第3章不等式单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册（江苏专用）
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内容正文：
苏教版高中数学必修第一册
第3章 不等式 单元测试（基础版A）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.55）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·南京月考）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2023·苏州期中）不等式 的解集是（ ）
A. B. C. [] D.
3.（2025·无锡期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4.（2024·常州期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2023·南通月考）已知 ，，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.（2025·盐城期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2022·扬州期末）用长为 米的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.（2024·徐州期中）若不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2025·镇江期中）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.（2023·泰州期末）已知 ，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 若 ，则 的最小值为
11.（2021·连云港月考）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·淮安期末）不等式 的解集为________．
13.（2025·宿迁期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
14.（2022·南京期末）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2023·无锡月考）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
16.（2024·苏州月考）（本题满分15分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值，并指出此时 ， 的值．
17.（2025·常州期末）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
18.（2022·盐城期中）（本题满分17分）某农户用长为 米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，靠墙的一边不需要篱笆）．
（1）设垂直于墙的一边长为 米，用 表示菜园的面积 ，并写出 的取值范围；
（2）求 的最大值，并求此时菜园两边的长；
（3）若要求菜园面积不小于 平方米，求 的取值范围．
19.（2024·南通期末）（本题满分17分）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）解不等式 ；
（3）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
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苏教版高中数学必修第一册
第3章 不等式 单元测试（拔高版B）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·苏州期中）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2023·南京期末）满足不等式 的整数 的个数为（ ）
A. B. C. D.
3.（2025·常州月考）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.（2024·无锡期末）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2023·南通期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.（2025·盐城月考）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2022·泰州期中）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A. [ B. C. [] D. ]
8.（2024·宿迁月考）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023·镇江期中）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
10.（2025·连云港期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.（2022·扬州月考）下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·常州期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是________．
13.（2025·南京期中）已知 ，则 的最小值为________．
14.（2023·宿迁期末）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2024·盐城期中）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
16.（2025·泰州月考）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
17.（2023·徐州期末）（本题满分15分）已知关于 的不等式 ．
（1）若该不等式对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若该不等式对任意 ∈[] 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ∈[] 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
18.（2022·连云港期中）（本题满分17分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值；
（3）求 的最小值．
19.（2024·淮安期末）（本题满分17分）某单位建造一间地面面积为 平方米的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米 元，房屋两个侧面的造价为每平方米 元，屋顶和地面的造价共 元，墙高为 米，房屋背面的造价忽略不计．设房屋正面的长（与墙平行）为 米．
（1）求房屋总造价 （元）关于 的表达式，并写出 的取值范围；
（2）求总造价的最小值，并求此时房屋正面的长；
（3）若要求总造价不超过 元，求正面长 的取值范围．
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苏教版高中数学必修第一册
第3章 不等式 单元测试（拔高版A）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·南京月考）已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2023·苏州月考）若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
3.（2025·无锡期中）若关于 的不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. ] D. []
4.（2024·常州月考）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2023·扬州期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.（2025·南通期末）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2022·镇江月考）若 ，且关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A. ] B. [ C. D. ]
8.（2024·连云港期中）若不等式 对任意 ∈[] 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023·泰州期中）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D.
10.（2025·盐城期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 方程 的两根分别为 和
C. D.
11.（2022·徐州月考）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·淮安月考）若不等式 对任意 ∈[] 恒成立，则实数 的取值范围是________．
13.（2025·宿迁期末）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
14.（2023·南京期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2024·苏州期中）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
16.（2025·常州期中）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
17.（2023·无锡期末）（本题满分15分）已知关于 的不等式 与 ．
（1）若 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 对任意 ∈[] 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ∈[] 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
18.（2022·盐城月考）（本题满分17分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值；
（3）求 取最小值时 ， 的值．
19.（2024·徐州期末）（本题满分17分）某工厂要建造一个长方体形的污水处理池，池深 米，容积为 立方米，池底造价为每平方米 元，池壁造价为每平方米 元（池壁厚度忽略不计）．
（1）设池底矩形的一边长为 米，求总造价 （元）关于 的表达式，并写出 的取值范围；
（2）求总造价的最小值，并求此时池底两边的长；
（3）若要求总造价不超过 万元，求 的取值范围．
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苏教版高中数学必修第一册
第3章 不等式 单元测试（基础版B）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.55）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·无锡期中）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】用不等式的倒数性质与两个正数比较大小的方法逐项判断．
对于 A、C，由 知 ，两边同除以 得 ，即 ，故 A 错误，C 正确；
对于 B，因为 ，所以 ，B 错误；
对于 D，，故 ，D 错误．故选 C．
2.（2023·常州月考）不等式 的解集是（ ）
A. [] B. C. ]∪[ D. []
【答案】A
【分析】因式分解求方程的两根，再按“小于零取中间、含等号取闭”写出解集．
原不等式等价于 ，
解得 ，故解集为 []．故选 A．
3.（2025·扬州期末）已知不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】解集端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系先求 ，．
由题意 和 是方程 的两根，
故 ，，即 ，．
所以 ．故选 B．
4.（2024·镇江期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】“凑项”：把 写成 ，使两项之积为定值，再用基本不等式．
因为 ，所以 ，从而
，
当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ．故选 B．
5.（2023·泰州月考）已知 ，，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】把 写成 ，用“和为定值，积有最大值”．
因为 ，，所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故 的最大值为 ．故选 D．
6.（2025·徐州期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】把所求式乘以 （其值为 ），展开后对两项使用基本不等式．
因为 ，所以 ．
由 得 ，
当且仅当 时取等号，故最小值为 ．故选 B．
7.（2022·淮安期末）用长为 米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，靠墙的一边不需要篱笆），则该菜园面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设垂直于墙的一边长为 ，则另一边为 ，把面积写成二次式后求最大值．
设垂直于墙的一边长为 米，则平行于墙的一边长为 米，．
面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故面积的最大值为 平方米．故选 C．
8.（2024·连云港月考）若不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】二次项系数为正的二次不等式恒成立，等价于判别式不大于零．
由二次项系数 知恒成立等价于 ，
解得 ．故选 A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023·南京期中）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】ABC
【分析】积为定值，和有最小值；再对所求式作恒等变形后逐项检验．
对于 A，，当且仅当 时取等号，正确；
对于 B，，当且仅当 时取等号，正确；
对于 C，，当且仅当 时取等号，正确；
对于 D， 没有最大值（如 ， 时 ），错误．故选 ABC．
10.（2025·苏州月考）已知不等式 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 该不等式的解集为 B. 是该不等式的解
C. 不等式 的解集为 D. 满足该不等式的整数 共有 个
【答案】ACD
【分析】先解不等式得解集，再逐项检验元素是否属于解集及整数解的个数．
由 得 ，故解集为 ，A 正确；
对于 B，当 时 ，不满足小于零，B 错误；
对于 C，由 得 或 ，C 正确；
对于 D，满足条件的整数为 ，共 个，D 正确．故选 ACD．
11.（2022·盐城月考）下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
【答案】BCD
【分析】逐项用不等式性质判断，特别注意乘数的符号以及 的特殊情形．
对于 A，当 时 ，不成立，A 错误；
对于 B，这是同向不等式相加，正确；
对于 C，由 知 ， 同号，两边同除以 得 ，即 ，正确；
对于 D，由 得 ，与 相加得 ，正确．故选 BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·宿迁期末）不等式 的解集为________．
【答案】
【分析】因式分解求根，按“大于零取两边”写出解集．
原不等式等价于 ，解得 或 ，
故解集为 ．
13.（2025·南通期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】用“ 的代换”，把所求式乘以 后展开，再对两项使用基本不等式．
因为 ，所以 ．
由 得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最小值为 ．
14.（2021·镇江期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值集合为________．
【答案】[]
【分析】解集为空集说明对应的二次式不小于零恒成立，由判别式不大于零求解．
因为二次项系数 ，所以解集为空集等价于 ，
解得 ，故 的取值集合为 []．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2023·扬州月考）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】先化二次项系数为正，再因式分解求根写解集；判别式小于零时直接判断解集．
（1）因式分解得 ，解得 ，故解集为 []．
（2）因式分解得 ，解得 或 ，
故解集为 ．
（3）因为 ，且二次项系数为正，所以 恒成立，
故原不等式的解集为 ．
16.（2024·盐城期末）（本题满分15分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值．
【分析】（1）把 凑成 ；（2）用“ 的代换”后对两项用基本不等式．
（1）因为 ，，所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最大值为 ．
（2）因为 ，所以 ．
由 得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故最小值为 ．
17.（2025·泰州期中）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
【分析】左边因式分解为 ，两根大小不定，需按 与 的大小关系分类讨论．
原不等式可化为 ．
（1）当 时，，解得 ，解集为 ．
（2）当 时，，解集为 ；
当 时，，解集为 ；
当 时，，解集为 ．
18.（2022·无锡期末）（本题满分17分）用长为 米的篱笆围成一个矩形场地，中间用一道与一边平行的篱笆把它隔成两个小矩形，设垂直于隔断的一边长为 米．
（1）用 表示场地的面积 ，并写出 的取值范围；
（2）求 的最大值，并求此时场地的长与宽；
（3）若要求场地的面积不小于 平方米，求 的取值范围．
【分析】篱笆共由三段“”与两段“另一边”组成，据此建立等量关系，再用基本不等式求面积最大值；（3）化为一元二次不等式．
（1）垂直于隔断的一边共出现三次，故与隔断平行的另一边长为 米，
由 且 得 ，
所以 ，．
（2）因为 为定值，所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时另一边长为 米，
故 的最大值为 平方米．
（3）由 得 ，即 ，
解得 ，符合 ，
故 的取值范围是 []．
19.（2024·常州期末）（本题满分17分）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）解不等式 ；
（3）若存在实数 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
【分析】（1）用根与系数的关系；（2）代入后因式分解；（3）存在性成立等价于 大于二次式的最小值．
（1）由解集知 ， 是方程 的两根，
所以 ，，解得 ，．
（2）原不等式即 ，因式分解得 ，
解得 ，故解集为 ．
（3）由（1）知不等式为 ，
因为 ，
所以当且仅当 时存在实数 使不等式成立，
故 的取值范围是 ．
苏教版必修一·第3章 不等式·基础版B 第 1 页 共 1 页
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$苏教版高中数学必修第一册
第3章不等式单元测试（基础版A)
(用时：120分钟
满分：150分
难度系数：0.55)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024南京月考)若<b<0,则下列不等式一定成立的是()
A.a'<b2
B话
C.ab-b2
D.+b>0
2.(2023苏州期中)不等式x2-5x+6<0的解集是()
A.(2,3)
B.(-o,2)U(3,+o)
C.[2,3]
D.0
3.(2025·无锡期末)若关于x的不等式x2+x+b<0的解集为{x|1<x<3},则a+b的值为()
A.1
B.-1
C.4
D.-4
4.（2024常州期中)已知心0，则x+的最小值为()
A.2
B.4
C.2W2
D.8
5.（2023·南通月考)已知x>0,>0,且x+2y=4,则xy的最大值为()
A.2
B.4
C.8
D.16
6.(2025盐城期中)已知>0，b>0,且+=1，则a+b的最小值为()
A.2
B.3
C.4
D.5
7.(2022扬州期末)用长为20米的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为()
A.16
B.20
C.24
D.25
8.(2024徐州期中)若不等式x2-2x+>0对任意实数x都成立，则实数的取值范围是()
A.nK<1
B.>1
C.n21
D.n<]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2025镇江期中)若心>b>0,则下列不等式成立的是()
A.a-b2
B话
c
D.at含b月
10.(2023·泰州期末)已知x>0,y>0,则下列结论正确的是()
A.x+1≥2
B.+'≥2
vx
C.x2+5的最小值为2
D.若x+y=2,则上+1的最小值为4
11.(2021·连云港月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则下列结论正
确的是(
A.<0
B.b<0
C.c<0
D.+b+c=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024·准安期末)不等式-x2+2x+3≥0的解集为
13.(2025宿迁期中)已知>0，b>0,且a+2b=1,则+5的最小值为
14.（2022南京期末)若不等式x2+x+40对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
苏教版必修一·第3章不等式基础版A第1页共3页
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2023无锡月考)（本题满分13分)解下列不等式：
(1)x2-3x-4≤0：
(2)-x2+4x-3>0:
(3)x2-2x+3<0.
16.(2024苏州月考)（本题满分15分）己知心0，b>0,且+b-1.
(1)求ab的最大值：
(2)求二+的最小值，并指出此时a,b的值.
17.（2025·常州期末)（本题满分15分）解关于x的不等式x2-(t1)x+K0.
(1)当2时，求不等式的解集；
(2)讨论a的取值情况，写出不等式的解集！
18.(2022盐城期中)（本题满分17分）某农户用长为36米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足
够长，靠墙的一边不需要篱笆)·
(1)设垂直于墙的一边长为x米，用x表示菜园的面积S,并写出x的取值范围；
(2)求S的最大值，并求此时菜园两边的长：
苏教版必修一·第3章不等式基础版A第2页共3页
(3)若要求菜园面积不小于144平方米，求x的取值范围.
19.(2024·南通期末)（本题满分17分）已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<3}.
(1)求实数a,b的值：
(2)解不等式bx2-x+1>0:
(3)若关于x的不等式x2+ax+b-<0的解集为⑦，求实数k的取值范围.
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第3章不等式单元测试（拔高版A)
(用时：120分钟
满分：150分
难度系数：0.35)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024南京月考)已知心0，b>0,且ab,则下列不等式一定成立的是()
AV而智
C.a+b>2ab
D.需<励
【答案】D
【分析】把各选项化为可用基本不等式判断的形式，注意“平方平均数不小于算术平均数”的方向，并检验
取等条件.
对于A,由基本不等式V励<知A错误：
对于B,因为-（受->0。
4.
所以”严，B错误：
对于C,取=3，b-2,此时atb=5<12=2ab,不满足+b>2ab,故C不一定成立；
对于D,由路<V历等价于2vab,即(aV历>0，
由b知该式成立，D正确.故选D:
2.(2023·苏州月考)若不等式x2+r+b<0的解集为{x|2<x<3},则不等式bx2+ar+1<0的解集是()
A()
B.(5,1)
C.（1,-)
D.()
【答案】A
【分析】先由解集端点用根与系数的关系求，b,代入新不等式后因式分解求解.
由解集知2,3是x2++b=0的两根，故=-5，b-6.
代入得6x2-5x+1<0,即(2x-1)3x-1)<0,
解得<x<故解集为().故选A.
3.(2025·无锡期中)若关于x的不等式2+x-1<0对任意实数x恒成立，则实数α的取值范围是
()
A.（-4,0)
B.(-4,1)
C.-4,0]
D.[-4,0]
【答案】C
【分析】二次项系数含参，必须分=0与0讨论，0时用开口方向与判别式.
当=0时，原不等式化为-1<0，恒成立，符合题意
当a0时，需K0且△=a+4K0,即-4<K0.
综上-4<0，即a的取值范围是（←4,0].故选C.
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4.(2024常州月考)已知心2，则x+号的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.8
【答案】C
【分析】“凑项”使积为定值：把x拆成(x-2)十2，再对前两项用基本不等式.
因为>2，所以x-2>0,从而
x+号-2H+224+2-6,
当且仅当x-2=2,即x=4时取等号，故最小值为6.故选C.
5.(2023扬州期中)已知a心0，b>0,且+号=1，则a+b的最小值为()
A.3+2V2
B.3
C.4v2
D.2+3V2
【答案】A
【分析】用1的代换”：把什b乘以条件中的1+三，展开后凑两项之积为定值.
a b
因为+1，所以
a+(a+b日+)3+会+名
由号+25得a+b23+25,
当且仅当6V2a,即1+9，b=V2+1时取等号，故选A.
6.(2025南通期末)己知x>1,>1,且x=x+y+3,则x+y的最小值为()
A.4
B.6
C.2W3+2
D.8
【答案】B
【分析】把条件化为(x-1)y-1)=4,再用基本不等式求(x-1)+少1)的最小值.
由xy=+叶3得xyx-叶1=4，即(x-1)0y1)=4.
因为x>1,>1,所以x-1>0,y1>0,从而
x+y=(x-1)+(y1)+222√x-1)0w-1)+2=6,
当且仅当x-1y1=2,即xy=3时取等号，故最小值为6.故选B.
7.(2022镇江月考)若心0，且关于x的不等式x2-(t1)x+K0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值
范围是()
A.(3,4]
B.[4,5)
C.(4,5)
D.4,5]
【答案】D
【分析】先因式分解得(x-1)(x-)<0,再讨论两根大小，用“恰含3个整数”确定端点范围.
原不等式即(x-1)x-水0.若解集非空且含3个整数，需心1，此时解集为(1，).
解集(1，四中的整数为2,3,4且不含5，故4<心5：
当5时解集为(1,5)，整数为2,3,4，符合题意，
故a的取值范围是(4,5].故选D.
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8.（2024连云港期中)若不等式x2-+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立，则实数a的取值范围是()
A.4
B.3
C.a24
D.a5
【答案】A
【分析】恒成立问题分离参数得心x+,再求x+兰在区间上的最小值.
由x∈[1,3]知x>0,原不等式等价于心+恒成立，
因为x+≥2W4=4,当且仅当x=2时取等号，且2∈[1,3]，
所以x+在[1,3]上的最小值为4，故心4，故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023泰州期中)已知心0，b>0,且b-2,则下列结论正确的是（)
A.ab1
B.+号的最小值为2
C.2+b2的最小值为1
D.Va+vb<2
【答案】ABD
【分析】和为定值，积有最大值；再对所求式作恒等变形，用基本不等式与完全平方判断最值，
对于A,bs()?=1,当且仅当b=1时取等号，正确；
对于B,1+1=a+b=2
日+若的品而1，故2，最小值为2，正确：
对于C,d2+b2=(tb)2-2ab-4-2ab,由abs1得最小值为2而非1，错误：
对于D,(Va+VB2=tb+2Vb≤2+2-4，故VtVb≤2，正确.故选ABD.
10.(2025·盐城期末)已知关于x的不等式2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则下列结论正确的是
()
A.>0
B.方程2+bx+c0的两根分别为1和2
C.a+b+c=0
D.c<0
【答案】BCD
【分析】由解集形式判断开口方向，用“解集端点即方程根”并结合根与系数的关系判断各系数符号.
解集为区间(1,2)，说明抛物线开口向下，即<0，A错误；
由解集端点知1,2是方程ax2+bx+c=0的两根，B正确：
因为x=1时函数值为0，故a什b什c-0,C正确：
由1×2=￡得c=2K0,D正确.故选BCD
11.(2022徐州月考)已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列结论正确的是（)
A.
B.xty
c+>4
D.x叶二的最小值为2
【答案】ABC
【分析】先由基本不等式得0<s,再逐项判断；D需注意函数什在t∈(O,力上的单调性.
由x+=1得Kx子当且仅当xy=时取等号.
对于A,空-
正确：
对于B,x2+2-《+)2-2x=1-22,正确；
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对于C+器-号之4，正确：
对于D,令y∈(0，力，什在(0，上单调递减，
故最小值为4=而不是2，错误.故选ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024淮安月考)若不等式x2-2x+心0对任意x∈[0,3]恒成立，则实数a的取值范围是
【答案】(1，+o)
【分析】分离参数得心2x-x2恒成立，再求2x-x2在区间上的最大值.
原不等式等价于心2x-x2对x∈[0,3]恒成立.
因为2x-x2=-(x-1)2+1≤1，当且仅当x=1时取等号，
所以心1，即a的取值范围是(1，+o).
13.(2025宿迁期未)已知心0，b>0,且a+2b=3,则2+片的最小值为
【答案】号
【分析】用“1的代换”，把所求式乘以必，展开后对两项用基本不等式。
因为a2=3,所以2+片g+片a+204+兰+).
由兽+24得+甘骨
当且仅当2b-时取等号，故最小值为
14.（2023·南京期末)若关于x的不等式x2+(a-1)x+1≤0的解集为⑦，则实数a的取值范围是
【答案】(-1,3)
【分析】解集为空集等价于二次式恒大于零，由开口方向与判别式列不等式.
因为二次项系数1>0，所以解集为空集等价于△=(1)2-4<0，
即-2<-1<2，解得-1<a<3,故a的取值范围是(-1,3).
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2024苏州期中)（本题满分13分）解下列不等式：
(1)x2+2x-3≥0：
（2)-2x2+3x+2>0.
【分析】先化为二次项系数为正，再因式分解求根，按“大于取两边、小于取中间写解集
(1)因式分解得(x+3)x-1)≥0，解得x≤-3或x21,
故解集为{x|x≤-3或21}.
(2)两边同乘-1得2x2-3x-2<0,即(2x+1)(x-2)<0,
解得-<x<2,故解集为(2)：
16.(2025·常州期中)（本题满分15分）解关于x的不等式ax2-(1)x+1<0.
(1)当=2时，求不等式的解集；
(2)讨论α的取值情况，写出不等式的解集
【分析】二次项系数含参，需先讨论0：a0时因式分解为(ax-1)(x-10,再比较：与1的大小.
当0时，原不等式化为-x+1<0,解得x>1.
当a0时，原不等式化为(-1)x-1)<0.
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(1)当2时，(2x-1)x-1)0,解得<x<1,解集为(，1).
(2)当心0时，不等式即(x-)x-10:
若01，则>1，解集为(1，)：
若1，则(x-1)2<0,解集为0：
若心1，则<1，解集为（二，1）.
当K0时，不等式即x-)x-1)>0,而<0<1，
解集为(o,2)U(1,+o).
17.（2023无锡期末)（本题满分15分）已知关于x的不等式2x2+ax+2>0与x2+ax+2≥0.
(1)若2x2+ax+2>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围：
(2)若x2++2≥0对任意x∈[1,4]恒成立，求实数a的取值范围：
(3)若存在x∈[1,4]使不等式x2+ax+2<0成立，求实数a的取值范围.
【分析】(1)用判别式：(2)(3)分离参数得α与-(x+)的大小关系，再求该式在区间上的最值，
注意“恒成立与“存在”的区别.
(1)由二次项系数2>0知恒成立等价于△=-16<0，解得-4<K4.
(2)因为x∈[1,4]，所以x>0,原不等式等价于心(x+)恒成立.
由x+学2W万，且1时x+3,4时x+=
知x+在[1,4]上的最小值为3，故-+)的最大值为3，
所以心-3.
(3)“存在”只需a小于-(x+)的最大值
当K-3时取x=1,有1+什2<0成立；当-3时x+2<3无解，
故a的取值范围是K-3.
18.(2022盐城月考)（本题满分17分）已知x>0,y>0,且1+2=1.
X1’
(1)求x+y的最小值：
(2)求y的最小值：
(3)求x+y取最小值时x,y的值，
【分析】(1)用“1的代换”；(2)直接对+用基本不等式构造y:(3)由取等条件与已知等式联
立
(1)因为+=1，所以
x=(++=10+>≥10+2=16，
当且仅当y=3x时取等号，故x+y的最小值为16.
(2)由1=+≥2E点得V26,即236
x’V灯网
当且仅当号-即口，只8时取等号，放w的最小值为36，
(3)由(1)知取最小值时=3x,代入上+2=1得1+3=1，
X1
解得-4，=12，此时x+=16,符合题意.
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19.（2024·徐州期末)（本题满分17分）某工厂要建造一个长方体形的污水处理池，池深3米，容积为
4800立方米，池底造价为每平方米150元，池壁造价为每平方米200元（池壁厚度忽略不计），
(1)设池底矩形的一边长为x米，求总造价y（元)关于x的表达式，并写出x的取值范围：
(2)求总造价的最小值，并求此时池底两边的长；
(3)若要求总造价不超过36万元，求x的取值范围，
【分析】先由容积与深度求底面积，把四壁面积与底面面积用x表示，得总造价的函数式，再用基本不
等式求最小值；(3)解一元二次不等式.
(1)池底面积为80=1600（平方米），池底的另一边长为1600米，心0.
池壁面积为2×3x+2x3×1600-6r+9600,
所以=150x160+20(6r+6)-24000+1200x+120
,x>0.
(2)因为，x≥0，所以1200x+192000≥2V1200×1920000=96000,
当且仅当1200-192000，即x=40时取等号，此时另一边长也为40米，
故总造价的最小值为240000+96000=336000元，即33.6万元，此时池底为边长40米的正方形.
(3)由360000得1200x+19200≤120000，即x2-100x+1600≤0，
因式分解得(x-20)x-80)0,解得20x≤80，
故x的取值范围是[20,80].
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第3章不等式单元测试（拔高版A)
(用时：120分钟
满分：150分
难度系数：0.35)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024南京月考)已知心0，b>0,且ab,则下列不等式一定成立的是()
A而>
B尊
C.a+b>2ab
D.<励
2.(2023·苏州月考)若不等式x2++b<0的解集为{x|2<x<3},则不等式bx2+ax+1<0的解集是()
A()
B.(5,1)
C.(1,-)
D.
3.（2025·无锡期中)若关于x的不等式2+ax-1<0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
()
A.(-4,0)
B.(4,1)
C.(-4,0]
D.[-4,0]
4.(2024常州月考)已知>2，则x+4的最小值为（)
A.4
B.5
C.6
D.8
5.(2023扬州期中)己知>0，b>0,且+号=1，则+b的最小值为()
A.3+2V2
B.3
c.4v2
D.2+3V2
6.(2025南通期末)已知>1，>1，且=x+y+3,则x+y的最小值为(
)
A.4
B.6
C.2W3+2
D.8
7.（2022镇江月考)若心0，且关于x的不等式x2-(什1)x+K0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值
范围是(
A.(3,4]
B.[4,5)
C.(4,5)
D.(4,5]
8.(2024连云港期中)若不等式x2-+4≥0对任意x∈[1,3]恒成立，则实数a的取值范围是()
A.4
B.3
C.az4
D.a5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2023·泰州期中)已知心0，b>0,且什b-2,则下列结论正确的是()
A.ab<1
B+号的最小值为2
C.2+b2的最小值为1
D.VatVB<2
10.（2025·盐城期末)已知关于x的不等式2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则下列结论正确的是
()
A.0
B.方程2+bx+c=0的两根分别为1和2
C.什b+c=0
D.c<0
11.（2022徐州月考)已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列结论正确的是（)
A.
B242
c+>24
D.叶二的最小值为2
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024准安月考)若不等式x2-2x+心0对任意x∈[0,3]恒成立，则实数a的取值范围是
13.(2025宿迁期末)已知心0，b>0,且什2b=3,则2+的最小值为一·
14.(2023·南京期末)若关于x的不等式x2+(a-1)x+1≤0的解集为0，则实数a的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2024苏州期中)（本题满分13分）解下列不等式：
(1)x2+2x-3≥0：
(2)-2x2+3x+2>0.
16.(2025·常州期中)（本题满分15分）解关于x的不等式ax2-(叶1)x+1<0.
(1)当=2时，求不等式的解集；
(2)讨论α的取值情况，写出不等式的解集.
17.(2023·无锡期末)（本题满分15分）己知关于x的不等式2x2+ax+2>0与x2+x+2≥0.
(1)若2x2+ax+2>0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若x2+r+2≥0对任意x∈[1,4]恒成立，求实数a的取值范围：
(3)若存在x∈[1,4]使不等式x2+ar+2<0成立，求实数a的取值范围.
苏教版必修一·第3章不等式拔高版A第2页共3页
18.(2022盐城月考)（本题满分17分)已知x>0,>0,且+9=1.
(1)求x+y的最小值：
(2)求y的最小值：
(3)求x+y取最小值时x,y的值.
19.(2024:徐州期末)（本题满分17分）某工厂要建造一个长方体形的污水处理池，池深3米，容积为
4800立方米，池底造价为每平方米150元，池壁造价为每平方米200元（池壁厚度忽略不计），
(1)设池底矩形的一边长为x米，求总造价y(元)关于x的表达式，并写出x的取值范围：
(2)求总造价的最小值，并求此时池底两边的长：
(3)若要求总造价不超过36万元，求x的取值范围.
苏教版必修一·第3章不等式拔高版A第3页共3页苏教版高中数学必修第一册
第3章不等式单元测试（基础版B)
(用时：120分钟满分：150分
难度系数：0.55)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024无锡期中)若心b>0,则下列不等式一定成立的是()
A分活
B.>1
c
D.d<ab
2.(2023.常州月考)不等式x2+2x-8≤0的解集是()
A.[-2,4
B.(-2,4)
C.（0,-2]U[4,+oo)
D.[-4,2]
3.(2025扬州期末)己知不等式x2+x+q0的解集为{x|-2<x<1},则p+q的值为()
A.1
B.-1
C.2
D.-3
4.(2024镇江期中)已知21，则+的最小值为()
A.2
B.3
C.4
D.
5.(2023泰州月考)已知x>0,>0,且2x+y8,则xy的最大值为()
A.4
B.6
C.16
D.8
6.(2025徐州期中)已知心0，b>0,且+b-4,则1+的最小值为()
A时
B.1
C.2
D.4
7.(2022准安期末)用长为24米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，靠墙的一边不需要篱
笆)，则该菜园面积的最大值为()
A.48
B.64
C.72
D.96
8.(2024连云港月考)若不等式x2+2x+20对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是()
A.21
B.>1
C.1
D.n<1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2023南京期中)已知>0，b>0,且b-4,则下列结论正确的是()
A.+b的最小值为4
B.+片的最小值为1
C.+b2的最小值为8
D.ab的最大值为4
10.（2025·苏州月考)已知不等式x2-2x-3<0,则下列结论正确的是()
A.该不等式的解集为{x|-1<x<3}
B.x=-1是该不等式的解
C.不等式x2-2x-3>0的解集为{x|x<-1或x>3}
D.满足该不等式的整数x共有3个
11.(2022盐城月考)下列命题正确的是()
A.若心b,则ac2>bc2
B.若心b,c>d,则+c>b+d
c.若ab,ab>0,则
D.若心b,c<d,则a-c>b-d
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024宿迁期末)不等式x2-x-6>0的解集为
苏教版必修一·第3章不等式基础版B第1页共3页
13.(2025南通期中)已知心0,20，且x1,则+的最小值为
14.(2021·镇江期末)若关于x的不等式x2+x+1<0的解集为⑦，则实数m的取值集合为一
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2023·扬州月考)（本题满分13分）解下列不等式：
(1)x2-5.x-6≤0：
(2)2x2-3x-2>0:
(3)x2-6x+10<0.
16.(2024盐城期末)（本题满分15分）己知x>0,>0,且2+y=1.
(1)求xy的最大值：
(2)求+的最小值.
17.（2025·泰州期中)（本题满分15分）解关于x的不等式x2-(H2)x+2K0.
(1)当3时，求不等式的解集；
(2)讨论α的取值情况，写出不等式的解集.
苏教版必修一·第3章不等式基础版B第2页共3页
18.（2022·无锡期末)（本题满分17分）用长为60米的篱笆围成一个矩形场地，中间用一道与一边平行
的篱笆把它隔成两个小矩形，设垂直于隔断的一边长为x米。
(1)用x表示场地的面积S,并写出x的取值范围：
(2)求的最大值，并求此时场地的长与宽：
(3)若要求场地的面积不小于135平方米，求x的取值范围.
19.(2024常州期末)（本题满分17分)已知关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数b,c的值：
(2)解不等式cx2-br+1<0:
(3)若存在实数x使不等式x2+bx+c<成立，求实数m的取值范围.
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第3章不等式单元测试（拔高版B)
(用时：120分钟满分：150分
难度系数：0.35)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024苏州期中)若心b>0,则下列不等式一定成立的是()
A号别
B号别
c品品
D.5+1
aa+l
【答案】B
【分析】用作差法比较两个分式，注意分母为正时差的符号；也可用“同分子（分母）比较法”判断，
对于AB,号-aD-的
b6+1)
一b6+1)1
由心b0知分子、分母均为正，故骨票A错误，B正确：
对于C.由b0得品六六品c错误：
a+1
atl
对干D,然->0，放祭D错误，故选B.
atl aa(at1)
2.(2023南京期末)满足不等式x2-3x-4≤0的整数x的个数为()
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C
【分析】先解不等式得解集，再数其中的整数，
原不等式等价于(x-4)x+1)0,解得-1≤≤4.
其中的整数为-1,0,1,2,3,4，共6个.故选C
3.（2025·常州月考)若关于x的不等式x2-2x+K0的解集为0，则实数m的取值范围是（)
A.(0,1)
B.(1,+oo)
C.21
D.nK<1
【答案】B
【分析】先讨论=0，再讨论0时的开口方向与判别式，注意“解集为空集”的等价条件.
当=0时，不等式化为-2x<0,解集为{x|x>0},不为空集，不合题意；
当K0时，抛物线开口向下，x2-2x+<0的解集必非空，不合题意：
当心0时，需△=4-4m2<0,即>1.
综上>1，即的取值范围是(I,+o.故选B.
4(2024无锡期末)已知21，则x+品的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.8
【答案】B
【分析】“凑项”：把x写成(x+1)1,使前两项之积为定值.
因为>-1，所以x+1>0,从而
x+品-6+1号-1225-1=5.
当且仅当x+1=3,即x=2时取等号，故最小值为5.故选B.
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5.(2023南通期中)已知>0，b0,且+号1，则m2b的最小值为（）
A.4
B.6
C.9
D.8
【答案】D
【分析】用1的代换，把a+2b乘以+行展开后凑两项之积为定值.
因为+1，所以
a+2ba2c后+4+号+告
由号+兽24-4得a2b28,
当且仅当F2b,即b=2,-4时取等号，故最小值为8.故选D
6.(2025盐城月考)已知x>0,y>0,且x+叶xy=8,则x+y的最小值为()
A.2
B.3
C.4
D.6
【答案】c
【分析】把条件化为x+1)+1)=9,再用基本不等式求x+1)+(件1)的最小值，
由x+y+x=8得x叶x+y叶1=9，即(x+1)0叶1)=9，
因为x>0,>0,所以x+1>0,叶1>0，于是
x+y=(x+1)+0+1)222V-2=4,
当且仅当x+1与叶1=3，即xy=2时取等号，故最小值为4.故选C.
7.（2022泰州期中)若关于x的不等式x2-3x+K0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围是
()
A.[0,2)
B.(0,2
C.[0,2]
D.(0,2]
【答案】A
【分析】解集是两端点之间的开区间，其两个整数只能是1和2，据此控制区间端点与整数的位置关系，
对应方程-3x+M0的两根为”，需94n>0。
解集是以1.5为中心的开区间，若其中恰有2个整数，则这两个整数必为1,2，
即解集左端点满足0s3-预<1，右端点满足2<m<3,
解得1<9-419，即0K2:
当=0时解集为(0,3)，整数为1,2，符合题意；当=2时解集为(1,2)，无整数，不合题意，
故m的取值范围是[0,2).故选A.
8(2024宿迁月考)已知a0,b0,且a+b4,则点+产的最小值为()
A月
B.2
c
D.3
【答案】A
【分析】注意(1)+（亿+1）=6为定值，用1的代换把所求式乘以a++b+
6
由b-4得(a+1)+(b+1)=6,故
+六六+六aHo1》厂+斜+)，
由兴4得六+片
当且仅当b+1=2(+1),即1，b-3时取等号，故最小值为手故选A.
苏教版必修一·第3章不等式拔高版B第2页共6页
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2023镇江期中)已知心0，b>0,且ab-1,则下列结论正确的是()
A.atb=2
B+片22
C.2+b2≥2
D.+计本的最小值为2
【答案】ABC
【分析】积为定值，和有最小值：再对所求式作恒等变形，注意什二在仑2上单调递增，
对于A,+b22Vb-2,当且仅当=b=1时取等号，正确：
对于B.十曾2，正确：
对于C,㎡2+b≥2ab=2,正确；
对于D,令a+b22,什；在[2，+o)上单调递增，最小值为2+
,错误.故选ABC
10.（2025·连云港期末)己知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-o,-2)U(3,+o),则下列结论正确的
是()
A.0
B.c>0
C.-b+c<0
D.b>0
【答案】ABD
【分析】由解集在两根之外判断开口方向，再用根与系数的关系判断系数符号，用特殊点函数值判断
解集为两根之外的区间，说明抛物线开口向下，即K0,A正确：
由题意-2,3是m2+bx+c-0的两根，故-2+3=名-2×3台
a
所以b--心0，D正确：c=-6心0，B正确；
因为-1∈(2,3)，此时ar2+bx+c>0,即b+c>0,C错误.故选ABD
11.(2022扬州月考)下列命题正确的是()
A.若心b,c>d,则心b-c
B若分则心b
C.若心b>0,则a>b3
D.若a心b>0,c>d0,则ac>bd
【答案】ACD
【分析】逐项用不等式的同向可加、同向同正可乘、乘方性质判断，注意取倒数时的符号要求，
对于A,由c>d得-c<-d,即-b-c,与心b相加得bb-c,正确：
对于B,取1，l,则而b,错误：
对于C,由心b>0得a2>b2>0,两边同乘正数、b得ad>ab>b,正确：
对于D,由同向同正不等式相乘得ac>bd,正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024常州期末)若关于x的不等式ax2++1>0的解集为R,则实数a的取值范围是
【答案】[0,4)
【分析】分0与0讨论，时0时由开口方向与判别式列不等式.
当0时，不等式为1>0，恒成立，符合题意：
当0时，需>0且△=a2-40,解得0<K4.
综上0K4,即a的取值范围是[0,4).
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13.(2025南京期中)己知心1，则-+1的最小值为
a-1
【答案】3
【分析】把分子按1配方后拆项，化为1与”之和的形式，再用基本不等式。
因为心1，所以1>0，且
t-c-a-1六+12*13，
a-1
a-1
当且仅当-1=1，即2时取等号，故最小值为3.
14.(2023宿迁期末)己知心0，b>0,且a什=1，则+5的最小值为
【答案】9
【分析】用“1的代换”，把所求式乘以+b后展开，再对两项用基本不等式.
因为a1,所以+(+a+b5+兰+号
由兽+244得+9，
当且仅当2b,即：时取等号，故最小值为9.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2024盐城期中)（本题满分13分）解下列不等式：
(1)3x2-5x-2≤0：
(2)-x2+6x-5>0:
【分析】先化二次项系数为正，再因式分解求根写解集
(1)因式分解得(3x+1)-20,解得-≤2，
故解集为[-2
(2)两边同乘-1得x2-6x+5<0,即(x-1)x-5)<0,
解得1<x<5,故解集为(1,5).
16.(2025·泰州月考)（本题满分15分）解关于x的不等式ax2-(a什2)x+2≤0.
(1)当1时，求不等式的解集：
(2)讨论a的取值情况，写出不等式的解集
【分析】二次项系数含参，先讨论0：a0时因式分解为(a-2)(x-1)0,再比较与1的大小.
当0时，原不等式化为-2x+2≤0，解得x之1.
当0时，原不等式化为(a-2)x-1)0.
(1)当1时，(x-2)x-1)0,解得1≤x≤2，解集为[1,2].
(2)当心0时，不等式即(x-)x-1)0:
若0K2,则>1，解集为[1，月：
若F2,则2x-1)2≤0，解集为{1}：
若心2，则<1，解集为后，1]
当K0时，不等式即(-)-120，而<0<1，
解集为x或21.
17.(2023·徐州期末)（本题满分15分）己知关于x的不等式x2+ax++3≥0.
(1)若该不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
苏教版必修一·第3章不等式拔高版B第4页共6页
(2)若该不等式对任意x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围：
(3)若存在x∈[0,2]使不等式x2+ax++3<0成立，求实数a的取值范围.
【分析】(1)用判别式：(2)(3)分离参数后换元x+1,把α与2-t-比较，再求该式在区间上的
最值，
(1)由二次项系数1>0知恒成立等价于△=2-4(a+3)上0，
即2-4m-120,解得-2≤6.
(2)因为x∈0,2，所以+1>0，原不等式等价于心恒成立.
令+1[1,3引，则-一2-221
+1
该式在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减，故最大值为2-2-2=-2（此时x=1),
所以2-2，
(3)“存在”只需2-1的最大值，即-2：
当-2时x2-2x+1=(x-1)2<0无解，不合题意，故a的取值范围是K-2.
18.(2022·连云港期中)（本题满分17分）己知x>0,y>0,且x+2y=1.
(1)求y的最大值：
(2)求+2的最小值：
(3)求+上的最小值
【分析】(1)凑成x·2y”用和为定值求积的最大值；(2)(3)都用1的代换”，把所求式乘以x+2y后
对两项用基本不等式
(1)因为0,2y>0且x+2=1,所以2xx·2≤()2=
即，当且仅当x=2=,即x=,=时取等号，
故y的最大值为
(2)因为x+2y=1,所以
+(+0+25++≥5+49，
X12
当且仅当x=;时取等号，故最小值为9.
(3)因为x+2=1,所以
+(片+203++≥3+2.
当且仅当x,即9，万-1时取等号，
故最小值为3+2√2，
19.(2024淮准安期末)（本题满分17分）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，
房屋正面的造价为每平方米1200元，房屋两个侧面的造价为每平方米800元，屋顶和地面的造价共5800
元，墙高为3米，房屋背面的造价忽略不计.设房屋正面的长（与墙平行）为x米
(1)求房屋总造价y（元)关于x的表达式，并写出x的取值范围：
(2)求总造价的最小值，并求此时房屋正面的长；
(3)若要求总造价不超过41800元，求正面长x的取值范围，
【分析】用地面面积与正面长表示侧面边长，把正面与两侧面的面积用x表示后写出总造价，再用基本
不等式求最小值；(3)解一元二次不等式.
(1)侧面边长为号米，正面面积为3x,两侧面面积共2×3×号号
苏教版必修一·第3章不等式拔高版B第5页共6页
所以=1200×3x+800×2+5800-=3600x+7600+5800,>0.
(2)因为.20，所以3600x+760≥2V3600×57600=28800,
当且仅当3600=70，即x=4时取等号，
故总造价的最小值为28800+5800=34600元，此时正面的长为4米（侧面边长3米）.
(3)由<41800得3600x+7600≤36000，即x2-10x+16<0,
因式分解得x-2)(x-8)≤0，解得2s≤8，
故x的取值范围是[2,8，
苏教版必修一，第3章不等式拔高版B第6页共6页
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第3章 不等式 单元测试（拔高版A）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·南京月考）已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】把各选项化为可用基本不等式判断的形式，注意“平方平均数不小于算术平均数”的方向，并检验取等条件．
对于 A，由基本不等式 知 A 错误；
对于 B，因为 ，
所以 ，B 错误；
对于 C，取 ，，此时 ，不满足 ，故 C 不一定成立；
对于 D，由 等价于 ，即 ，
由 知该式成立，D 正确．故选 D．
2.（2023·苏州月考）若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先由解集端点用根与系数的关系求 ，，代入新不等式后因式分解求解．
由解集知 ， 是 的两根，故 ，．
代入得 ，即 ，
解得 ，故解集为 ．故选 A．
3.（2025·无锡期中）若关于 的不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. ] D. []
【答案】C
【分析】二次项系数含参，必须分 与 讨论， 时用开口方向与判别式．
当 时，原不等式化为 ，恒成立，符合题意；
当 时，需 且 ，即 ．
综上 ，即 的取值范围是 ]．故选 C．
4.（2024·常州月考）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】“凑项”使积为定值：把 拆成 ，再对前两项用基本不等式．
因为 ，所以 ，从而
，
当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ．故选 C．
5.（2023·扬州期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】用“ 的代换”：把 乘以条件中的 ，展开后凑两项之积为定值．
因为 ，所以
．
由 得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故选 A．
6.（2025·南通期末）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】把条件化为 ，再用基本不等式求 的最小值．
由 得 ，即 ．
因为 ，，所以 ，，从而
，
当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ．故选 B．
7.（2022·镇江月考）若 ，且关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A. ] B. [ C. D. ]
【答案】D
【分析】先因式分解得 ，再讨论两根大小，用“恰含 个整数”确定端点范围．
原不等式即 ．若解集非空且含 个整数，需 ，此时解集为 ．
解集 中的整数为 且不含 ，故 ；
当 时解集为 ，整数为 ，符合题意，
故 的取值范围是 ]．故选 D．
8.（2024·连云港期中）若不等式 对任意 ∈[] 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】恒成立问题分离参数得 ，再求 在区间上的最小值．
由 ∈[] 知 ，原不等式等价于 恒成立．
因为 ，当且仅当 时取等号，且 ∈[]，
所以 在 [] 上的最小值为 ，故 ．故选 A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023·泰州期中）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D.
【答案】ABD
【分析】和为定值，积有最大值；再对所求式作恒等变形，用基本不等式与完全平方判断最值．
对于 A，，当且仅当 时取等号，正确；
对于 B，，而 ，故 ，最小值为 ，正确；
对于 C，，由 得最小值为 而非 ，错误；
对于 D，，故 ，正确．故选 ABD．
10.（2025·盐城期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 方程 的两根分别为 和
C. D.
【答案】BCD
【分析】由解集形式判断开口方向，用“解集端点即方程根”并结合根与系数的关系判断各系数符号．
解集为区间 ，说明抛物线开口向下，即 ，A 错误；
由解集端点知 ， 是方程 的两根，B 正确；
因为 时函数值为 ，故 ，C 正确；
由 得 ，D 正确．故选 BCD．
11.（2022·徐州月考）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】ABC
【分析】先由基本不等式得 ，再逐项判断；D 需注意函数 在 ] 上的单调性．
由 得 ，当且仅当 时取等号．
对于 A，，正确；
对于 B，，正确；
对于 C，，正确；
对于 D，令 ]， 在 ] 上单调递减，
故最小值为 而不是 ，错误．故选 ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·淮安月考）若不等式 对任意 ∈[] 恒成立，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】分离参数得 恒成立，再求 在区间上的最大值．
原不等式等价于 对 ∈[] 恒成立．
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 的取值范围是 ．
13.（2025·宿迁期末）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】用“ 的代换”，把所求式乘以 ，展开后对两项用基本不等式．
因为 ，所以 ．
由 得 ，
当且仅当 时取等号，故最小值为 ．
14.（2023·南京期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】解集为空集等价于二次式恒大于零，由开口方向与判别式列不等式．
因为二次项系数 ，所以解集为空集等价于 ，
即 ，解得 ，故 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2024·苏州期中）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
【分析】先化为二次项系数为正，再因式分解求根，按“大于取两边、小于取中间”写解集．
（1）因式分解得 ，解得 或 ，
故解集为 ．
（2）两边同乘 得 ，即 ，
解得 ，故解集为 ．
16.（2025·常州期中）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
【分析】二次项系数含参，需先讨论 ； 时因式分解为 ，再比较 与 的大小．
当 时，原不等式化为 ，解得 ．
当 时，原不等式化为 ．
（1）当 时，，解得 ，解集为 ．
（2）当 时，不等式即 ：
若 ，则 ，解集为 ；
若 ，则 ，解集为 ；
若 ，则 ，解集为 ．
当 时，不等式即 ，而 ，
解集为 ．
17.（2023·无锡期末）（本题满分15分）已知关于 的不等式 与 ．
（1）若 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 对任意 ∈[] 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ∈[] 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
【分析】（1）用判别式；（2）（3）分离参数得 与 的大小关系，再求该式在区间上的最值，注意“恒成立”与“存在”的区别．
（1）由二次项系数 知恒成立等价于 ，解得 ．
（2）因为 ∈[]，所以 ，原不等式等价于 恒成立．
由 ，且 时 ， 时 ，
知 在 [] 上的最小值为 ，故 的最大值为 ，
所以 ．
（3）“存在”只需 小于 的最大值，
当 时取 ，有 成立；当 时 无解，
故 的取值范围是 ．
18.（2022·盐城月考）（本题满分17分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值；
（3）求 取最小值时 ， 的值．
【分析】（1）用“ 的代换”；（2）直接对 用基本不等式构造 ；（3）由取等条件与已知等式联立．
（1）因为 ，所以
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ．
（2）由 得 ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 的最小值为 ．
（3）由（1）知取最小值时 ，代入 得 ，
解得 ，，此时 ，符合题意．
19.（2024·徐州期末）（本题满分17分）某工厂要建造一个长方体形的污水处理池，池深 米，容积为 立方米，池底造价为每平方米 元，池壁造价为每平方米 元（池壁厚度忽略不计）．
（1）设池底矩形的一边长为 米，求总造价 （元）关于 的表达式，并写出 的取值范围；
（2）求总造价的最小值，并求此时池底两边的长；
（3）若要求总造价不超过 万元，求 的取值范围．
【分析】先由容积与深度求底面积，把四壁面积与底面面积用 表示，得总造价的函数式，再用基本不等式求最小值；（3）解一元二次不等式．
（1）池底面积为 （平方米），池底的另一边长为 米，．
池壁面积为 ，
所以 ，．
（2）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时另一边长也为 米，
故总造价的最小值为 元，即 万元，此时池底为边长 米的正方形．
（3）由 得 ，即 ，
因式分解得 ，解得 ，
故 的取值范围是 []．
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第3章 不等式 单元测试（基础版A）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.55）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·南京月考）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】用不等式的基本性质逐项判断，注意两边同乘（除以）负数时不等号方向要改变．
由 得 ，而 ，，故 ，A 错误；
因为 ，其中 ，，所以 ，故 B 错误；
因为 ，而 ，，所以 ，即 ，故 C 正确；
两个负数之和仍为负数，即 ，故 D 错误．故选 C．
2.（2023·苏州期中）不等式 的解集是（ ）
A. B. C. [] D.
【答案】A
【分析】把二次三项式因式分解，先求对应方程的根，再按“小于零取中间”写出解集．
原不等式等价于 ，
对应方程的两根为 和 ，二次项系数为正，故解集为 ，即 ．
故选 A．
3.（2025·无锡期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系求 ，．
由题意， 和 是方程 的两根，
故 ，，解得 ，．
所以 ．故选 B．
4.（2024·常州期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】积为定值 ，用基本不等式求“和”的最小值，并检验取等条件．
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故最小值为 ．故选 B．
5.（2023·南通月考）已知 ，，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】把 凑成 ，再用“和为定值，积有最大值”．
因为 ，，所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故 的最大值为 ．故选 A．
6.（2025·盐城期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】用“ 的代换”：把 乘以 ，展开后凑基本不等式．
因为 ，所以 ．
又 ，故 ，当且仅当 时取等号．
故 的最小值为 ．故选 C．
7.（2022·扬州期末）用长为 米的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设矩形的长与宽，由周长得“和为定值”，再用基本不等式求积的最大值．
设矩形的长为 米，宽为 米，则 ， 且 ．
面积 ，当且仅当 时取等号．
故菜园面积的最大值为 平方米．故选 D．
8.（2024·徐州期中）若不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】二次项系数为正的二次不等式恒成立，等价于判别式小于零．
因为二次项系数 ，所以 恒成立等价于 ，
解得 ．故选 B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2025·镇江期中）若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【分析】用不等式的乘方性质、倒数性质与作差法逐项判断．
对于 A，由 两边平方得 ，正确；
对于 B，由 得 ，两边同除以 得 ，正确；
对于 C，因为 ，所以 ，错误；
对于 D，，正确．故选 ABD．
10.（2023·泰州期末）已知 ，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ABC
【分析】逐项检验基本不等式的使用条件与取等条件，注意“ 的代换”求最小值．
对于 A， 时 ，当且仅当 时取等号，正确；
对于 B，，，故 ，当且仅当 时取等号，正确；
对于 C，，当且仅当 即 时取等号，最小值为 ，正确；
对于 D，，
当且仅当 时取等号，最小值为 而不是 ，错误．故选 ABC．
11.（2021·连云港月考）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【分析】由解集是开区间知抛物线开口向下，端点 ， 为对应方程的两根，再用根与系数的关系判断．
解集为两端点之间的区间，说明二次项系数 ，A 正确；
由题意 ， 是方程 的两根，故 ，，
从而 ，B 错误；，C 正确；
因为 时 ，即 ，D 正确．故选 ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·淮安期末）不等式 的解集为________．
【答案】[]
【分析】先两边同乘 并改变不等号方向，再因式分解求根．
原不等式等价于 ，即 ，
解得 ，故解集为 []．
13.（2025·宿迁期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】把所求式乘以 （其值为 ），展开后对两项使用基本不等式．
因为 ，所以 ．
由 ，得 ，
当且仅当 且 时取等号，故最小值为 ．
14.（2022·南京期末）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是________．
【答案】[]
【分析】二次项系数为正，恒成立等价于判别式不大于零．
由二次项系数 知恒成立等价于 ，
解得 ，故 的取值范围是 []．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2023·无锡月考）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】化二次项系数为正，因式分解求根；若判别式小于零，则结合二次项系数判断解集．
（1）因式分解得 ，解得 ，
故解集为 []．
（2）两边同乘 得 ，即 ，
解得 ，故解集为 ．
（3）因为 ，且二次项系数为正，
所以 恒成立，原不等式的解集为 ．
16.（2024·苏州月考）（本题满分15分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值，并指出此时 ， 的值．
【分析】（1）“和为定值，积有最大值”；（2）用“ 的代换”把所求式化为常数加两项之和．
（1）因为 ，，所以 ，
当且仅当 时取等号，故 的最大值为 ．
（2）因为 ，所以 ．
由基本不等式得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故所求最小值为 ．
17.（2025·常州期末）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
【分析】左边因式分解为 ，两个根的大小关系不确定，需按 与 的大小分类讨论．
原不等式可化为 ．
（1）当 时，，解得 ，解集为 ．
（2）当 时，，解集为 ；
当 时，，解集为 ；
当 时，，解集为 ．
18.（2022·盐城期中）（本题满分17分）某农户用长为 米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，靠墙的一边不需要篱笆）．
（1）设垂直于墙的一边长为 米，用 表示菜园的面积 ，并写出 的取值范围；
（2）求 的最大值，并求此时菜园两边的长；
（3）若要求菜园面积不小于 平方米，求 的取值范围．
【分析】先用篱笆长建立 与另一边的等量关系，把面积写成关于 的二次式，再用基本不等式或配方求最值；（3）化为一元二次不等式求解．
（1）平行于墙的一边长为 米，由 且 得 ，
所以 ，．
（2）因为 为定值，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时平行于墙的一边长为 米，
故 的最大值为 平方米．
（3）由 得 ，即 ，
因式分解得 ，解得 ，符合 ，
故 的取值范围是 []．
19.（2024·南通期末）（本题满分17分）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）解不等式 ；
（3）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
【分析】（1）用根与系数的关系；（2）代入后因式分解求解；（3）解集为空集等价于对应的二次式不小于零恒成立，用配方法求最小值．
（1）由解集知 ， 是方程 的两根，
所以 ，，解得 ，．
（2）原不等式即 ，因式分解得 ，
解得 或 ，故解集为 ．
（3）由（1）知不等式为 ，即 ．
因为 ，所以当且仅当 时该不等式无解，
故 的取值范围是 ．
苏教版必修一·第3章 不等式·基础版A 第 1 页 共 1 页
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第3章 不等式 单元测试（基础版B）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.55）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·无锡期中）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2023·常州月考）不等式 的解集是（ ）
A. [] B. C. ]∪[ D. []
3.（2025·扬州期末）已知不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4.（2024·镇江期中）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.（2023·泰州月考）已知 ，，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.（2025·徐州期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2022·淮安期末）用长为 米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，靠墙的一边不需要篱笆），则该菜园面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.（2024·连云港月考）若不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023·南京期中）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.（2025·苏州月考）已知不等式 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 该不等式的解集为 B. 是该不等式的解
C. 不等式 的解集为 D. 满足该不等式的整数 共有 个
11.（2022·盐城月考）下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·宿迁期末）不等式 的解集为________．
13.（2025·南通期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
14.（2021·镇江期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值集合为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2023·扬州月考）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
16.（2024·盐城期末）（本题满分15分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值．
17.（2025·泰州期中）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
18.（2022·无锡期末）（本题满分17分）用长为 米的篱笆围成一个矩形场地，中间用一道与一边平行的篱笆把它隔成两个小矩形，设垂直于隔断的一边长为 米．
（1）用 表示场地的面积 ，并写出 的取值范围；
（2）求 的最大值，并求此时场地的长与宽；
（3）若要求场地的面积不小于 平方米，求 的取值范围．
19.（2024·常州期末）（本题满分17分）已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）解不等式 ；
（3）若存在实数 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
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第3章 不等式 单元测试（拔高版B）
（用时：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2024·苏州期中）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】用作差法比较两个分式，注意分母为正时差的符号；也可用“同分子（分母）比较法”判断．
对于 A、B，，
由 知分子、分母均为正，故 ，A 错误，B 正确；
对于 C，由 得 ，C 错误；
对于 D，，故 ，D 错误．故选 B．
2.（2023·南京期末）满足不等式 的整数 的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先解不等式得解集，再数其中的整数．
原不等式等价于 ，解得 ．
其中的整数为 ，共 个．故选 C．
3.（2025·常州月考）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先讨论 ，再讨论 时的开口方向与判别式，注意“解集为空集”的等价条件．
当 时，不等式化为 ，解集为 ，不为空集，不合题意；
当 时，抛物线开口向下， 的解集必非空，不合题意；
当 时，需 ，即 ．
综上 ，即 的取值范围是 ．故选 B．
4.（2024·无锡期末）已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】“凑项”：把 写成 ，使前两项之积为定值．
因为 ，所以 ，从而
，
当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ．故选 B．
5.（2023·南通期中）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】用“ 的代换”，把 乘以 ，展开后凑两项之积为定值．
因为 ，所以
．
由 得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最小值为 ．故选 D．
6.（2025·盐城月考）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】把条件化为 ，再用基本不等式求 的最小值．
由 得 ，即 ．
因为 ，，所以 ，，于是
，
当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ．故选 C．
7.（2022·泰州期中）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，则实数 的取值范围是（ ）
A. [ B. C. [] D. ]
【答案】A
【分析】解集是两端点之间的开区间，其两个整数只能是 和 ，据此控制区间端点与整数的位置关系．
对应方程 的两根为 ，需 ．
解集是以 为中心的开区间，若其中恰有 个整数，则这两个整数必为 ，，
即解集左端点满足 ，右端点满足 ，
解得 ，即 ；
当 时解集为 ，整数为 ，，符合题意；当 时解集为 ，无整数，不合题意，
故 的取值范围是 [．故选 A．
8.（2024·宿迁月考）已知 ，，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】注意 为定值，用“ 的代换”把所求式乘以 ．
由 得 ，故
．
由 得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最小值为 ．故选 A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（2023·镇江期中）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】ABC
【分析】积为定值，和有最小值；再对所求式作恒等变形，注意 在 上单调递增．
对于 A，，当且仅当 时取等号，正确；
对于 B，，正确；
对于 C，，正确；
对于 D，令 ， 在 [ 上单调递增，最小值为 ，错误．故选 ABC．
10.（2025·连云港期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【分析】由解集在两根之外判断开口方向，再用根与系数的关系判断系数符号，用特殊点函数值判断 C．
解集为两根之外的区间，说明抛物线开口向下，即 ，A 正确；
由题意 ， 是 的两根，故 ，，
所以 ，D 正确；，B 正确；
因为 ，此时 ，即 ，C 错误．故选 ABD．
11.（2022·扬州月考）下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，，则
【答案】ACD
【分析】逐项用不等式的同向可加、同向同正可乘、乘方性质判断，注意取倒数时的符号要求．
对于 A，由 得 ，即 ，与 相加得 ，正确；
对于 B，取 ，，则 而 ，错误；
对于 C，由 得 ，两边同乘正数 、 得 ，正确；
对于 D，由同向同正不等式相乘得 ，正确．故选 ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024·常州期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是________．
【答案】[
【分析】分 与 讨论， 时由开口方向与判别式列不等式．
当 时，不等式为 ，恒成立，符合题意；
当 时，需 且 ，解得 ．
综上 ，即 的取值范围是 [．
13.（2025·南京期中）已知 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】把分子按 配方后拆项，化为“ 与 ”之和的形式，再用基本不等式．
因为 ，所以 ，且
，
当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ．
14.（2023·宿迁期末）已知 ，，且 ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】用“ 的代换”，把所求式乘以 后展开，再对两项用基本不等式．
因为 ，所以 ．
由 得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（2024·盐城期中）（本题满分13分）解下列不等式：
（1）；
（2）．
【分析】先化二次项系数为正，再因式分解求根写解集．
（1）因式分解得 ，解得 ，
故解集为 []．
（2）两边同乘 得 ，即 ，
解得 ，故解集为 ．
16.（2025·泰州月考）（本题满分15分）解关于 的不等式 ．
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）讨论 的取值情况，写出不等式的解集．
【分析】二次项系数含参，先讨论 ； 时因式分解为 ，再比较 与 的大小．
当 时，原不等式化为 ，解得 ．
当 时，原不等式化为 ．
（1）当 时，，解得 ，解集为 []．
（2）当 时，不等式即 ：
若 ，则 ，解集为 []；
若 ，则 ，解集为 ；
若 ，则 ，解集为 []．
当 时，不等式即 ，而 ，
解集为 ．
17.（2023·徐州期末）（本题满分15分）已知关于 的不等式 ．
（1）若该不等式对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若该不等式对任意 ∈[] 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ∈[] 使不等式 成立，求实数 的取值范围．
【分析】（1）用判别式；（2）（3）分离参数后换元 ，把 与 比较，再求该式在区间上的最值．
（1）由二次项系数 知恒成立等价于 ，
即 ，解得 ．
（2）因为 ∈[]，所以 ，原不等式等价于 恒成立．
令 ∈[]，则 ．
该式在 [] 上单调递增，在 [] 上单调递减，故最大值为 （此时 ），
所以 ．
（3）“存在”只需 的最大值，即 ；
当 时 无解，不合题意，故 的取值范围是 ．
18.（2022·连云港期中）（本题满分17分）已知 ，，且 ．
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值；
（3）求 的最小值．
【分析】（1）凑成“”用和为定值求积的最大值；（2）（3）都用“ 的代换”，把所求式乘以 后对两项用基本不等式．
（1）因为 ， 且 ，所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最大值为 ．
（2）因为 ，所以
，
当且仅当 时取等号，故最小值为 ．
（3）因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故最小值为 ．
19.（2024·淮安期末）（本题满分17分）某单位建造一间地面面积为 平方米的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米 元，房屋两个侧面的造价为每平方米 元，屋顶和地面的造价共 元，墙高为 米，房屋背面的造价忽略不计．设房屋正面的长（与墙平行）为 米．
（1）求房屋总造价 （元）关于 的表达式，并写出 的取值范围；
（2）求总造价的最小值，并求此时房屋正面的长；
（3）若要求总造价不超过 元，求正面长 的取值范围．
【分析】用地面面积与正面长表示侧面边长，把正面与两侧面的面积用 表示后写出总造价，再用基本不等式求最小值；（3）解一元二次不等式．
（1）侧面边长为 米，正面面积为 ，两侧面面积共 ，
所以 ，．
（2）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故总造价的最小值为 元，此时正面的长为 米（侧面边长 米）．
（3）由 得 ，即 ，
因式分解得 ，解得 ，
故 的取值范围是 []．
苏教版必修一·第3章 不等式·拔高版B 第 1 页 共 1 页
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第3章不等式单元测试（基础版A)
(用时：120分钟满分：150分
难度系数：0.55)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024南京月考)若<b<0,则下列不等式一定成立的是()
A.a'<b2
B含
C.ab-b2
D.+b>0
【答案】C
【分析】用不等式的基本性质逐项判断，注意两边同乘（除以）负数时不等号方向要改变，
由K×0得a2-b2=(a-b)(a+b),而a-b0,a+b0,故心2>b2,A错误：
因为含台其中ba0,0,所以片营放B错误：
因为ab-b2=b(a-b),而b0,a-b<0,所以ab-b2>0,即ab>b2,故C正确：
两个负数之和仍为负数，即什b0,故D错误.故选C.
2.（2023·苏州期中)不等式x2-5x+6<0的解集是（)
A.(2,3)
B.(-o,2)U(3,+o)
C.[2,3]
D.0
【答案】A
【分析】把二次三项式因式分解，先求对应方程的根，再按“小于零取中间写出解集，
原不等式等价于(x-2)x-3)大0，
对应方程的两根为2和3，二次项系数为正，故解集为{x」2<x<3},即(2,3).
故选A.
3.(2025·无锡期末)若关于x的不等式x2+x+b<0的解集为{x|1<x<3},则a叶b的值为()
A.1
B.-1
C.4
D.-4
【答案】B
【分析】由解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系求α，b.
由题意，1和3是方程x2++b=0的两根，
故1+3=-a,1×3=b,解得F-4,b=3.
所以什b=-4+3=-1.故选B.
4.(2024常州期中)已知x>0,则x+4的最小值为()
A.2
B.4
C.2W2
D.8
【答案】B
【分析】积为定值4，用基本不等式求“和”的最小值，并检验取等条件.
因为0，所以x+2x4,
当且仅当x=即=2时取等号.
故最小值为4.故选B.
苏教版必修一·第3章不等式基础版A第1页共5页
5.（2023南通月考)已知x>0,>0,且x+2=4,则xy的最大值为()
A.2
B.4
C.8
D.16
【答案】A
【分析】把y凑成号x·2少，再用“和为定值，积有最大值”.
因为x0,2>0,所以2xy=x·2≤(4)2-4，
即x2,当且仅当x=2=2,即x=2,y=1时取等号
故xy的最大值为2.故选A.
6.(2025盐城期中)已知心0，b>0,且+号1，则a+b的最小值为()
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【分析】用1的代换”：把+b乘以+片展开后凑基本不等式。
因为合+号，所以a(a+0+2++号
又+22，故a+4,当且仅当ab2时取等号.
故+b的最小值为4.故选C
7.(2022扬州期末)用长为20米的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为()
A.16
B.20
C.24
D.25
【答案】D
【分析】设矩形的长与宽，由周长得“和为定值”，再用基本不等式求积的最大值
设矩形的长为x米，宽为y米，则>0，y>0且x+=10.
面积S二≤()2=25，当且仅当y与5时取等号，
故菜园面积的最大值为25平方米.故选D,
8.(2024徐州期中)若不等式x2-2x+心0对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是()
A.nK<1
B.>1
C.21
D.n<l
【答案】B
【分析】二次项系数为正的二次不等式恒成立，等价于判别式小于零，
因为二次项系数1>0，所以x2-2x+心0恒成立等价于△=4-4K0,
解得>1.故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2025·镇江期中)若心b>0,则下列不等式成立的是()
A.ab2
B
c.8
D.atbt日
【答案】ABD
【分析】用不等式的乘方性质、倒数性质与作差法逐项判断.
对于A,由a心b>0两边平方得>b2,正确：
对于B,由b0得ab0,两边同除以山得正确：
对于C,因为心b>0,所以<1<，错误：
对于D,abab密0，正确，放选ABD.
苏教版必修一·第3章不等式基础版A第2页共5页
10.(2023·泰州期末)已知x>0,y>0,则下列结论正确的是()
A+2
B.+>2
C.x2+的最小值为2
D.若x+=2,则二+1的最小值为4
【答案】ABC
【分析】逐项检验基本不等式的使用条件与取等条件，注意“1的代换”求最小值.
对于A,心0时+≥2x-2,当且仅当1时取等号，正确：
对于B,0,>0,故计2，当且仅当时取等号，正确：
对于C,x2+≥2，当且仅当x2=1即x=1时取等号，最小值为2，正确：
对于D,+++》2+2
当且仅当可=1时取等号，最小值为2而不是4，错误.故选ABC
11.(2021·连云港月考)己知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则下列结论正
确的是()
A.a<0
B.b<0
C.c<0
D.+b+c=0
【答案】ACD
【分析】由解集是开区间知抛物线开口向下，端点1,2为对应方程的两根，再用根与系数的关系判断，
解集为两端点之间的区间，说明二次项系数K0,A正确：
由题意1,2是方程am2+bx+c=0的两根，故1+2-合1×2号
从而b--3>0,B错误；c=20,C正确：
因为x=1时2+bx+c0,即a+b+c=0,D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024准安期末)不等式-x2+2x+3≥0的解集为
【答案】[1,3]
【分析】先两边同乘-1并改变不等号方向，再因式分解求根.
原不等式等价于x2-2x-3≤0，即(-3)x+1)≤0，
解得-1sx≤3，故解集为[-1,3]，
13.(2025宿迁期中)己知心0，b>0,且+2b=1,则+号的最小值为
【答案】3+2W2
【分析】把所求式乘以什2b(其值为1)，展开后对两项使用基本不等式.
因为a2bl1,所以+号哈+片a2b=3+兰+
由兽+25，得之325，
当且仅当√2b且+2b=1时取等号，故最小值为3+2W2.
14.(2022南京期末)若不等式x+ax+40对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
【答案】[-4,4]
【分析】二次项系数为正，恒成立等价于判别式不大于零.
由二次项系数1>0知恒成立等价于△=2-16≤0，
解得-4≤4，故α的取值范围是[-4,4)
苏教版必修一·第3章不等式·基础版A第3页共5页
四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2023无锡月考)（本题满分13分)解下列不等式：
(1)x2-3x-4≤0：
(2)-x2+4x-3>0:
(3)x2-2x+3<0.
【分析】化二次项系数为正，因式分解求根：若判别式小于零，则结合二次项系数判断解集，
(1)因式分解得(x-4)x+1)0,解得-1≤4，
故解集为[-1,4].
(2)两边同乘-1得x2-4x+3<0,即x-1)-3)0,
解得1<x<3,故解集为(1,3).
(3)因为△4-12=一8<0，且二次项系数为正，
所以x2-2x+3>0恒成立，原不等式的解集为0.
16.(2024苏州月考)（本题满分15分）己知心0，b>0,且+b-1.
(1)求ab的最大值：
(2)求1+的最小值，并指出此时a,b的值.
【分析】(1)“和为定值，积有最大值”：(2)用1的代换”把所求式化为常数加两项之和.
(1)因为心0，b>0所以bs(曾)2=
当且仅当b时取等号，故ab的最大值为
(2)因为a+bl,所以台+2（日+8ab-5++会
由基本不等式得2号≥24，
所以+之9，当且仅当b-2a,即b=号时取等号，
故所求最小值为9.
17.(2025·常州期末)（本题满分15分）解关于x的不等式x2-(+1)x+K0.
(1)当=2时，求不等式的解集；
(2)讨论a的取值情况，写出不等式的解集，
【分析】左边因式分解为x-1)x-),两个根的大小关系不确定，需按α与1的大小分类讨论，
原不等式可化为(x-1)x-)<0.
(1)当2时，(x-1)x-2)0,解得1<x<2,解集为(1,2).
(2)当a>1时，1<x<a,解集为(1，)：
当F1时，(x-1)2<0,解集为0：
当aK1时，K<1,解集为(a,1).
18.(2022盐城期中)（本题满分17分）某农户用长为36米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足
够长，靠墙的一边不需要篱笆)·
(1)设垂直于墙的一边长为x米，用x表示菜园的面积S,并写出x的取值范围：
(2)求S的最大值，并求此时菜园两边的长：
(3)若要求菜园面积不小于144平方米，求x的取值范围.
【分析】先用篱笆长建立x与另一边的等量关系，把面积写成关于x的二次式，再用基本不等式或配方求
最值：(3)化为一元二次不等式求解.
(1)平行于墙的一边长为(36-2x)米，由x>0且36-2x>0得0Kx<18,
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所以S-x(36-2x)=-2x2+36r,x∈(0,18).
(2)因为2x+(36-2)=36为定值，所以S二·2x·36-2x)(9)2=162,
当且仅当2=36-2x,即x=9时取等号，此时平行于墙的一边长为18米，
故S的最大值为162平方米.
(3)由S2144得-2x2+36x2144,即x2-18x+72s0
因式分解得(x-x-12)0,解得6≤≤12，符合0<x<18,
故x的取值范围是[6,12].
19.(2024·南通期末)（本题满分17分）己知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<3}.
(1)求实数ab的值：
(2)解不等式bx2-ax+1>0:
(3)若关于x的不等式x2+ax+bk<0的解集为g,求实数k的取值范围，
【分析】(1)用根与系数的关系；(2)代入后因式分解求解：(3)解集为空集等价于对应的二次式不
小于零恒成立，用配方法求最小值
(1)由解集知1,3是方程x2+ax+b=0的两根，
所以1+3=-4,1×3=b,解得=-4，b=3,
(2)原不等式即3x2+4x+1>0,因式分解得(3x+1)x+1)>0,
解得xK-1或-子故解集为(o,-1)U←+o).
(3)由（1)知不等式为x2-4x+3-K0,即x2-4x+3<k.
因为x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1，所以当且仅当-1时该不等式无解，
故k的取值范围是-1.
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第3章不等式单元测试（拔高版B)
(用时：120分钟
满分：150分
难度系数：0.35)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024苏州期中)若心b>0,则下列不等式一定成立的是()
A号
B号删
c品品
D.5+1
aa+l
2.（2023·南京期末)满足不等式x2-3x-4≤0的整数x的个数为(
A.4
B.5
C.6
D.7
3.(2025·常州月考)若关于x的不等式x2-2x+K0的解集为0，则实数m的取值范围是()
A.(0,1)
B.(1,+o)
C.21
D.<1
4(2024无锡期末)已知心-1，则x+号的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.8
5.(2023南通期中)已知心0，b>0,且2+1=1，则什2b的最小值为()
A.4
B.6
C.9
D.8
6.(2025盐城月考)已知x>0,>0,且x+y+y8,则x+y的最小值为(
)
A.2
B.3
C.4
D.6
7.(2022泰州期中)若关于x的不等式x2-3x+K0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围是
()
A.[0,2)
B.(0,2)
C.[0,2]
D.(0,2]
8.(2024宿迁月考)已知心0，b>0,且什b=4,则↓+4的最小值为(
a+1+1
A月
B.2
c
D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2023镇江期中)已知>0，b>0,且ab-1,则下列结论正确的是()
A.a+b≥2
B+2
C.d2+b2≥2
D.什b叶1的最小值为2
10.(2025·连云港期末)已知关于x的不等式axr2+bx+c<0的解集为(-0，一2)U(3,+o),则下列结论正确的
是()
A.0
B.c>0
C.-b+c<0
D.b>0
11.(2022·扬州月考)下列命题正确的是()
A.若心b,c>d,则a-db-c
B.若。分则心b
C.若心b>0,则a>b3
D.若a心b>0,c>d0,则ac>bd
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2024常州期末)若关于x的不等式ax2++1>0的解集为R,则实数a的取值范围是
13.(2025:南京期中)已知心1，则的最小值为
苏教版必修一·第3章不等式拔高版B第1页共3页
14.(2023宿迁期末)已知心0，b>0,且什b=1,则4+的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2024盐城期中)（本题满分13分）解下列不等式：
(1)3x2-5x-20:
(2)-x2+6x-5>0.
16.(2025·泰州月考)（本题满分15分）解关于x的不等式ax2-(a什2)x+20.
(1)当1时，求不等式的解集；
(2)讨论a的取值情况，写出不等式的解集.
17.(2023·徐州期末)（本题满分15分）已知关于x的不等式x2+ax++3≥0.
(1)若该不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围：
(2)若该不等式对任意x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围：
(3)若存在x∈[0,2]使不等式x2+ax+a+3<0成立，求实数a的取值范围.
18.(2022·连云港期中)（本题满分17分）已知x>0,>0,且x+2=1.
(1)求y的最大值：
苏教版必修一·第3章不等式拔高版B第2页共3页
(2)求+号的最小值：
(3)求+的最小值.
X1
19.（2024淮安期末)（本题满分17分）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，
房屋正面的造价为每平方米1200元，房屋两个侧面的造价为每平方米800元，屋项和地面的造价共5800
元，墙高为3米，房屋背面的造价忽略不计.设房屋正面的长（与墙平行）为x米.
(1)求房屋总造价y(元)关于x的表达式，并写出x的取值范围：
(2)求总造价的最小值，并求此时房屋正面的长；
(3)若要求总造价不超过41800元，求正面长x的取值范围，
苏教版必修一·第3章不等式拔高版B第3页共3页苏教版高中数学必修第一册
第3章不等式单元测试（基础版B)
(用时：120分钟满分：150分
难度系数：0.55)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.(2024无锡期中)若心b>0,则下列不等式一定成立的是()
A分活
B.1
C.i<g
D.d<ab
【答案】C
【分析】用不等式的倒数性质与两个正数比较大小的方法逐项判断.
对于A、C,由ab0知ab0,两边同除以ab得台台即台故A错误，C正确：
对于B,因为心b>0,所以<1，B错误；
对于D,2-ab-a(a-b)>0,故a2>ab,D错误.故选C.
2.(2023·常州月考)不等式x2+2x-8≤0的解集是()
A.[-2,4]
B.(-2,4)
C.(-0,-2]U[4,+o)
D.[-4,2]
【答案】A
【分析】因式分解求方程的两根，再按“小于零取中间、含等号取闭写出解集
原不等式等价于(+4)化-2)上0，
解得-2≤x≤4，故解集为[-2,4.故选A.
3.(2025·扬州期末)已知不等式x+x+q0的解集为{x|-2<x<1},则p+q的值为()
A.1
B.-1
C.2
D.-3
【答案】B
【分析】解集端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系先求p,q:
由题意-2和1是方程x2+x+=0的两根，
故-2+1=-p,(-2)×1=q,即=1，q-2.
所以叶F-1.故选B,
4(2024镇江期中)已知>1，则x+片的最小值为（)
A.2
B.3
C.4
D
【答案】B
【分析】“凑项：把x写成(x-1)+1,使两项之积为定值，再用基本不等式.
因为>1，所以x-1>0,从而
+1+12-)+13,
当且仅当x-1=1,即x=2时取等号，故最小值为3.故选B.
苏教版必修一·第3章不等式基础版B第1页共5页
5.（2023泰州月考)已知x>0,>0,且2x+=8,则xy的最大值为()
A.4
B.6
C.16
D.8
【答案】D
【分析】把y写成号2x·,用“和为定值，积有最大值”.
因为2x>0,>0,所以2xy=2x·(2)2=16
即≤8，当且仅当2xy=4,即x=2,y=4时取等号.
故xy的最大值为8.故选D.
6.(2025徐州期中)己知a>0,b>0,且a+b-4,则二+的最小值为()
A月
B.1
C.2
D.4
【答案】B
【分析】把所求式乘以（其值为1），展开后对两项使用基本不等式。
4
因为at4,所以+号a+b+)》2++9).
由+2得+×41，
a b4
当且仅当b=2时取等号，故最小值为1.故选B.
7.（2022准安期末)用长为24米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，靠墙的一边不需要篱
笆)，则该菜园面积的最大值为()
A.48
B.64
C.72
D.96
【答案】c
【分析】设垂直于墙的一边长为x,则另一边为24-2x,把面积写成二次式后求最大值.
设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(24-2x)米，0<<12.
面积Sx24202x·(24-2x()2=72
当且仅当2=24-2x,即=6时取等号，故面积的最大值为72平方米.故选C.
8.（2024连云港月考)若不等式x2+2x+20对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是()
A.m21
B.>1
C.n1
D.nK<1
【答案】A
【分析】二次项系数为正的二次不等式恒成立，等价于判别式不大于零.
由二次项系数1>0知恒成立等价于△=4-4≤0，
解得21.故选A.
苏教版必修一·第3章不等式基础版B第2页共5页
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.(2023·南京期中)已知心0，b>0,且ab=4,则下列结论正确的是()
A.a+b的最小值为4
B+号的最小值为1
C.2+b2的最小值为8
D.什b的最大值为4
【答案】ABC
【分析】积为定值，和有最小值；再对所求式作恒等变形后逐项检验，
对于A,什b22Vd-4,当且仅当b-2时取等号，正确：
对于B,+=≥4=1，当且仅当b=2时取等号，正确：
a b ab4
对于C,心+b之2b=8,当且仅当=b=2时取等号，正确：
对于D,a+b没有最大值（如a8,b时a+b=号>4），错误.故选ABC
10.(2025·苏州月考)己知不等式x2-2x-3<0,则下列结论正确的是()
A.该不等式的解集为{x|-1<<3}
B.x=-1是该不等式的解
C.不等式x2-2x-3>0的解集为{x|x<-1或>3}
D.满足该不等式的整数x共有3个
【答案】ACD
【分析】先解不等式得解集，再逐项检验元素是否属于解集及整数解的个数：
由x-3)x+1)大0得-1<x<3,故解集为{x|-1<x<3},A正确：
对于B,当x=-1时x2-2x-30,不满足小于零，B错误：
对于C,由(x-3)x+1)>0得x<-1或x>3,C正确：
对于D,满足条件的整数为0,1,2，共3个，D正确.故选ACD.
11.(2022盐城月考)下列命题正确的是（)
A.若心b则ac2>bc2
B.若心b,c>d,则a叶c>bd
C.若心b,ab>0,则。分
D.若心b,c<d,则Lc>b-d
【答案】BCD
【分析】逐项用不等式性质判断，特别注意乘数的符号以及c=0的特殊情形.
对于A,当c=0时c2=bc2=0,不成立，A错误：
对于B,这是同向不等式相加，正确：
对于C,由ab0知a,b同号，两边同除以b得号云即。分正确：
对于D,由c<d得-c>-d,与心b相加得c>b-d,正确.故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（2024宿迁期末)不等式x2-x-6>0的解集为
【答案】(-o,-2)U(3,+o)
【分析】因式分解求根，按“大于零取两边”写出解集.
原不等式等价于(x-3)x+2)>0,解得x<2或x>3,
故解集为(-oo,-2)U(3,+0)
苏教版必修一·第3章不等式基础版B第3页共5页
13.(2025南通期中)已知心0，>0，且x中=1，则+的最小值为
【答案】16
【分析】用“1的代换”，把所求式乘以x+y后展开，再对两项使用基本不等式.
因为*1，所以+号-+*10+号
x y
由+≥2W-6得1+9≥16，
X12
当且仅当=3x,即x=子厂时取等号，故最小值为16。
14.(2021·镇江期末)若关于x的不等式x2+x+1<0的解集为0，则实数m的取值集合为
【答案】[-2,2]
【分析】解集为空集说明对应的二次式不小于零恒成立，由判别式不大于零求解，
因为二次项系数1>0，所以解集为空集等价于△=2-4≤0，
解得-2≤≤2，故m的取值集合为[-2,2].
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(2023·扬州月考)（本题满分13分）解下列不等式：
(1)x2-5x-6≤0：
(2)2x2-3x-2>0:
(3)x2-6x+10<0.
【分析】先化二次项系数为正，再因式分解求根写解集；判别式小于零时直接判断解集，
(1)因式分解得(x-6)x+1)上0，解得-1≤x≤6，故解集为[-1,6.
(2)因式分解得(2x+1)x-2)>0,解得x<-号或心2，
故解集为(-o,-)U(2,+o).
(3)因为△=36-40=-4<0，且二次项系数为正，所以x2-6x+10>0恒成立，
故原不等式的解集为⑦.
16.（2024盐城期末)（本题满分15分）已知x>0,>0,且2x+y=1.
(1)求xy的最大值：
(2)求+号的最小值
【分析】(1)把y凑成·2x·y:(2)用1的代换"后对两项用基本不等式.
(1)因为20,0，所以20=2x·(22=
即行当且仅当2xy=子即x=子=时取等号，
故y的最大值为。
(2)因为2x+y=1,所以1+1=(+)2x+y)=3++2”
由+22V2得+≥3+22，
当且仅当2x,即x,2-1时取等号，
故最小值为3+2√2，
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17.（2025·泰州期中)（本题满分15分）解关于x的不等式x2-(什2)x+2K0.
(1)当=3时，求不等式的解集：
(2)讨论α的取值情况，写出不等式的解集，
【分析】左边因式分解为(x-2)x-,两根大小不定，需按α与2的大小关系分类讨论.
原不等式可化为-2)x-)水0，
(1)当=3时，(x-2)x-3)0,解得2<x<3,解集为(2,3).
（2)当心2时，2<x<a,解集为(2，：
当F2时，(x-2)2<0,解集为0：
当K2时，Kx<2,解集为(a,2).
18.(2022无锡期末)（本题满分17分）用长为60米的篱笆围成一个矩形场地，中间用一道与一边平行
的篱笆把它隔成两个小矩形，设垂直于隔断的一边长为x米
(1)用x表示场地的面积S,并写出x的取值范围：
(2)求S的最大值，并求此时场地的长与宽：
(3)若要求场地的面积不小于135平方米，求x的取值范围，
【分析】篱笆共由三段“x”与两段“另一边组成，据此建立等量关系，再用基本不等式求面积最大值：
(3)化为一元二次不等式。
(1)垂直于隔断的一边共出现三次，故与隔断平行的另一边长为0”米，
由x>0且60-3x>0得0<<20，
所以S0_3x2+30x,x∈0,20).
(2)因为3x+(60-3x)=60为定值，所以
S日3x(60-3x(9)2=150,
当且仅当3x=60-3x,即x=10时取等号，此时另一边长为15米，
故S的最大值为150平方米.
(3)由52135得-3x2+30x2135,即x2-20x+90s0,
解得10-V10≤10+V10,符合0<x<20,
故x的取值范围是[10-V10,10叶√10]、
19.(2024·常州期末)（本题满分17分）已知关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为{x|2x<4}
(1)求实数b,c的值：
(2)解不等式cx2-bx+1<0:
(3)若存在实数x使不等式x+b.x+c<成立，求实数m的取值范围
【分析】(1)用根与系数的关系；(2)代入后因式分解：(3)存在性成立等价于大于二次式的最小
值.
(1)由解集知2,4是方程x2+bx+c=0的两根，
所以2+4=-b,2×4=℃，解得b-6,c-8.
(2)原不等式即8x2+6x+1<0,因式分解得(4x+1)(2x+1)<0,
解得-子故解集为(，)
(3)由(1)知不等式为x2-6x+8<m,
因为x2-6x+8-=(x-3)2-12-1,
所以当且仅当心-1时存在实数x使不等式成立，
故的取值范围是心-1.
苏教版必修一·第3章不等式基础版B第5页共5页
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