浙江省杭州第二中学2026-2027学年第一学期高二数学周练三

《杭州二中2026学年高二（上）周练三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C C D C CD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程. 【详解】设该直线方程为 由点在该直线上，则，即 即该直线方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题. 2．D 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 3．C 【分析】利用空间向量判断空间线面位置关系即，共线向量定理，面面垂直转为法向量垂直，空间两点间距离公式即可判断正误. 【详解】解：①不存在实数，使得， 与不共线，因此是假命题； ②， ，则，因此是真命题； ③，， 向量是平面的法向量， ， ，解得，， 则，因此是真命题； ④若点，，点是A关于平面的对称点，则， 点与的距离，因此是真命题． 综上可得：真命题个数的是3． 故选：C． 4．B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 5．C 【分析】根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知. 【详解】直线过定点， 对于任意确定的点， 当时，此时， 当不垂直时，过点作，此时，如图所示： 因为，所以，所以， 由上可知：当确定时，即为，且此时； 又因为在如图所示的正方形上运动，所以， 当取最大值时，点与重合，此时， 所以， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解. 6．C 【分析】设的中点为，连接，先证得平面，得到，再结合已知证得平面，进而得到，求得点的轨迹为圆，最后借助圆的知识求最值即可. 【详解】 设的中点为，连接，侧面是边长为4的正三角形，所以又因为侧面⊥底面，侧面底面，平面，所以平面，则，由，可得，又平面，故平面，可得，所以点在平面内的轨迹是以为直径的圆，则点到直线的最短距离是圆心到直线的距离与半径的差，圆心到直线的距离是圆半径为，所以点到直线的最短距离是. 故选：C. 7．D 【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C及边c，再求出的范围即可计算作答. 【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得：， 即有，而，则，又， 由正弦定理、余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 是锐角三角形且，有，，解得， 因此， 由得：，， 所以． 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 8．C 【分析】通过分析角的最大值，结合直线与圆的位置关系建立不等式求解参数范围，首先明确圆与直线的基本信息，然后结合切线性质分析角的最大值，角度条件转化为距离条件，最后结合直线与圆的位置关系（距离公式）得出不等关系. 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           9．CD 10．BCD 【分析】结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式及函数单调性，逐一推导各选项是否能推出三角形两角或两边相等，判断是否为等腰三角形 【详解】选项A：由正弦定理得，即， 可得或，即或， 三角形也可能是直角三角形，不一定为等腰三角形，故A错误； 选项B：将和余弦定理代入条件， 可得，化简得，即， 因为，所以，三角形为等腰三角形，故B正确； 选项C：由正弦定理边化角，得， 由基本不等式，又即， 因此不等式成立当且仅当， 即，得，三角形为等腰三角形，故C正确； 选项D：由正弦定理边化角得，整理得， 构造函数，易知其在、上均单调递增，且两个区间上函数值符号相反， 故仅当成立，即三角形为等腰三角形，故D正确. 11．ACD 【分析】A：若为中点，连接，易证△△，则△、△都为等腰三角形，有，再应用线面垂直的判定、性质证结论； B：由面面垂直的性质知在面上的射影在直线上，找到线面角，再求其大小； C：构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角运算求二面角余弦值； D：应用等体积法求点面距离. 【详解】若为中点，连接， 由，，易得△△，所以， 故△、△都为等腰三角形，则， 又，面，故面，面， 所以，A正确； 因为平面平面，且平面平面， 所以在面上的射影在直线上， 连接，，则面，故为直线与平面所成角的平面角， 面，故，由题意， 故，即， 所以直线与平面所成角为，B错误； 令，由上分析知：，故，， 由上易知：△△，即，且面，故， 构建如下空间直角坐标系，则，，， 所以，，若是面的一个法向量， 则，令，则， 而是面的一个法向量， 所以，故钝二面角的余弦值，C正确； 若，则，，且， 所以，， 又，令到平面的距离为， 所以，可得，D正确. 故选：ACD 12． 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    13． 【分析】首先求出点的轨迹方程，再利用数形结合思想求解. 【详解】因为，所以，化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去两点）， 如图．不妨设，则的最大值在直线与圆相切时取得， 由，解得或， 所以的最大值是． 故答案为：    14．12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 16．(1)直三棱柱，平面，平面，故， 由分别是中点，得， 由，， ，得，由，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，故； (2) 【分析】（1）先证明平面，从而得到； （2）先由三棱锥的体积求出，再建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后代入空间向量夹角公式，取绝对值得到锐二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2），，， 所以， 因为三棱锥的体积为，所以,所以 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，连接 则，，， 所以, 设平面的法向量是， 则,即，令，得， 因为，为中点，所以， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 设平面与平面所成的锐二面角为，则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17．(1) ，交于点O，连接， 在平面内过点A作，垂足为H． 因为，所以垂足H不与点O重合． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 在正方形中，， 又，平面，平面， 所以平面． (2)或． (3) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）以为x轴，为y轴，过点A的平面的垂线为z轴，根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为x轴，为y轴，过点A的平面的垂线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．    不妨设，则，，，． 设，则，． 因为，所以．① 由（1）可知，，所以，即．② 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 因为平面与平面的夹角为， 所以．③ 由①②③，解得，，，或，，， 即或． 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，或． （3）以正方形为底面作正方体， 不妨取，则． 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取． 设直线与平面所成的角为， 则， 平方得， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时可取，符合题意， 故的最大值为． 18．(1)或 (2) 【分析】（1）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在两种情况。斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. （2）设直线的斜率，求出点坐标，根据垂直直线斜率的关系得到直线的斜率，求出点坐标，再求出点坐标，分别表示出​，进而得到的表达式，最后利用基本不等式求其最大值. 【详解】（1）由圆心在轴上，设圆的方程为， 又圆过，则，解得， 所以圆的方程为. 根据题意作图. 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率不存在时，直线与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得，则直线. 综上，直线的方程为或. （2）根据题意作图. 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以.设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，可得，解得或， 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，可得，解得或， 所以点的坐标为. 由题意可知，点， 所以，， 故，又，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 19．(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2026学年高二（上）周练三 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（    ） A．10 B．3 C． D． 3．给出下列命题，其中是真命题个数的是（    ） ①若直线的方向向量，平面的法向量，则； ②若平面，的法向量分别为，，则； ③若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则； ④若点，，点是A关于平面的对称点，则点与的距离为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，底面为正方形，侧面⊥底面，为底面内的一个动点，且满足，则点到直线的最短距离为 A． B． C． D． 7．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列说法正确的是（   ） A．已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B．直线与圆相离 C．，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或 10．已知的面积为，角所对的边分别为，下列条件中，能使为等腰三角形的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在三棱锥中，平面平面，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与平面所成的角为 C．二面角的余弦值为 D．若，则到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 13．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，且满足，则的最大值是___________． 14．已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． （1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； （2）求弦的中点M的轨迹方程． 16．如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且． (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为．求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且．    (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求的值； (3)以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18．已知圆过，且圆心在轴上． （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于为坐标原点，直线分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值． 19．已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $