-(x-1)2+k(k为常数)，若点A（-1,y1),B(2,y2), C(4,3)都在该函数的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1>2>y3 B.y2>y1>y3 C.3>y2>y1 D.y2>y3>y1 27.(2026中原区校级四模)A(-2,y1),B（1,2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点， 则y1,y2,y3的大小关系为() A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.2>y1>y3 28.(2026春·西山区校级期末)二次函数y=ax+bx+c的部分对应值如表：下列说法错误的是() -1 0 1 y 5 1 -1 A.抛物线开口向上 B。对称轴为直线x=号 C.当x>时，y随x增大而增大 D.最小值为-1 29.（2026·龙海区校级模拟)己知A(-3,y1),B(-2,y2),C（3,y3)是抛物线y=2-4+m(a≠0) 上的三个点，则下列说法正确的是() A.若y1<y2,则y3<y1<y2 B.若y1<y2,则y1<y2<y3 C.若2<y1,则<y1<y3 D.若y2<y1,则2<y3<y1 考点4一系双图 30.（2026春·渝中区校级期末)在同一坐标系内，二次函数y=ax2+5x+b的图象与一次函数y=x+b可能 是() 31.(2026·七星关区校级模拟)函数y=m2-α与y=-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 32.(2026·安徽模拟)函数y=x+b和抛物线y=+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是() 33.(2026·牧野区校级模拟)一次函数y=x+b与二次函数y=ax+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可 能是() 4妹本：.么 34.(2026春·开福区校级期末)函数y=+b与y=+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可 能是( D 35.（2026·瑶海区三模)在平面直角坐标系中，函数y1=x2++1与函数y2=x2+bx+2的图象如图所示，若 b是a,c的比例中项，则函数y=x2+cx+1的图象大致是（) 0 考点5二次函数图象与系数的关系 36.(2026花山区校级三模)二次函数y=2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1,则() -170 A.abc0 B.9a+3b+c>0 C.2a+b=0 D.3+c>0 37.（2026·科尔沁区校级三模)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图象如图所示.下列结论： ①abc<o ②a-btc<0 ③2a+b=0 ④(tc)2>b ⑤若A(2,y1),B(-1,y2),C(4,y3),则y1>y2>y3. 其中正确结论的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 38.(2026春让胡路区校级期末)抛物线y=m2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-2.下 列说法：①abc>0;②4a-2b≥at+bt(t为实数)；③c>3a;④若A(,y1)和B(+1,y2)为图 象上两点，且<，则m<-多其中正确的个数是(） 4-3-2-10 A.1 B.2 C.3 D.4 39.(2026·渠县校级模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=2,且经过点 (2,0),下列结论：①abc<0,②b2-4ac>0,③a-b+c=0,④且x>2时，y<0,正确的有() 个 I= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 40.(2026双流区校级模拟)如图，二次函数y=2+bx+c的图象与x轴相交于A(-3,0),B两点，对称 轴是直线x=-1,下列说法正确的是() B A.a>0 B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大 C.点B的坐标为(1,0) D.4t2b+c>0 41.(2026科尔沁区校级二模)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=1,有以下 结论： ①c>0: ②b>0: ③atb+c<4a-2b+c: ④2a+b>0. 则其中正确的结论个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 42(2026春·青羊区校级同步)二次函数y=m2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1,下 列结论不正确的是() x=1 y A.abc0 B.a-c>0 C.m+b≥a-b(m为任意实数) D.已知图象上点A(-3,y1),B(2,2),则y1>y2 考点6二次函数图象上点的坐标特征 43.(2026春·沙河口区校级期末)二次函数y=x+x-2的图象与y轴交点坐标是 44.(2026铜川二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=2x2-2x+m2-2(m为常数)的图象经过点(0， 8),其对称轴在y轴右侧，则该二次函数有() A.最大值0 B.最小值0 C.最大值6 D.最小值6 45.(2026·陕西校级模拟)已知抛物线y=x2-2x+2+m-4(是常数)，下列说法不正确的是() A.若此抛物线与x轴只有一个公共点，则=4 B.当=0时，抛物线的对称轴是y轴 C.抛物线的顶点坐标是(，-4) D.若点A(-2,y1),B(+1,2)在抛物线上，则y1≤2 46.(2026·咸阳校级模拟)己知二次函数y=-5x2+bx+2(b为常数)，当x<0时，y的值随x值的增大而增 大，则下列结论一定正确的是() A.b>0 B.该函数图象的顶点位于第四象限 C.该函数的最大值大于2 D.方程-5x+bx+2=0有两个不相等的实数根 47.(2026新城区校级模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有 一个交点，且经过点A(1,m),B(3,m),则△AOB的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 48.(2025秋·蔡甸区校级月考)已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B (4,0),下列结论中正确的是() A.abc0 B.抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0) C.方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根 D.2a+b+c<0 能力提升练 49.(2026温州校级二模)已知函数y=x2-2x+3,当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范 围是( A.≥1 B.0≤m≤2 C.1≤m≤2 D.1≤≤3 50.(2026秦都区校级模拟)己知抛物线y=x2-4x+2(m为常数，且m≠0)，当x>3时，y随x的增 大而减小，当-2≤x≤1时，y的最大值为4，则m的值为() A.-3 B.-1 C.3 D.-1或-3 51.(2026·江夏区校级模拟)若函数y1的图象上存在点M,函数y2的图象上存在点N,且M、N关于原点 成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”.此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”.若函 数y1=-x2+2x(0≤x≤2)与函数y2=x+t(x<0)存在奇对称点，则t的取值范围是() A.0≤t≤2 B.-4≤t≤2 C.t≥2 D.t≤2 52.（2026眉山一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(-1， n)且n>0.下列结论正确的是() A.abc<0 B.4a-2b+c<0 C.当x=1和x=-3时，函数y=ax+bx+c(a≠0)的值相等 D.函数y=x+1与y=m2+bx+c（a≠0)的图象总有两个不同的交点 真题提前练 53.(2026广元)已知二次函数y=x2-2x+3,当a≤x≤a叶2时，y的最小值为t,则下列t与a的函数关系 图象正确的是() 54.(2026甘孜州)对于抛物线y=3(x-5)2-4,以下说法正确的是() A.开口向下 B.对称轴为直线x=5 C.顶点坐标为(5,4) D.当x>5时，y随x的增大而减小 55.(2026·成都)已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： … -2 -1 0 1 3 y 3 4 0 -12 … 下列说法错误的是() A.函数图象的开口向下 B.函数图象的对称轴是直线x=-1 C.2+c=0 D.b2-4ac>0 56.(2026内蒙古)二次函数y=x2-9的图象与x轴交于A,B两点，则线段AB的长是() A.3 B.6 C.9 D.18