第二十六章 二次函数章末复习·抛物线与直线：交点与判别式 专项练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学（人教版）第二十六章 二次函数章末复习 抛物线与直线：交点与判别式 一、判别式与公共点个数的基础判定 1．已知二次函数 . （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）判断该函数图象与 轴的公共点个数，并说明理由. 2．已知抛物线 与 轴只有一个公共点. （1）求 的值； （2）求这个公共点的坐标. 3．已知抛物线 （ 为常数）. （1）若该抛物线与 轴有两个公共点，求 的取值范围； （2）若该抛物线与 轴只有一个公共点，求 的值及这个公共点的坐标； （3）若该抛物线与 轴没有公共点，求 的取值范围. （华东师大版九年级下册第26章“二次函数”26.2 二次函数的图象与性质（教材改编）　 4．已知二次函数 . （1）求该函数图象与 轴的交点 、 的坐标（点 在点 左侧）； （2）若直线 与该函数图象只有一个公共点，求 的值及这个公共点的坐标； （3）若直线 与该函数图象有两个公共点，求 的取值范围. （人教版九年级上册第22章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程（教材改编）　） 5．已知抛物线 （ 为常数）. （1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个公共点； （2）若该抛物线与直线 只有一个公共点，求 的值. 6．已知二次函数 （ 为常数）. （1）若该函数的图象与 轴有两个公共点，求 的取值范围； （2）若该函数的图象与 轴只有一个公共点，求 的值； （3）若该函数的图象与 轴没有公共点，求 的取值范围. 二、含参讨论、区间限制与图象变换 7．已知抛物线 ，直线 （ 为常数）. （1）若直线与抛物线有两个公共点，求 的取值范围； （2）若直线与抛物线只有一个公共点，求 的值及这个公共点的坐标. 8．已知直线 （ 为常数）与抛物线 交于点 、 两点，且线段 的长为 . （1）求 的值； （2）求线段 的中点坐标. 9．如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 左侧），与 轴交于点 .直线 ：（ 为常数）. （1）求点 、、 的坐标； （2）若直线 与抛物线有两个公共点，求 的取值范围； （3）若直线 与抛物线只有一个公共点，求 的值及这个公共点的坐标. （第 9 题） 10．如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 左侧）.直线 （ 为常数）与抛物线在 的部分恰好有一个公共点. （1）求点 、 的坐标及抛物线的顶点 的坐标； （2）求抛物线在 上对应的 的取值范围； （3）求 的取值范围. 11．如图，抛物线 . （1）求该抛物线的顶点坐标，以及它与 轴、 轴的交点坐标； （2）将该抛物线向上平移 （）个单位，若平移后的抛物线与 轴只有一个公共点，求 的值； （3）在（2）的条件下，判断平移后的抛物线与直线 的公共点个数，并说明理由. 12．如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 左侧），与 轴交于点 .直线 （ 为常数）与抛物线交于点 和另一点 . （1）求点 、、 的坐标； （2）求点 的坐标（用含 的式子表示）； （3）若点 在第一象限，且 的面积为 ，求 的值. 13．已知抛物线 （ 为常数）. （1）若该抛物线与 轴有两个公共点，求 的取值范围； （2）设该抛物线与 轴的两个公共点分别为 、，若 ，求 的值； （3）若该抛物线与直线 只有一个公共点，求 的值. 14．如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 左侧），顶点为 . （1）求点 、、 的坐标； （2）将抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象 ，求翻折后所得抛物线的表达式及其顶点坐标； （3）若直线 （ 为常数）与图象 恰有三个公共点，求 的值. 15．定义：若抛物线 与直线 的公共点个数恰为 ，则称这条直线是该抛物线的一条“双交点直线”. 已知抛物线 . （1）判断直线 是否为该抛物线的一条双交点直线，并说明理由； （2）若直线 （ 为常数）是该抛物线的一条双交点直线，求 的取值范围； （3）若直线 与该抛物线在 的部分恰好有一个公共点，求 的取值范围. 16．如图，抛物线 与 轴交于点 、（点 在点 左侧），与 轴交于点 .直线 （ 为常数）与抛物线交于点 和另一点 . （1）求点 、、 的坐标及直线 的表达式； （2）若 的面积为 ，求 的值. 17．已知抛物线 经过点 、. （1）求 、 的值； （2）直线 （ 为常数）与该抛物线交于点 、，若线段 的长为 ，求 的值； （3）若直线 （ 为常数）与该抛物线有两个公共点，且这两个公共点的横坐标之差的绝对值为 ，求 的值. 18．已知抛物线 （）与 轴交于点 、，且该抛物线与直线 只有一个公共点. （1）用含 的式子表示 、； （2）求 的值及这个公共点的坐标. 参考答案 1．解：（1）因为 ，所以该函数图象的顶点坐标为 . （2）令 ，得 ，即 ， ， 所以该方程有两个不相等的实数根，即函数图象与 轴有 个公共点. 【知识点】配方求顶点与判别式判定公共点个数 2．解：（1）令 ，得 . 因为抛物线与 轴只有一个公共点，所以 ， 解得 或 . （2）当 时，方程为 ，解得 ，公共点为 ； 当 时，方程为 ，解得 ，公共点为 . 【知识点】由公共点个数反求系数 3．解：令 ，得一元二次方程 ，其根的判别式为 . （1）抛物线与 轴有两个公共点，等价于方程有两个不相等的实数根，所以 ，即 ，解得 . （2）抛物线与 轴只有一个公共点，等价于方程有两个相等的实数根，所以 ，即 ，解得 . 此时方程为 ，解得 ，所以公共点为 . （3）抛物线与 轴没有公共点，等价于方程没有实数根，所以 ，即 ，解得 . 【知识点】二次函数图象与 轴交点个数与判别式的关系 4．解：（1）令 ，得 ，解得 ，，所以 ，. （2）因为 ，所以抛物线的顶点为 ，开口向上. 直线 与抛物线只有一个公共点，此时该直线与抛物线相切于顶点，所以 ，公共点为 . （3）由图象可知，直线 位于顶点上方时与抛物线有两个公共点，所以 . 【知识点】顶点与水平直线的公共点个数 5．解：（1）证明：令 ，得 ， ， 所以该方程总有两个不相等的实数根，即无论 取何值，抛物线与 轴总有两个公共点. （2）联立 与 ，得 ， 整理得 . 因为抛物线与直线只有一个公共点，所以 ， 解得 . 【知识点】含参抛物线与定直线的公共点个数 6．解：令 ，得 ， . （1）有两个公共点，则 ，即 ，也就是 ，解得 . （2）只有一个公共点，则 ，即 ，解得 或 . （3）没有公共点，则 ，即 ，也就是 ，解得 或 . 【知识点】含参二次函数与 轴公共点个数的分类讨论 7．解：联立 与 ，得 ，整理得 . （1）直线与抛物线有两个公共点，则 ，解得 . （2）直线与抛物线只有一个公共点，则 ，即 ，解得 . 此时方程为 ，解得 ， 代入 得 ，所以公共点为 . 【知识点】一次函数与二次函数的公共点个数 8．解：（1）联立 与 ，得 . 设 、，则 ，. . 因为直线 的斜率为 ，所以 . 由 得 ，即 ，解得 . （2）由（1）得 ，所以线段 中点的横坐标为 . 因为点 、 都在直线 上，所以中点的纵坐标为 . 所以线段 的中点坐标为 . 【知识点】交点间距离与根与系数关系 9．解：（1）令 ，得 ，解得 ，，所以 ，； 令 ，得 ，所以 . （2）联立 与 ，得 ，整理得 . 因为直线 与抛物线有两个公共点，所以 ，解得 . （3）直线 与抛物线只有一个公共点，则 ，即 ，解得 . 此时方程为 ，解得 ， 代入 得 ， 所以公共点为 . 【知识点】动直线与定抛物线的公共点个数 10．解：（1）令 ，得 ，解得 ，，所以 ，. 因为 ，所以顶点 的坐标为 . （2）抛物线开口向上，对称轴为直线 ，且 在区间 内. 当 时， 取最小值 ；当 时，；当 时，. 所以当 时， 的取值范围是 . （3）把直线 与抛物线在 上的公共点问题，转化为水平直线与该段图象的交点问题. ①当直线经过顶点时，即 ，此时恰好有一个公共点 ； ②当直线位于顶点上方且在点 的上方时，直线与该段图象只有一个公共点， 即 （其中 时公共点为 ）. 综上所述， 的取值为 或 . 【知识点】区间限制下水平直线与抛物线的公共点个数 11．解：（1）因为 ，所以抛物线的顶点为 . 令 ，得 ，解得 ，，所以与 轴交于 、； 令 ，得 ，所以与 轴交于 . （2）将抛物线向上平移 个单位后，表达式为 . 因为平移后的抛物线与 轴只有一个公共点，所以其顶点在 轴上，即 ，解得 . （3）由（2）得平移后的抛物线为 . 联立 与 ，得 ，整理得 ， ， 所以该方程有两个不相等的实数根，即平移后的抛物线与直线 有两个公共点. 【知识点】图象平移后与坐标轴、直线的公共点个数 12．解：（1）令 ，得 ，即 ，解得 ，，所以 ，；令 ，得 ，所以 . （2）联立 与 ，得 ， 整理得 ，即 ，解得 （即点 ）或 . 当 时，，所以 . （3）由（1）得直线 的表达式为 ，即 ，. 点 到直线 的距离为 . 所以 . 由 得 . ①当 时，，解得 或 ； ②当 时，，解得 或 . 因为点 在第一象限，所以 且 ，即 . 检验： 时 ，符合； 时 ，不在第一象限，舍去； 时，，符合； 时，，不在第一象限，舍去. 所以 或 . 【知识点】直线与抛物线的交点及三角形面积 13．解：（1）令 ，得 ， . 因为抛物线与 轴有两个公共点，所以 ，即 ，解得 . （2）设 、，则 . 由 得 ，解得 . （3）联立 与 ，得 ， . 因为只有一个公共点，所以 ，即 ，解得 . 【知识点】含参抛物线交点个数与交点间距离 14．解：（1）令 ，得 ，解得 ，，所以 ，. 由 得顶点 . （2）抛物线在 轴下方的部分是 对应的部分，把这段图象沿 轴翻折， 横坐标不变、纵坐标变为原来的相反数，所以翻折后的表达式为 ， 即 ，其顶点坐标为 . （3）图象 由三部分组成： 与 时的两段抛物线，以及 时的翻折图象. 因为翻折部分的最高点为 ，而 与 的两段图象上的点满足 ， 所以当 时，直线 与两段抛物线各有一个公共点、与翻折部分有两个公共点，共四个公共点； 当 时，直线 与两段抛物线各有一个公共点、与翻折部分只有一个公共点（顶点），共三个公共点； 当 时，直线 与翻折部分没有公共点，只有两个公共点. 综上所述，. 【知识点】图象翻折后的公共点个数 15．解：（1）联立 与 ，得 ，整理得 ， ， 所以该方程有两个不相等的实数根，即直线 与该抛物线有两个公共点，它是该抛物线的一条双交点直线. （2）联立 与 ，得 . 因为直线是该抛物线的一条双交点直线，所以 ，解得 . （3）设 ，该抛物线开口向上，对称轴为直线 . 因为 ，所以 在 上随 的增大而增大. 若直线与该段图象恰好有一个公共点，则 且 ， 即 且 ， 解得 且 ，即 . 检验：当 时，，公共点为 ，只有一个； 当 时，，公共点为 ，只有一个. 所以 的取值范围是 . 【知识点】新定义理解与区间内公共点个数的综合 16．解：（1）令 ，得 ，解得 ，，所以 ，； 令 ，得 ，所以 . 设直线 的表达式为 ，把 、 代入，解得 ，， 所以直线 的表达式为 . （2）联立 与 ，得 ， 整理得 ，解得 （即点 ）或 ， 所以 . 直线 即 ，点 到直线 的距离为 . 又 ，所以 . 由 得 . ①当 时，，，无实数根； ②当 时，，解得 或 . 所以 或 . 【知识点】直线与抛物线的交点及三角形面积 17．解：（1）把 、 代入 ，得 ，两式相减得 ，解得 ， 代入得 ，解得 . 所以 ，，抛物线的表达式为 . （2）设 、，由 得 ， 所以 ，. . 由 得 ，即 ，解得 . （3）设两个公共点的横坐标为 、，由 得 ， 所以 ，. 由 得 ，即 ， 所以 ，解得 . 【知识点】交点与一元二次方程根与系数关系的综合 18．解：（1）把 、 代入 ，得 ，两式相减得 ，所以 ； 代入 得 ，所以 . （2）由（1）得抛物线的表达式为 . 联立 与 ，得 . 因为抛物线与直线只有一个公共点，所以 ， 解得 . 此时方程为 ，即 ，解得 ， 代入 得 ，所以公共点为 . 【知识点】由交点个数逆向确定系数 学科网（北京）股份有限公司 $