精品解析：广东深圳实验学校高中部2026-2027学年度高二第一学期第一阶段数学考试试卷

深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级，姓名和学号填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，直线的倾斜角为，所以该直线的斜率， 将直线方程 化为斜截式方程，因为直线有斜率，所以 ， 移项并化简得，所以直线的斜率， 则有，解得. 2. 设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 3. 直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线与的距离. 4. 若直线与圆相切，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】圆的方程为，因此圆心坐标为，半径. 将直线化为一般式：. 点到直线的距离公式：点到直线的距离为. 将圆心代入得：. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即 ，两边平方去绝对值得：， 展开得，化简得，解得. 5. 在棱长为1的正方体中，到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法求解. 【详解】如图， 连结，因为平分，所以点与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得. 6. 有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为，短轴长为．现要在该溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，则此时矩形的周长为（ ） A. 160m B. 120m C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和矩形的几何性质，确定内接矩形的顶点位置，再利用基本不等式求最大面积及对应的周长． 【详解】以椭圆中心为原点，长、短轴所在直线分别为轴、轴，椭圆方程为． 先说明内接矩形的边与坐标轴平行． 设其对角线交点为，两条对角线的端点分别为、． 将各端点代入椭圆方程并作差，得，． 由于两条对角线不共线，故． 又矩形的对角线等长，即； 椭圆方程给出． 联立可得，． 因两条对角线不共线，矩形的四个顶点为，故矩形的边与坐标轴平行． 如图，设第一象限的顶点为，则，． 由椭圆方程得． 根据基本不等式， 当且仅当时，等号成立． 因此面积最大的矩形的边长分别为、，周长为． 7. 设圆：与圆：交于，两点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由圆：，圆：，即， 将两圆方程相减，整理得直线的方程：， 而圆：的圆心为，半径为， 显然直线经过圆的圆心，则. 8. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程得到，，以及的值，分类讨论点，异侧和同侧两种情况，当点，异侧时，无解，舍去；当点，同侧时，根据椭圆的定义以及等边的边的关系得到点，，三点共线，从而分析出，在中运用余弦定理，最后代入中计算即可. 【详解】由椭圆：，可得，， ，， 所以焦点，，， 因为点在上，则由椭圆的定义可知，， 以为圆心，作一个半径为6的圆，则点在此圆上， 当点，异侧时，如图所示， 设，则， 在等边中，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，，故， 所以点，异侧舍去； 当点，同侧时，如图所示， 在等边中，， 则，又因为， 所以，即点，，三点共线， 故， 设，则， 在中，由余弦定理得，， 即， 整理得，，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：，：，其中，则（ ） A. 与的长轴长相等 B. 的焦距小于的焦距 C. 与有公共点 D. 与的离心率相等 【答案】BD 【解析】 【详解】将椭圆整理为标准形式得.由，得，因此焦点都在轴上. 选项A：的长半轴，长轴长为；的长半轴，长轴长为，二者长轴长不相等，A错误； 选项B：椭圆焦距满足，的半焦距，焦距为；​的半焦距，焦距，即的焦距小于​的焦距，B正确； 选项C：对任意上的点，都有，不满足的方程，两个椭圆没有公共点，C错误； 选项D：的离心率​；​的离心率，二者离心率相等，D正确. 10. 设，直线：，圆：，则（ ） A. 与圆相切 B. 经过定点 C. 存在唯一的使与相切 D. 存在无穷多个使与相交 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，找出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线的距离，即可判断是否相切；对于B选项，分别选取，，时的三条直线，由三条直线的交点判断直线是否过定点；对于C选项，找出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，根据相切列出关于的方程，求解即可；对于D选项，根据相交列出关于的不等式，计算即可. 【详解】对于A选项，圆，圆心，半径， 圆心到直线：的距离为， 所以与圆相切，故A正确； 对于B选项，当时，直线为； 当时，直线为， 与的交点为， 当时，直线为， 与的交点为， 所以不会经过定点，故B错误； 对于C选项，圆，圆心，半径， 圆心到直线：的距离为， 若与相切，则，即， 又因为，解得， 则存在唯一的使与相切，故C正确； 对于D选项，若与相交，则，即，则， 又因为，则，所以无解， 即不存在使与相交，故D错误. 11. 对于平面点集，若中至少含有2个元素，则称中任意两点距离的最大值为的直径，记为．已知平面点集．对任意，定义，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 中恰有2个元素 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得为正方形（作出图形），的圆心在上，结合正方形与圆的性质逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，由方程，可知点集为正方形（如图所示）， 由正方形的性质可得中任意两点距离的最大值为正方形的对角线. 由方程，可知是以为圆心，为半径的圆，且圆心在上. 由圆的性质可知中任意两点距离的最大值为圆的直径. 所以，故A正确； 对于B，是正方形和圆上的所有点的点集， 由对称性可知圆心在正方形任意一边上结论相同，不妨设圆心在边上， 由点集可知，正方形上的点到圆心的距离的最大值的最小值在为中点时取得， 此时，即的最小值为，故B错误； 对于C，因为正方形的边长为，所以圆心在在正方形上移动时， 结合正方形的性质可知圆只与正方形两边各有一个公共点， 所以中恰有2个元素，故C正确； 对于D，由正方形的性质，不妨设圆心在上，且圆与和分别相交于点， 设，，，所以， 所以， 所以，所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过，，三点的圆的半径为________． 【答案】## 【解析】 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 则圆的方程为，即， 所以过，，三点的圆的半径为. 13. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】“截距互为相反数”需分截距不为和截距为两种情况讨论，截距不为时，设截距式方程代入点求解；截距为时，直线过原点，设点斜式方程代入点求解即可. 【详解】由题意，直线在两坐标轴上的截距互为相反数，分以下两种情况讨论： ①当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为（）， 由直线的截距式方程可得的方程为：， 因为直线过点，代入得，即，解得， 此时直线方程为，即； ②当直线在两坐标轴上的截距均为时， 此时直线经过坐标原点，设其方程为， 因为直线过点，代入得，解得， 此时直线方程为； 综上所述，直线的方程为或. 14. 已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意得在椭圆上，设，根据椭圆定义得到， 则，再结合三角不等式求的最大值，进一步得到的最大值. 【详解】曲线变形为，为椭圆的一部分，且为椭圆的下焦点， 设为椭圆的上焦点，由椭圆定义得，所以； 所以， 因为（当且仅当共线时取等）， 由，得，直线， 当时，直线为 联立，解得或； 所以当时，取最大值； 到直线的距离， 所以此时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质：先根据长轴长求出长半轴，再由离心率公式算出半焦距，最后依靠椭圆中满足的平方关系求出，把、代入椭圆标准方程，就能写出椭圆方程； （2）先设出椭圆上点的坐标，利用原点对称写出点的坐标；借助斜率公式表示两条直线的斜率并相乘，再利用点在椭圆上这个条件，得到横纵坐标的关系式，将整体代入斜率乘积的式子，消去变量，化简后得到斜率之积的定值. 【小问1详解】 由题意得：，解得， ∵，∴， 由，得：， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 ∵椭圆的左顶点， 设，由、关于原点对称得， ∴， ， 在椭圆上，∴，即， 代入得：， 直线与直线的斜率之积为 . 16. 如图，是三棱锥的高，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）由已知得底面，而底面，所以． 由，得， 代入已知条件得． 因为，所以． 而，平面，，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由是三棱锥的高得底面，故；利用向量关系或边长计算证得，结合，根据线面垂直判定定理可证平面； （2）以为原点，结合，，两两垂直建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为底面，底面，所以， 故，，两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，是线段的中点， 设，代入中点公式，解得，，故. 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令得． 设平面的法向量为，则，即， 令得． 记平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 设圆：与轴交于，两点，其中在的左侧．是上异于，两点的动点，点和满足，． （1）求中点的轨迹方程； （2）若直线与(1)中的轨迹交于，两点，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】(1)由向量条件得坐标及参数关系式，代入圆方程，结合求得轨迹； (2)求出直线的方程，证明其过定点，再利用圆的弦长公式，结合定点到轨迹圆圆心的距离，确定弦长的最值，得到取值范围. 【小问1详解】 由题设得，． 设，则，． 由得，由得． 所以中点的坐标为，即． 记，，则，． 因为，所以． 因此，中点的轨迹方程为，. 【小问2详解】 直线的方程为，化简得． 当时，上述方程始终成立，所以直线过定点． 因为(1)中的轨迹是圆，不含点和，轴为过点的轨迹圆的直径，所以； 又因为点到圆心的距离为，所以． 综上，的取值范围是. 18. 设，圆：． （1）判断直线与圆的位置关系，并证明； （2）当变化时，求圆过的所有定点； （3）证明：________，使得过点可作2条圆与的公切线．在①②中仅选择一个填入横线处，将问题补充完整，并证明． ①对任意，存在 ②对任意，存在 【答案】（1）相切，证明如下： 由已知得，圆的圆心为，半径为， 因为到直线的距离为， 故圆与直线相切； （2）圆仅过定点 （3）由题意，且半径为，且半径为， 圆心距为，半径之和为， 结合（2）知，两圆外切于点，即有3条公切线， 结合（1）知，在3条公切线中，一条外公切线为，内公切线为过且垂直于直线的直线， 因为与的交点恒在直线上，而，则， 根据对称性，与另一外公切线的交点与关于点对称，从而恒在直线上， 综上，的方程为，所以，， 选择①：对任意，存在，过点可作两条圆与的公切线，即与． 选择②：对任意，令，则，且， 即方程总有非零实根，故存在，过点可作两条圆与的公切线． 【解析】 【分析】（1）根据已知写出圆的圆心和半径，再判断圆心与直线距离与半径的大小关系，即可证； （2）将圆的方程改写为关于的一元二次方程形式，根据过定点得，即可求； （3）利用两圆的位置关系得到两圆外切于点，有3条公切线，结合（1）（2）结论及对称性确定公切线的交点坐标，进而根据所选条件证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆的方程可化为， 当变化时，圆过定点，则，解得， 所以圆仅过定点； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：的右焦点为F，C上一点满足轴． （1）求C的方程； （2）过F且斜率为k的直线与C交于A，B两点． （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ)若直线，分别与x轴交于点Q，R，证明：的外接圆经过异于P的定点． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ)由圆的几何性质，只需证明的外心在定直线上， 设，，的外心为，记，， 直线的方程为，故，同理， 由得，，解得， 由得，，解得， 由（ⅰ）可得，， 所以， ， 因此，即， 故在定直线上，从而的外接圆始终经过点，其中为关于的对称点， 所以直线的斜率为，且的中点是直线与的交点， 由，得，故， 综上，的外接圆经过异于的定点； 【解析】 【分析】（1）根据已知及椭圆参数关系求出椭圆参数值，即可得； （2）（i）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理且、化简，即可得；（ii）问题化为证明的外心在定直线上，设，，的外心为，记，，利用、得、，结合，从而得到、，进而得到的线性关系式，再联立直线，即可证； 【小问1详解】 记，由轴可知，从而，, 又是椭圆上一点，则，联立解得或（舍去）， 所以，故的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设，，直线的方程为， 由，得， 显然,且，， ，同理， 所以 ； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中部2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的班级，姓名和学号填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 2. 设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 3. 直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆相切，则（ ）. A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正方体中，到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为，短轴长为．现要在该溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，则此时矩形的周长为（ ） A. 160m B. 120m C. D. 7. 设圆：与圆：交于，两点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：，：，其中，则（ ） A. 与的长轴长相等 B. 的焦距小于的焦距 C. 与有公共点 D. 与的离心率相等 10. 设，直线：，圆：，则（ ） A. 与圆相切 B. 经过定点 C. 存在唯一的使与相切 D. 存在无穷多个使与相交 11. 对于平面点集，若中至少含有2个元素，则称中任意两点距离的最大值为的直径，记为．已知平面点集．对任意，定义，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 中恰有2个元素 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过，，三点的圆的半径为________． 13. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则的方程为______． 14. 已知，，动点在曲线上．过作直线的垂线，垂足为，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 16. 如图，是三棱锥的高，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 设圆：与轴交于，两点，其中在的左侧．是上异于，两点的动点，点和满足，． （1）求中点的轨迹方程； （2）若直线与(1)中的轨迹交于，两点，求的取值范围． 18. 设，圆：． （1）判断直线与圆的位置关系，并证明； （2）当变化时，求圆过的所有定点； （3）证明：________，使得过点可作2条圆与的公切线．在①②中仅选择一个填入横线处，将问题补充完整，并证明． ①对任意，存在 ②对任意，存在 19. 已知椭圆：的右焦点为F，C上一点满足轴． （1）求C的方程； （2）过F且斜率为k的直线与C交于A，B两点． （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ)若直线，分别与x轴交于点Q，R，证明：的外接圆经过异于P的定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $