精品解析：贵州省贵阳市观山湖区普瑞学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

贵阳市普瑞学校2025~2026学年第一学期九年级数学第三次月考 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1、全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的宽为（ ） A. B. C. D. 5. 小明解方程的过程如表所示，开始出现错误的是（　　） 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 6. 如图，，若与的面积比为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 9. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 12. 如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 不等式组：的解集为_____． 14. 如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 15. 小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为______． 16. 在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为_____． 三、解答题：（本大题9小题，共98分．解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 18. 贵阳市目前已经修建并通车了四条地铁线路，给人们的出行带来了极大的便利．其中地铁三号线更是因为沿途经过的站点多为贵阳旅游火热的景点和热门打卡点而吸引大批外来游客乘坐，小明和小亮准备利用课余时间，以问卷的方式对各个三号线站点乘车的乘客进行调查，目的是想了解乘客们最想去的是以下几个景点或热门打卡点的哪个地方．这些景点或热门打卡点包括：A．花果园，B．黔灵山公园，C．十里河滩，D．孔学堂，E．花溪公园．下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图（如图1）： （1）本次调查的样本容量为________； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：孔学堂”的扇形圆心角的度数； （3）以下是三号线的沿途站点图（部分，如图2），小明和小亮分别从北京路（用F表示）、贵医（用G表示）、大营坡（用H表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．请你用画树状图或列表法，求小明与小亮所选取问卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的英文字母表示） 19. 从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． （1）请画出该几何体的三视图； （2）计算该几何体的表面积． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求另一个根的值． 21. 如图，四边形中，，，E为的中点． （1）求证：． （2）若，，连结DE交AC于点F，求的值． 22. 2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张话剧票的原定零售票价； （2）为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率． 23. 如图1，在矩形中，E为上一点，连接，过点E作于点F， （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足________时，矩形是正方形；以此条件来判定矩形是正方形的判定定理是________； （3）在（2）的条件下，连接交于点O，连接．如果，，求的面积．（先在备用图中按要求补全图形，再计算） 24. 我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 25. 综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： （1）分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） （2）在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； （3）在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市普瑞学校2025~2026学年第一学期九年级数学第三次月考 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1、全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟，考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 有理数的绝对值为（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 2. 串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为， ∴． 故选：C． 3. 《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，先明确科学记数法的定义，再根据定义将47000转化为科学记数法的形式，即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的缩放，根据等比例缩小的性质列出方程，求出缩小后的宽即可． 【详解】解：设缩小后的宽为， 由题意得，，解得， ∴缩小后的宽为， 故选：D． 5. 小明解方程的过程如表所示，开始出现错误的是（　　） 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】D 【解析】 【分析】按照配方法对方程进行逐步求解并检查哪一步出现了错误． 【详解】解：， ， ， ， ， 所以，， 所以第四步出现错误． 故选：D． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握方法是关键． 6. 如图，，若与的面积比为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，即相似三角形面积比等于相似比的平方来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形面积公式，结合“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”这一条件，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”得，， 故选：A． 8. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 9. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 10. 如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 11. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及勾股定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 如图，过点A分别作，边上的高为，，连接AC， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形， 设菱形的边长为x， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即纸条宽度为． 故选：D． 12. 如图：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，设四边形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：，是函数的图象上关于原点点对称的任意两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点， ， 设，则， 则， ，， 四边形面积， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 不等式组：的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求不等式组的解集．分别求解每个不等式，然后取解集的公共部分 【详解】解：解不等式，得 ； 解不等式，得 ． 所以不等式组的解集为． 故答案为： 14. 如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 15. 小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是掌握概率公式． 直接根据概率公式求解． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， ∴当他抛第次时，正面朝上的概率为， 故答案为：． 16. 在矩形中，已知，．点E为线段上的一个动点，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，运动时间为t（秒）．在矩形的内部作正方形，连接．若直线将矩形的面积分成两部分，则t的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．分两种情况讨论直线将矩形的面积分成两部分时t的值：①设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分；②设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分．情况①证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值，情况②先证明得到，再证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求得t的值． 【详解】解：①如图，设直线交于点M，当时，直线将矩形的面积分成两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，设直线交于点M交的延长线于点K，当时，直线将矩形的面积分成两部分， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题9小题，共98分．解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】(1) (2) ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤以及实数的混合运算法则． （1）分别计算绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算； （2）利用因式分解法求解． 【详解】解：（1） ； （2） 或 ∴，． 18. 贵阳市目前已经修建并通车了四条地铁线路，给人们的出行带来了极大的便利．其中地铁三号线更是因为沿途经过的站点多为贵阳旅游火热的景点和热门打卡点而吸引大批外来游客乘坐，小明和小亮准备利用课余时间，以问卷的方式对各个三号线站点乘车的乘客进行调查，目的是想了解乘客们最想去的是以下几个景点或热门打卡点的哪个地方．这些景点或热门打卡点包括：A．花果园，B．黔灵山公园，C．十里河滩，D．孔学堂，E．花溪公园．下面是根据调查结果进行数据整理后，绘制出的不完整的统计图（如图1）： （1）本次调查的样本容量为________； （2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点：孔学堂”的扇形圆心角的度数； （3）以下是三号线的沿途站点图（部分，如图2），小明和小亮分别从北京路（用F表示）、贵医（用G表示）、大营坡（用H表示）这三站中，随机选取一站作为调查的站点．请你用画树状图或列表法，求小明与小亮所选取问卷调查的站点相邻的概率．（各站点用相应的英文字母表示） 【答案】（1）40 （2） 如图所示，补全条形图为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量的计算，条形统计图和扇形统计图的相关计算及概率的计算． （1）根据扇形统计图和条形统计图中针对A景点的人数和占比，利用“样本容量=某部分的数量÷该部分所占百分比”即可得出样本容量； （2）先由（1）的样本容量求出D景点的人数，据此补全条形统计图，再根据“圆心角度数=该部分所占百分比×”得出表示“最想去景点：孔学堂”的扇形圆心角的度数，其中D景点的人数占比用D景点的人数÷样本容量即可求得； （3）利用列表法先列举出小明和小亮分别从F、G、H站点中随机选取一站的所有等可能结果，再找出符合题意的情况数量，随即求得概率． 【小问1详解】 解：由题意知，调查人数中A景点的人数为8人，占总人数的20%， ∴本次调查的总人数为（人）， 即本次调查的样本容量为40， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：D景点的人数为：（人）， 表示“最想去景点：孔学堂”的扇形圆心角的度数为：． 【小问3详解】 解：列表如下： 小亮 小明 F G H F G H 由列表可知，共有9种等可能情况，其中符合题意的情况共有4种， ∴， 即小明与小亮所选取问卷调查的站点相邻的概率为． 19. 从棱长为2的正方体的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到如图所示的几何体． （1）请画出该几何体的三视图； （2）计算该几何体的表面积． 【答案】（1） 如图所示为所求： （2）24 【解析】 【分析】本题考查了画几何体的三视图及几何体表面积的计算． （1）根据题中所给出的几何体正确将正视图、左视图及俯视图画出即可； （2）观察整个几何体发现有3个边长为2的正方形，3个六边形及3个边长为1的小正方形，分别计算其表面积后最终相加即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该几何体中有3个边长为2的正方形，表面积为， 有3个六边形，其表面积为， 有3个边长为1的小正方形，表面积为， ∴该几何体的表面积为． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求另一个根的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，解不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 所以m的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，四边形中，，，E为的中点． （1）求证：． （2）若，，连结DE交AC于点F，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，由直角三角形斜边上中线性质得到，则，得到，又由即可得到结论； （2）由，得到，求得，得到，由，得到，进一步即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张话剧票的原定零售票价； （2）为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率． 【答案】（1）50元 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，关键是根据题意找出等量关系列方程求解． （1）设每张话剧票的原定零售票价为x元，根据题意可知，同一批门票在降价前后的数量不变，可列分式方程，求出解后代入检验即可； （2）设平均每次降价的百分率为m，根据连续两次降价后票价为每张40.5元，列一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每张话剧票的原定零售票价为x元， 根据题意，得 ， 化为整式方程，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根． 答：每张话剧票的原定零售票价为50元． 【小问2详解】 解：设平均每次降价的百分率为m， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：平均每次降价的百分率为． 23. 如图1，在矩形中，E为上一点，连接，过点E作于点F， （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足________时，矩形是正方形；以此条件来判定矩形是正方形的判定定理是________； （3）在（2）的条件下，连接交于点O，连接．如果，，求的面积．（先在备用图中按要求补全图形，再计算） 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）平分，一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质及勾股定理等知识点． （1）先根据矩形的性质得出，，，再结合分析角的关系，进而根据矩形的判定定理得出结论； （2）当平分时，利用角平分线的性质和，得到，进而推出，依据“一组邻边相等的矩形是正方形”，判定矩形是正方形； （3）先补全图形，过点O作，利用正方形对角线性质，得到，，在中得到，由是等腰直角三角形，为的垂直平分线，求得的值，利用勾股定理求出的值，进而求得的值并最终求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴根据一组邻边相等的矩形是正方形可知，矩形是正方形． 故答案为：平分，一组邻边相等的矩形是正方形． 【小问3详解】 解：如图，过点O作， ∵点O为正方形对角线的交点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵是等腰直角三角形，为的垂直平分线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 24. 我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】（1）当时，，当时， （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 25. 综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： （1）分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） （2）在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； （3）在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】（1） 如图，线段与线段为所求作图形； （2） 证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）路灯距地面高度为米 【解析】 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $