精品解析：广东东莞市第八高级中学2026-2027学年高二上学期段考(一)数学试卷

2026-2027学年第一学期段考一高二数学试卷 命题人：黄伟锡 审题人：王海燕 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.） 1. 已知，，如果，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算可得. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 3. 圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆的方程为，利用待定系数法即可求解. 【详解】设圆的方程为， 则， 所以圆的方程是， 故选：C. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 5. 在棱长为1的正方体中，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求数量积即可． 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， ， ． 故选：A． 6. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 7. 如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，即可证明,，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到直线的距离. 【详解】取的中点，连接， 因为、均为等腰直角三角形，所以 , 由二面角是直二面角，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 如图，以为原点, 所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所 示的空间直角坐标系, 则 , 所以 , 所以 , 所以, , 设直线的单位方向向量为，则, 所以点 到直线的距离为 . 故选：B 8. 已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，因为是空间的一个基底，所以方程无解，这表明三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 10. 下列四个命题中正确的有（    ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，由两直线垂直求得可判断. 【详解】对于A，过点在轴和轴上的截距绝对值相等的直线还有过原点的直线，其方程为，A错误； B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确； 对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，由直线与直线互相垂直， 可得：解得：或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，正确， 故选：BD 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项先找到线线平行，从而得到线面平行；B选项先找出直线与平面平行，再确定点；C选项找出异面直线公垂线，再求公垂线长度；D选项先找出二面角的平面角，再用余弦定理计算余弦值. 【详解】对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理可得， 取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得， 因为， ，所以， ， 故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：如图4，设，， 则，作，垂足为T，连接ET， ，，可得， ，，， 故，当且仅当时“＝”成立， 即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值． 取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为， 因为E，F分别为BD，中点，所以， 又R是EF中点，所以, 则为二面角的平面角， 而，得， 即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【解析】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 14. 在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由数量积可得，求出的最大值和最小值，即可得出答案. 【详解】取的中点为，连接，则， 所以 ， 正方体内切球的半径为，即， 设正方体内切球的球心为，面的中心为，连接， 由正方体的性质知：面，所以面， 所以，所以，所以， 所以，， 所以的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，三点. （1）若直线的倾斜角为135°，求的值. （2）是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，使得三点共线， 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案； （2）根据三点共线时，列方程求解即可. 【小问1详解】 解：因为，，直线的倾斜角为135° 所以，，解得 故的值为 【小问2详解】 解：因为，，三点. 所以，当三点共线时，，即，解得 所以，存在，使得三点共线， 16. 已知直线l经过点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 直线整理可得，斜率， 由题两直线垂直，故直线l的斜率为， 直线l过点，故由点斜式可知直线为， 整理得的直线方程为：. 【小问2详解】 当x轴上与y轴上的截距都为0时，即直线过原点时，可设直线方程为， 将点代入可得，直线方程为； 当x轴上与y轴上的截距不为0时，即直线不过原点时，设直线方程为， 由题意得，解得，，直线方程为； 综上所述，所求直线l方程为或. 17. 如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. （1）用向量表示； （2）求； （3）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 【小问3详解】 因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）如图所示，取中点，连结，．由题意可知，，， 且，．故且，故四边形为平行四边形． ． 平面，平面，平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）在平面内找到一条平行于的直线，再运用线面平行的判定定理； （2）运用几何法或建立空间直角坐标系将四棱锥的高即的长度求出，再运用四棱锥的体积公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （法一）取中点O，连结，，，，， ， 由题意可知，平面，平面， 因此，而，，平面， 平面． 故平面，则为直线与平面所成角， 即，故，而，所以． 四棱锥的体积； （法二）由题意可知，平面且， 以点A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 易知平面的法向量为，，设直线与平面所成角为θ， 则，解得，所以． 19. 如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求平面和平面所成角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期段考一高二数学试卷 命题人：黄伟锡 审题人：王海燕 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.） 1. 已知，，如果，则（ ） A. 5 B. C. D. 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 在棱长为1的正方体中，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，把边长为4的正方形纸片沿着对角线折成直二面角，分别为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中正确的有（    ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 14. 在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，三点. （1）若直线的倾斜角为135°，求的值. （2）是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 16. 已知直线l经过点. （1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程； （2）设直线l在x轴上的截距为，y轴上的截距为，若，求直线l的方程； 17. 如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. （1）用向量表示； （2）求； （3）求向量与夹角的余弦值. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 19. 如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． （1）证明：． （2）求平面和平面所成角的余弦值． （3）试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $