26.3 二次函数与一元二次方程 分层同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习按A组基础练、B组提升练、C组综合练分层，以二次函数与一元二次方程关系为核心，通过概念理解→推理应用→综合建模的路径巩固知识，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础练|二次函数与方程根的关系、交点坐标、判别式|选择填空结合解答题，如第10题用表格数据求解析式，强化几何直观| |B组提升练|对称轴应用、参数范围、根的分布|通过第13题方程与函数图像关系推理，发展运算与推理能力| |C组综合练|含绝对值函数、面积计算、线段交点|第19题结合抛物线与线段EF交点问题，培养模型意识与创新意识|

九年级数学（人教版）第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 A组 基础练 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 2.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝－1，x2＝2，则抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标是( ) A.(－1，0) B.(2，0) C.(－1，0)和(2，0) D.(1，0)和(－2，0) 3.下列抛物线中与x轴有两个交点的是( ) A.y＝x2 B.y＝x2＋2 C.y＝2x2－3x＋5 D.y＝2x2－3x－5 4.如图，点A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的解的一个近似值可能是( ) A.2.18 B.2.68 C.－0.51 D.2.45 5.如表列出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝6的其中一个解的取值范围是( ) x … －2 －1 0 1 … y … 15 3 －1 3 … A.1＜x＜2 B.2＜x＜3 C.－3＜x＜－2 D.0＜x＜1 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=−1，图象与x 轴的一个交点坐标为(1，0) ，则方程ax2+bx+c=0 的根为( ) A. x1=1，x2=−3 B. x1=−1，x2=3 C. x1=1，x2=− D. x1=−1，x2= 7.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝－2，则抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线 .  8.已知ax2＋bx＋c＝0的一个解是x＝4，二次函数y＝ax2＋bx＋c－1(a≠0)的对称轴是直线x＝3，则方程ax2＋bx＋c＝0的另一个解是　 　. 9.直线y＝2与y＝ax(1－x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是　 . 10.已知一个二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y 的对应值如下表所示： 𝑥  … −3  −2  −1  0 1 … 𝑦  … 0 −3  −4  −3  0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）当−3<x<0时，直接写出y 的取值范围； （3）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=x+n 的值都小于二次函数y=ax2+bx+c的值，直接写出n 的取值范围. B组 提升练 11. 若关于x的一元二次方程a(x+m)2−2=0 的两个根为x1=−2，x2=4，则二次函数y=2(x+m−3)2−2 的图象的对称轴为( ) A. 直线x=−4 B. 直线x=4 C. 直线x=1 D. 直线x=−1 12.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 13.已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的两个根分别为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则下列结论正确的是( ) A.x3＜x1＜x2＜x4 B.x1＜x3＜x4＜x2 C.x1＜x2＜x3＜x4 D.x3＜x4＜x1＜x2 14.如图，以(1，－3)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于A点，则ax2＋bx＋c＝0的正数解的取值范围是( ) A.2＜x＜3 B.3＜x＜4 C.4＜x＜5 D.5＜x＜6 15.设二次函数y1＝ax2＋bx＋c，y2＝ax2＋bx＋c＋1，函数y1，y2的图象与x轴的两个交点之间的距离分别为m，n.已知函数y1的最小值是－2，则m　 　n.(填“＞”“＝”或“＜”) 16.抛物线y＝ax2－2x＋3的对称轴为直线x＝1，抛物线y＝ax2－2x＋3＋m在－2＜x＜3内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是　 . 17.已知二次函数y＝x2－(m－2)x＋m－3(m是常数). (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值. C组 综合练 18.李同学在探究函数y=−|−x2+x+5| 的性质时，作出了如图所示的图象，请根据图象判断，当方程−|−x2+x+5|=k 有两个实数根时，常数k 满足的条件是( ) A. k=0 B. k<0 C. k>− D. k<−或k=0 19.已知抛物线C：y=ax2−6ax+5a(a为常数，a≠0)． （1）求证：不论a为何值，抛物线C与x 轴总有两个不同的公共点； （2）设抛物线C交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点D，若△ABD的面积为20，求a 的值； （3）设点E(2，4)，F(3，4)，若抛物线C与线段EF 只有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围． 参考答案 A组 基础练 1.B 2.C 3.D 4.D 5.A 6.A 7.x＝－ 8.x＝2 9.a＜0或a＞8 10.解：（1）∵ 二次函数的图象过点(−3，0)和(1，0) ， ∴ 该二次函数的解析式为y=a(x+3)(x−1) . 将(0，−3)代入，得−3=a(0+3)(0−1)，解得a=1 ， ∴ 二次函数的解析式为y=(x+3)(x−1)=x2+2x−3 . （2）−4≤y<0 . （3）n≤−1 . B组 提升练 11.B 12.C 13.B 14.C 15.＞ 16.m＝－2或－11＜m≤－6 17.解：(1)由题意得Δ＝[－(m－2)]2－4(m－3)＝m2－4m＋4－4m＋12＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点. (2)设抛物线与x轴的交点分别为(a，0)，(b，0). 由题意得|a－b|＝4，a＋b＝m－2，ab＝m－3， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝16， ∴(m－2)2－4(m－3)＝16，解得m＝0或m＝8. C组 综合练 18.D 19.（1）证明：由题意得，对于方程ax2−6ax+5a=0(a≠0) ， Δ=(−6a)2−4a×5a=16a2>0 ， ∴ 不论a为何值，抛物线C与x 轴总有两个不同的公共点. （2）解：对于y=ax2−6ax+5a， 令y=0，得ax2−6ax+5a=0，解得x=1或x=5. 令x=0，得y=5a，∴点A，B，D的坐标分别为(1，0)，(5，0)，(0，5a) . ∴AB=4.∴△ABD的面积为AB×|yD|=×4×5|a|=20，解得a=±2 . （3）解：a的取值范围为−≤a≤−1 . www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $