天津市实验中学2026-2027学年高三上学期第8周套练数学试题

2027届高三（上）第8周套练——数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数，则其图象大致为 () A． B．C． D． 4．设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 6．已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则 （   ） A．2025 B． C．4050 D． 9．已知函数.给出下列结论： ①是周期函数；   ② 函数图像的对称中心； ③ 若，则； ④不等式的解集为. 则正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．已知是虚数单位，复数，满足，，则=______． 11．已知，，则=______． 12．已知向量，．若与的夹角是钝角，实数k的取值范围___． 13．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______. 14．在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____. 15．若平面直角坐标系内两点，满足条件：①，都在函数的图象上；②，关于原点对称，则称点对是函数的图象上的一个“友好点对”点对与点对看作同一个“镜像点对”已知函数（且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数的取值范围是______． 三、解答题 16．（14分）已知函数. (1)若，求函数的值域； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； (3)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围. 17．（15分）如图，中，是的中点，与交于点.    (1)用表示； (2)设，求的值； (3)若，求的最大值. 18．（15分）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若，求． 19．（15分）已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 20．（16分）已知函数，． (1)若在定义域上单调递增，求m的取值范围； (2)若有两个极值点a，b，证明：； (3)若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 天津市实验中学 TIANJIN EXPERIMENTAL HIGH SCHOOL 试卷第4页（共6页） 2027届高三（上） 第8周套练——数学学科 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高三上第8周套练数学学科》参考答案 1．C 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据指数不等式求出集合，即可求出，从而判断其子集个数. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则的子集有个. 故选：C 2．B 【详解】当时，无意义，所以推不出， 当时，，所以， 即能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 3．D 4．B 【详解】，故， ， ，即， ． 5．D 【分析】应用“1”的代换化将目标式化为，再由基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题意得， 由基本不等式得， 当且仅当，即，联立可得时取等号， 故的最小值为5． 故选：D 6．D 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，则， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 7．C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 8．A 【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为奇函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果. 【详解】因为①，所以， 所以，所以的周期为4， 因为为奇函数，所以② 令，由②得，所以， ①中令，得，所以， 令，得，所以， 综上，， ，， 所以 ， 由函数的周期性得，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现为常数，据此4个相邻项和为一组，利用周期即可得解. 9．D 【分析】由，可知是周期为的函数， 当时，；当时，，画出在一个周期内的函数图象，通过图象去研究问题. 【详解】 是周期为的函数，①正确； 当时，， 当时，， 可以画出在一个周期内的函数图象，如下 由图可知：函数的对称中心为，②正确； 取，满足，但此时不成立，③错误； 不等式等价于： 由图可知： 解得，④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题. 10． 11． 12． 13． 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 14． 16 /0.25 【分析】根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线， 又，可得， 因此，且，， 所以 ； 当且仅当时，等号成立，即的最小值为16； 取内切圆的圆心为，连接，如图所示： 易知弦的长度最大时，为直径，此时； 又 ； 显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值， 即. 15． 【分析】根据原点对称的性质，求出当时函数关于原点对称的函数，条件转化函数，与，，只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可． 【详解】解：当时，函数关于原点对称的函数为，即，， 若此函数的“友好点对”有且只有一对， 则等价为函数，与，，只有一个交点， 作出两个函数的图象如图： 若，则，与，，只有一个交点，满足条件， 当时，， 若，要使两个函数只有一个交点， 则满足（4）， 即得，得或， ，， 综上或， 即实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，转化为对称函数的相交问题是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式化简，再求出的范围，结合正弦函数的性质可得； （2）得出新的函数解析式，再根据以及的取值范围可得； （3）得出解析式，求出的范围，结合正弦函数的图象可得. 【详解】（1）函数 ， 若，则，则， 则， 故函数的值域为； （2）根据题意可得，新函数的解析式为， 其图象关于原点对称，则，得， 即， 因，则； （3）， ，则， 因函数在区间上有且仅有两个零点， 则结合正弦函数图象可得，，得， 则m的取值范围为. 17．(1) (2) (3). 【分析】（1）根据题意，由平面向量的减法运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由三点共线定理，即可得到结果； （3）根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）. （2）因为三点共线，所以，解得. （3），由（1）可知， 所以，得， 则， 所以 所以的最大值为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可. （2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可. （3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 可得， 得到，即， 显然，则， 又，可得. （2）， 由余弦定理可得，整理可得， 又，解得， . （3）由正弦定理得，则， ，即，则，故为锐角， ， ，， . 19．(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得，求得通项；进而求得，再根据等比数列的基本量运算求得答案； （2）由（1）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 故； 所以，， 因为，所以数列为等比数列，设公比为， 则，得，又，所以， 所以. （2）由（1），可得， 设的前项和中，偶数项的和为，奇数项的和为， 所以，， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 所以. （3）， 截至共有项， 当时，， . 20．(1) (2)证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． (3)设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【详解】（1）的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． （2）略 （3）略 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 答案第4页（共8页） 答案第5页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $