精品解析：贵州贵阳市观山湖区普瑞学校2026-2027学年度第一学期第一次学情自测九年级数学试题

2026-2027学年度第一学期贵阳市观山湖区普瑞学校第一次月考 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．） 1. 下列整数中，小于﹣3的整数是【 】 A. ﹣4 B. ﹣2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜2＜3，∴整数﹣4、﹣2、2、3中，小于﹣3的整数是﹣4．故选A． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排除含两个未知数的选项，再排除未知数最高次数为1的选项，即可得到答案． 【详解】解： A选项中含两个未知数，不是一元二次方程． B选项中整理为，只含一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程． C、D选项中的方程整理后未知数最高次数均为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 3. 如图，在矩形中，，，，则对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，在中，已知直角边、，利用勾股定理求出斜边的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ． 4. 关于一元二次方程的值，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，进行解答，即可． 【详解】解：将移项，得， ∴该方程的一次项系数． 5. 菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：菱形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，故A不符合题意． 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，故B、C不符合题意． 对角线相等不是菱形的必然性质，仅当菱形为正方形时具备该性质，故D符合题意． 6. 小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（ ） x 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程解的定义，通过的正负变化确定解的区间． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 7. 如图，在中，，，为的中点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得，则． 【详解】解：在中，点为斜边的中点， ∴， ∴． 8. 普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平移法，将两条小路分别平移到矩形空地的边缘，剩余草坪可拼成一个新矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：利用平移法，将横向小路向下平移，斜向小路向左平移 ， 剩余草坪部分可拼成一个长为，宽为的矩形， 根据草坪面积为，得方程：  ． 9. 如图，是正方形对角线上的一点，连接，．，，垂足分别为，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，推出，根据矩形的判定和性质，勾股定理求出，即可得到的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线 ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式非负两个条件． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 方程有实数根， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 11. 如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再由面积公式求得的长． 【详解】解：菱形中，有，， ， ． ， ， ，， ， ． 12. 若，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对第二个方程变形，构造与第一个方程同形式的一元二次方程，结合的条件，利用根与系数的关系求解． 【详解】解：若，则，与题设矛盾， 故． 将两边同时除以，得. ∵　，且即， ∴　，是方程的两个不相等的实数根.由根与系数的关系得， 即． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．） 13. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 14. 如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 15. 如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作于点，求出的高，面积；分两种情况讨论：未完全进入矩形时，重叠面积为总面积减去左侧未进入的小三角形面积；穿出矩形时，重叠面积为总面积减去右侧穿出的小三角形面积；分别列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 如图，过点作于点，设交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∴， ∵， ∴，即点在矩形的上边所在直线上， 当与矩形重叠部分的面积为时，分两种情况讨论： ①当未完全进入矩形时， 即此时点在点的左侧，，重叠部分面积， ∵ ∴左侧未进入部分为等腰直角三角形， 依题意，， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当穿出矩形时，即，此时点在点的右侧，超出部分长度为，重叠部分面积， ∵， ∴右侧穿出部分为等腰直角三角形， ∴同①得， 解得，， ∵， ∴， 综上所述，运动时间为或时，与矩形重叠部分的面积为． 16. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ; 【小问2详解】 解： ; 【小问3详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按先乘方、再开方、最后加减的顺序计算，绝对值与算术平方根先化成数，零指数幂的底数不为时结果为； （2）两个分式分母相同，分母不变，把分子整体相减后化简． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 （2）至少种植甲作物5亩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； 【小问2详解】 解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 20. 已知：如图，在中，对角线的垂直平分线分别交于点，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，从而得出，又垂直平分，则，，再通过“”证明即可； 由垂直平分线的性质可得，，又，所以，从而有，再通过菱形的判定方法证明即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 某果商以每吨元的成本收购了一批修文红心猕猴桃共，目前可以按每吨元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付冷库仓储等费用元，在两个月的上市期内，每星期每吨猕猴桃的价格将上涨1000元． （1）储藏个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利________元； （2）储藏多少个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元？ 【答案】（1） （2）储藏个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元． 【解析】 【分析】（1）先算出储藏1周后剩余猕猴桃吨数、每吨售价，求出总销售额，减去收购总成本、仓储费用，得到利润． （2）设储藏个星期，用表示出销售量、销售单价、仓储费，根据总利润=总销售额−总成本−仓储费用列一元二次方程求解，再结合两个月上市期检验根的合理性． 【小问1详解】 解：储藏1周后，剩余猕猴桃：，储藏1周后，每吨售价：（元）， 总销售额：（元）， 收购总成本：（元），仓储费用：（元）， 获利： （元）， 故储藏1个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利元； 【小问2详解】 解：设储藏个星期再出售．由题意可得 ， 解得 两个月最多约8个星期，，舍去， ， 答：储藏个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元． 22. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 沿折叠得到， ，， ，， ， 在和中 ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠的性质，得到、，再结合公共边，用证明直角三角形全等． （2）设，由全等和折叠得到线段等量关系，在中，根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，四边形是正方形， ，， 是中点， ， 由折叠得：， 设， 由（1）得， ∴ ，， ， ∴即， 解得， ． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围； （3）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：在方程中， ，，， ∴， ∵不论取何值，，即， ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2） （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式结合平方数的非负性进行证明即可； （2）利用因式分解法解方程可得，，因此，从而求出的取值范围； （3）由根与系数的关系表示出与，结合完全平方公式变形可得，将题干条件通分后代入求解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 解得，， 由题意可知，， ∴； 【小问3详解】 解：， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 经检验，或都是关于的分式方程的解， ∴或． 24. 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由可知，当时，有最小值，最小值是．配方法也可以对一些多项式进行因式分解． （1）分解因式，原式________（ ）（ ） 【项目解决】 （2）当，，分别为的三边长，且满足时，求出的取值范围； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】根据配方法进行配方，利用因式分解即可； 由得，所以，，然后通过三角形的三边关系即可求解； 由四边形的面积为，从而求出四边形面积的最大值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，记与交于点， ∵， ∴四边形的面积 ， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最大值为． 25. 正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN． （1）如图，当0°＜α＜45°时： ①依题意补全图； ②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________； （2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明； （3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值． 【答案】 （1）①补全的图形如图所示： ②∠NCE＝2∠BAM； （2）．理由如下： 如图，连接CM． ∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM， ∴△ADM≌△CDM， ∴∠DAM＝∠DCM． ∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE， ∴∠DAQ＝∠ECQ， ∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ， ∴． ∵∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°， ∴． （3）1+． 【解析】 【分析】（1）作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，进而得出∠NCE＝2∠BAM； （2）连接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根据∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根据∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到； （3）依据∠CEA＝90°，即可得到点E在以AC为直径的圆上，当EF经过圆心O时，即可得出线段EF长的最大值． 【详解】（1）①略 ②∠NCE＝2∠BAM．理由如下： 如图1，连接MC． ∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM． ∵BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM． ∵∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，∴∠BAM＝∠BCE，∴∠MCE＝2∠BAM． ∵点N与点M关于直线CE对称，∴CN＝CM，∴∠NCE＝∠MCE，∴∠NCE＝2∠BAM． 故答案为∠NCE＝2∠BAM． （2）略 （3）如图，∵∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的圆上，O为圆心，由题可得：OFCD＝1，OE＝OCAC． ∵OE+OF≥EF，∴当EF经过圆心O时，． 【点睛】本题是四边形综合题．主要考查了旋转的性质，圆周角定理，正方形的性质和全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应角相等得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期贵阳市观山湖区普瑞学校第一次月考 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．） 1. 下列整数中，小于﹣3的整数是【 】 A. ﹣4 B. ﹣2 C. 2 D. 3 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，，，则对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 4. 关于一元二次方程的值，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 6. 小亮在估算方程的解时，通过计算得到下表，其中一个解取值范围是（ ） x 1 A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，为的中点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 普瑞学校新食堂外有一块长为、宽为的矩形空地，为方便同学们就餐，现在准备修两条等宽的小路，剩余的空地种植草坪，使草坪面积为．设道路的宽为，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是正方形对角线上的一点，连接，．，，垂足分别为，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，菱形的对角线与相交于点．若于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 若，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．） 13. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 14. 如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 15. 如图，在中，，，，在矩形中，，；在矩形的左侧，与在一条直线上，且点B与点E重合．现以的速度沿直线从左向右运动（矩形保持不动），当运动时间为________秒时，与矩形重叠部分的面积为． 16. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分．） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； 18. 计算： （1） （2） 19. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 20. 已知：如图，在中，对角线的垂直平分线分别交于点，与相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 21. 某果商以每吨元的成本收购了一批修文红心猕猴桃共，目前可以按每吨元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付冷库仓储等费用元，在两个月的上市期内，每星期每吨猕猴桃的价格将上涨1000元． （1）储藏个星期后再出售这批猕猴桃，果商可获利________元； （2）储藏多少个星期再出售这批猕猴桃，可使果商获利元？ 22. 如图，在正方形中，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围； （3）若方程的两个根为，，且，求的值． 24. 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由可知，当时，有最小值，最小值是．配方法也可以对一些多项式进行因式分解． （1）分解因式，原式________（ ）（ ） 【项目解决】 （2）当，，分别为的三边长，且满足时，求出的取值范围； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 25. 正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN． （1）如图，当0°＜α＜45°时： ①依题意补全图； ②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________； （2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明； （3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $