26.3 二次函数与一元二次方程 （同步分层） -2026—2027学年人教版数学九年级上册

26.3二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（　　） A． B． C．或3 D．或 2．平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是（　　） A． B． C． D． 3．如图是二次函数图象的一部分，顶点，其中说法正确的是（　　） A． B． C．点和都在该二次函数图象上，若，且，则． D．方程一定有实数根 4．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（d≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．﹣0.01﹣0.02之间 B．0.02﹣0.06之间 C．6.17﹣6.18之间 D．6.18﹣6.19之间 6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜-1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝2x2+6x+n2+3，当x＝1时，f（1）＝12+2×1＝3，g（1）＝2+6+n2+3＝n2+11．则以下结论正确的有（　　） ①若函数g（x）的顶点在x轴上，则； ②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）； ③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3； ④当n＝1时，令，则h（1）•h（2）…h（2023）＝2024． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥若，是抛物线上两点，且，则实数m的取值范围是．其中正确结论的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．在正常情况下，10米跳台跳水运动员必须在距水面不小于时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度（）和运动员起跳后的运动时间（）之间满足关系：，则当时，即． 根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过　 　．（精确到） 10．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为　 　． 11．由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是　 　． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 12．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-1，x2=2 ，则二次函数y=x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是　 　； 13．已知二次函数 的部分图象如图所示，则一元二次方程 的解为：　 　. 14．函数的最小值为，不等式的解集为，则实数k的值为　 　． 15．已知二次函数的与的部分对应值如下表： x … -1 0 1 3 … y … 0 -1.5 -2 0 … 根据表格中的倌息，得到了如下的结论： ①二次函数可改写为的形式； ②二次函数的图象开口向下； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则. 其中所有正确的结论为　 　（填写序号） 16．关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根都在--1和 0 之间(不包括--1和0)，则a 的取值范围是　 　. 17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根之和是　 　． 18．已知关于x的方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0，存在a，b是方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是　 　. 19．我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点．例如：函数-1的零点为1和-1．若函数的零点是和，则函数的零点是　 　． 20．对于每个正整数 n，关于 x 的一元二次方程 = 0 的两个根分别为 an、bn，设平面直角坐标系中，An、Bn两点的坐标分别为 An（an，0），Bn（bn，0），AnBn表示这两点间的距离，则 AnBn=　 　（用含 n 的代数式表示）；A1B1+ A2B2+ …+ A2011B2012 的值为　 　. 21．二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： 当时，与其对应的函数值有下列结论：；和是关于的方程的两个根；则所有正确结论的序号为　 　． 三、解答题 22．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度与弹出的时间满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间是多少秒？ 23．已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … （1）求n的值和二次函数的解析式． （2）若点在该函数图象上，求m的值． 24．二次函数的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点，与y轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标； （3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是_________． 25．（1）解方程：； （2）二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？若相交，请求出它们的交点坐标；若不相交，请说明理由． 26．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）点B的坐标为______； （2）方程的两个根为______； （3）当时，自变量x的取值范围为______． 27．抛物线y=与y轴交于（0，3）点. （1）求出m的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； （2）根据图像回答下列问题： ①方程的根是多少？ ②x取什么值时， ？ 28．已知抛物线． （1）若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． （2）已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 29．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2． （1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； （2）①当x＝a时，求y的值； ②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）． （3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 30．已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（4，2）． （1）若抛物线过点A，求抛物线解析式； （2）若抛物线与直线OA只有一个交点，求a的值． （3）把抛物线沿直线OA方向平移个单位（规定：射线OA方向为正方向）得到抛物线，若对于抛物线，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 【解析】【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且△＞0， 由（a+2）2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0， 解得﹣ ＜a＜ ， ∵x1+x2=﹣ ，x1x2=9， 又∵x1＜1＜x2， ∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0， 那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， 即9+ +1＜0， 解得 ＜a＜0， 最后a的取值范围为： ＜a＜0． 故答案为：D． 方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧， 当a＞0时，x=1时，y＜0， ∴a+（a+2）+9a＜0， ∴a＜﹣ （不符合题意，舍去）， 当a＜0时，x=1时，y＞0， ∴a+（a+2）+9a＞0， ∴a＞﹣ ， ∴﹣ ＜a＜0， 故答案为：D． 【分析】方法一，根据一元二次方程根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，又x1＜1＜x2，故（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，即x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系即可确定a的取值范围；方法二：由于 关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2， 故抛物线y=ax2+（a+2）x+9a与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，即a+（a+2）+9a＜0，求解得出a的值，并检验不符合题意舍去，当a＜0时，x=1时，y＞0，即a+（a+2）+9a＞0，求解即可求出a的取值范围。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围是6.18＜x＜6.19． 故选D． 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解： ；（1）符合题意．∵ =2， ∴4a+b=0．故符合题意．；（2）不符合题意．∵x=-3时，y＜0， ∴9a-3b+c＜0， ∴9a+c＜3b，故（2）不符合题意．（3）符合题意．由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0）， ∴ 解得 ， ∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a， ∵a＜0， ∴8a+7b+2c＞0，故（3）符合题意．（4）不符合题意，∵点A（-3，y1）、点B（- ，y2）、点C（ ，y3）， ∵ -2= ，2-（- ）= ， ∴ ＜ ∴点C离对称轴的距离近， ∴y3＞y2， ∵a＜0，-3＜- ＜2， ∴y1＜y2 ∴y1＜y2＜y3，故（4）不符合题意．（5）符合题意．∵a＜0， ∴（x+1）（x-5）=- ＞0， 即（x+1）（x-5）＞0， 故x＜-1或x＞5，故（5）符合题意． ∴正确的有三个， 故答案为：B． 【分析】（1）符合题意，根据对称轴公式计算即可．（2）不符合题意，利用x=-3时，y＜0，即可判断．（3）符合题意，由图象可知抛物线经过（-1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）不符合题意，利用函数图象即可判断．（5）符合题意，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题． 7．【答案】B 【解析】【解答】①∵函数的顶点在x轴上， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得，故①错误； ②∵ ＝ ＝， ∴当，时，，即， 故②错误； ③∵ ＝ ＝， ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当﹣1≤x≤1时，时，有最小值， ∴， 解得：，故③正确； ④当时， ＝＝＝＝， ∴ ＝ ＝，故④正确． 综上所述：正确的结论有③④，共2个， 故答案为：B． 【分析】据函数的顶点在x轴上，则一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式可得关于的一元二次方程，解方程求求出的值可判断①；计算，根据二次函数的性质可判断②；计算，根据二次函数的增减性可判断③；化简，代入计算可判断④。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：由图像知：， ∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根，④正确，故符合要求； ∵， ∴⑤错误，故不符合要求； ∵对称轴为直线x=-1 ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵， 由函数的图象与性质可知，实数m的取值范围是，⑥正确，故符合要求； 即正确的结论为：①②③④⑥，共5个 故选：D． 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由图像知：， ，由二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，将点A坐标代入二次函数解析式，将对称轴直线代入对称轴直线方程：中，可解得，，可判断①的正误；由图象可知：二次函数 与x轴有两个交点，即当y=0时，方程有两个不相等的实数根，即，代入即可判断②的正误；由，代入得：，可判断③的正误；由，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，实数m的取值范围是，可判断⑥的正误． 9．【答案】 10．【答案】， 11．【答案】4 12．【答案】-1＜x＜2 13．【答案】 【解析】【解答】依题意得二次函数y= 的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为(-3，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为（-1）×2-（-3）=1， ∴交点坐标为(1，0) ∴当x=1或x=-3时，函数值y=0， 即 ， ∴关于x的一元二次方程 的解为x1=−3或x2=1. 故答案为： . 【分析】根据抛物线的对称性，由与x轴的一个交点为(-3，0)，对称轴为x=-1，得出抛物线与x轴的另一个交点横坐标为(1，0)根据一元二次方程与二次函数的关系得出求方程 −x2−2x+m=0 的解，其实质就是求函数y=−x2−2x+m与x轴交点的横坐标，从而得出答案。 14．【答案】17 15．【答案】①③ 【解析】【解答】解：由表格可得： 该函数的对称轴为直线， ∴该函数的顶点坐标为(1，-2)， ∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x-1)2-2的形式，故①正确，符合题意； 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，故②错误，不符合题意； 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1.5的两个根为0或2，故③正确，符合题意； 若y > 0，则x>3或x<-1，故④错误，不符合题意； 故答案为：①③. 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，然后即可得到顶点坐标，从而可以判断①；再根据图象中的数据，可以该函数图象开口向上，从而可以判断②；根据对称轴，可以得到x=0和x=2对应的函数值相等，即可判断③；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到当y>0时x的取值范围，从而可以判断④. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根， 解得： 设 如图， ∵实数根都在- 1和0之间， 且有 即. 解得： a < - 2， 故答案为： 【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在-1和0之间 (不包括-1和0)，结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围. 17．【答案】2 【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c与轴交点为， ∴方程ax2+bx+c=0的两根分别为， ∴ 故答案为：2. 【分析】根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标为对应的一元二次方程的根进行解答. 18．【答案】m＜a＜b＜n 【解析】【解答】解：令函数y＝2+（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn+2， ∴抛物线开口向上， 令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2的两个根为a，b， ∵当x＝m或n时，y＝2＞0， ∴实数m，n，a，b的大小关系为m＜a＜b＜n. 【分析】令抛物线解析式中y=0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向上得到a＜x＜b时y小于0，得到x=m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系. 19．【答案】-2或-3 【解析】【解答】解：函数的零点是和， ， ， 当时，， . 故答案为：-2或-3. 【分析】由二次函数的性质可得，再通过公式变形可得，故当时，可得，即函数的零点是-2或-3. 20．【答案】； 【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 的两个根分别为an、bn， ∴AnBn= = 故答案为 、 【分析】由于关于x的一元二次方程 的两个根分别为an、bn，可知，二次函数y= 与x轴的交点间的距离为 ，据此求出AnBn的表达式，然后令n=1，n=2，…，据此列出A1B1+ A2B2+ …+ A2011B2012的表达式，计算即可． 21．【答案】①② 【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝c＝-2，当x＝1时，y＝a+b+c＝-2， ∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线， ∵当时，其对应的函数值y＞0， ∴在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴二次函数开口向上 ∴a＞0，b＜0． ∴abc＞0．①结论符合题意 ∵x＝-2时，y＝t， ∴-2是关于x的程ax2+bx+c＝t的根． ∵对称轴为直线， ∴-2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．故②正确； ∵b＝-a，c＝-2， ∴二次函数解析式：y＝ax2-ax-2， ∵当时，与其对应的函数值y＞0． ∴， ∴； ∵当x＝-1和x＝2时的函数值分别为m和n， ∴m＝n＝2a-2， ∴；故③错误， 故答案为：①②. 【分析】用待定系数法将点（0，-2），（1，-2）代入解析式求出c＝-2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据表格数值x＝-2时，y＝t结合二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（-1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a-1），结合a的范围，判断③结论． 22．【答案】1秒 23．【答案】（1）， （2）3或 24．【答案】（1） （2），顶点坐标为 （3） 25．【答案】（1），；（2）相交，交点坐标为， 26．【答案】（1） （2）， （3） 27．【答案】（1）∵与y轴交于点（0，3） ∴ ∴抛物线的表达式为：. ∴顶点（1，4）， 列表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线可得如图所示抛物线. （2）①由图象可知，抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）， ∴方程的解为. ②由图象可知， 【解析】【解答】本题考查二次函数的图象与性质.（1）先将点（0，3）的坐标代入函数的解析式，可求出m的值，据此可求出解析式，再进行配方可求出顶点式为：，据此可知顶点为（1，4），再进行可列表，描点，连线，可画出抛物线； （2）①根据图像中与x轴的交点，可知与x轴的交点的横坐标为对应方程的解，据此可以直接写出方程的解； ②再根据图像可直接找到y＞0，知找函数图象在x轴上方的部分，据此可找出所有的x的取值范围. 28．【答案】（1） （2）①；② 29．【答案】（1）对称轴为直线x＝a﹣1 （2）①y=0；②x1＝a﹣2 （3）a≥﹣1 30．【答案】（1）解：∵抛物线过点A，点A坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵点A坐标为， ∴直线为， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴有两个相等的解， 即有两个相等的解， ∴ 解得或； （3）解：∵， ∴， ∴抛物线沿直线方向平移t个单位相当于水平移动了个单位再竖直方向移动了个单位， ∴抛物线的对称轴为， 当时，y随x的增大而增大，分两种情况： ①时，对称轴为直线或在直线左侧， ∴得，不符合题意； ②时，对称轴为直线或在直线右侧， ∴得； 综上：当时，符合题意． 【解析】【分析】（1）根据题意将点A代入，进而即可得到二次函数的解析式； （2）根据点A的坐标即可得到OA的函数解析式，再联立二次函数与正比例函数整理得关于x的一元二次方程，最后根据一元二次方程根的判别式求解即可； （3）先根据点A的坐标结合勾股定理求出OA，进而附件二次函数的图象及其几何变换得到抛物线沿直线方向平移t个单位相当于水平移动了个单位再竖直方向移动了个单位，抛物线的对称轴为，时，y随x的增大而增大，分两种情况，确定对称轴位置，结合t>0求解即可。 学科网（北京）股份有限公司 $