浙江省杭州市余杭高级中学（杭州市临平中学）2026-2027学年高二上学期数学周练7

2028届临平中学高二上学期数学周练7 组卷人：张老师 班级___________姓名___________学号_______ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 3．直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 6．非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其右支上有一点满足，直线交轴于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． 10．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 11．已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（    ） A．的周长为4a B．当直线垂直于轴时， C．若，，则椭圆的离心率为 D．当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数，则______． 13．已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________． 14．已知圆，椭圆，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 16．如图，在中，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值. 17．已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 18．如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点. (1)求证：平面； (2)若，求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的大小为，求线段的长. 19．已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2028届临平中学高二上学期数学周练7》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C C C C D BD ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】设， 是的必要不充分条件， 是的真子集， 又， ， 则，解得． 2．B 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 3．D 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 4．C 【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积． 【详解】正三棱台中，已知，， 所以的面积为，的面积为， 设，分别是，的中心， 设，分别是，的中点， ，，三点共线，，，三点共线， ，， ，， ， 过作，垂足为，则， ， 三棱台的高为， 三棱台的体积为． 故选：C． 5．C 【详解】由二倍角公式可得，且为第二象限角， 所以，，从而， 故，所以，故选C. 6．C 【分析】根据投影向量的定义及垂直关系的向量表示，结合向量数量积运算律求解即可. 【详解】由向量在向量上的投影向量为，可得， 所以，则. 因为，所以， 即. 也即. 因为，所以， 即，解得. 7．C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 8．D 【分析】设，结合图形可得，在中用余弦定理求与的关系，进而在中用余弦定理求离心率. 【详解】由双曲线定义得：， 轴是的中垂线，在轴上，故， 设，由得，则， 因此. ，故， 在中由余弦定理可得：， 代入： ， 故，结合得：. 在中由余弦定理可得：， 代入， 化简得：，将代入可得： ， 化简得：， 故. 9．BD 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对； 对于D，，因为， ，所以，故D正确. 10．ACD 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 11．ABD 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 12． 【详解】法一：． 法二：∵，∴， ∴. 13． 【分析】识别出点A为椭圆右焦点，利用椭圆定义将 转化为 ，由三角形不等式得 ，取等时 共线，结合固定边 得周长最大值. 【详解】由椭圆方程 ，知 ，故 . 焦点为、，可见点 恰为右焦点 . 设 为椭圆上一点，则椭圆定义有， 而 ，所以. 由三角形不等式，对任意点 ，有， 其中 ，，故. 因此， 等号当且仅当 三点共线且 位于 与 之间时取得， 所以的周长且最大值能达到. 则周长的最大值为. 14． 【分析】联立直线与椭圆的方程求出交点坐标，由向量的线性运算求出，最后利用换元法和二次函数的性质进行求解． 【详解】依题意射线的斜率存在，设，设， 得：，∴． 因为，M为OP的中点，所以， 则 =． 设，则． 当且仅当即时，． 15．(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 16．（1）；（2）. 【分析】（1）在中，由正弦定理求得； （2）由三角形面积公式推导出和面积，由面积公式求得，再由余弦定理求得，然后仍然由三角形面积公式求得所要结论． 【详解】解：（1）在三角形中，∵，∴ 在中，由正弦定理得， 又，，∴. （2）∵，∴，， 又，∴， ∵，∴， ∵，， ∴， 在中，由余弦定理得. ∴， ∴. 17．(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 18．(1)证明：取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 又因为，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）取的中点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，由，求得，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，得到，求得平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，可得，又因为，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 因为，可得是的中点，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. （3）解：设，其中， 因为，可得， 所以， 又因为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为直线与平面所成的角为，可得， 即，解得， 又因为，所以. 19．(1) (2)依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 则，，， 而，则， 因此 ， 解得， 所以直线恒过定点. (3). 【分析】（1）利用椭圆四个顶点围成的菱形周长和面积公式，即可求解椭圆参数； （2）利用设直线与椭圆联立方程组，由于转化为坐标关系式为，此时消元，即可求出，从而可得出定点坐标. （3）利用上述消元思想，可得点横坐标为定值，即可表示点纵坐标，同理可求得点横坐标也为定值，即可表示点纵坐标，从而可表示，再求最小值. 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，，所以椭圆的方程为. （2）略 （3） 由（2）知，，得， 直线的方程为，直线的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $