第3章不等式测试卷·拔高卷一-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026~2027学年高一数学章节测试卷 第三章 不等式 拔高卷（一） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 3. 已知，，，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 4. 若对任意实数都有，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 或 C. 或 D. 且 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 7. 已知，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. 且 C. 且 D. 且 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 的最小值为 10. 设为实数，则下列说法正确的是（　　） A. 若对任意实数恒成立，则 B. 若的解集为空集，则 C. 不论取何值，都一定有解 D. 若有解，则 11. 设，，且，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值是____________． 13. 若不等式无解，则实数的取值范围是____________． 14. 当时，的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为正实数，解关于的不等式． （1）把不等式左边写成两个一次因式的积，并写出对应方程的两根； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 16. 设，，且． （1）求的最小值及此时，的值； （2）若不等式对满足条件的一切，都成立，求实数的取值范围． 17. 已知关于的不等式． （1）若该不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围； （2）若该不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）若不等式的解集非空，求实数的取值范围． 19. 设正实数，满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高一数学章节测试卷 第三章 不等式 拔高卷（一） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把乘以条件中的，展开后出现互为倒数的两项，再用基本不等式． 【详解】由得， 因为，，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以最小值为． 故选：A． 2. 若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次项系数含参数，必须先讨论它是否为零，再对开口方向与判别式提出要求． 【详解】当时，原不等式化为，对任意实数恒成立，符合题意； 当时，要使恒成立，需且， 解得且． 综上，实数的取值范围是且． 故选：C． 3. 已知，，，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用条件中的常量作“乘法代换”，展开后凑成积为定值的两项． 【详解】因为，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当时取等号，所以最小值是． 故选：B． 4. 若对任意实数都有，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 或 C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】二次项系数为正，恒成立等价于判别式不大于零，注意端点可以取到． 【详解】因为二次项系数为，所以对任意实数都有等价于， 解得且． 故选：D． 5. 已知正实数，满足，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把看作一个整体，用基本不等式把换成这个整体，得到关于它的不等式． 【详解】设，由基本不等式得， 因为，两边平方得，所以， 当且仅当且，即，时取等号，所以最小值为． 故选：A． 6. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】“解集为空集”与“恒不小于零”互相等价，注意判别式可以等于零． 【详解】因为二次项系数为正，所以的解集为空集等价于对任意实数成立， 即， 解得且． 故选：C． 7. 已知，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用表示，把分子化成后再用基本不等式． 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以最小值为． 故选：B． 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. 或 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由解集端点得到根与系数的关系，把，都用表示，再代回新不等式求解． 【详解】由解集为知，且与是方程的两根， 所以，，即，． 代入得，又，两边同除以得， 即， 所以解集为且． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用“和为定值”把，与倒数和都化为只含的式子来估计． 【详解】A：由知A正确； B：，B正确； C：，C正确； D：的最小值为，D错误． 故选：ABC． 10. 设为实数，则下列说法正确的是（　　） A. 若对任意实数恒成立，则 B. 若的解集为空集，则 C. 不论取何值，都一定有解 D. 若有解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先配方得到的最小值，再用“有解”与“恒成立”对应最小值的大小关系判断． 【详解】因为，所以它的最小值为（当时取得）． A：恒大于零等价于，即，正确； B：解集为空集等价于恒成立，即，正确； C：可以取到任意大的值，所以不论取何值不等式一定有解，错误； D：有解等价于，即，正确． 故选：ABD． 11. 设，，且，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】把条件分别与、的不等式联立，得到关于与的一元二次不等式． 【详解】A：设，由及得，即，所以，A正确； B：设，由及得，即，所以，即，B正确； C，D：当时，，两个下界都能取到，所以C正确，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】把乘以条件中的，展开后凑出互为倒数的两项． 【详解】由条件得， 因为，，所以， 所以，当且仅当，时取等号． 13. 若不等式无解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】无解即不等式恒不成立，转化为二次三项式恒大于零，由判别式求解． 【详解】不等式无解，等价于对任意实数成立， 所以， 解得． 14. 当时，的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】把拆成，凑出积为定值的两项． 【详解】因为，所以，所以， 当且仅当即时取等号，所以最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）设为正实数，解关于的不等式． （1）把不等式左边写成两个一次因式的积，并写出对应方程的两根； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 【答案】（1），两根为和； （2）当时解集为，当时解集为空集，当时解集为． 【解析】 【分析】因式分解后二次项系数为正，解集是两根之间的部分，只需按两根的大小分类． 【详解】（1），所以对应方程的两根为与． （2）二次项系数，所以解集是两根之间的部分， 当时，，解集为； 当时，原不等式为，无解，解集为空集； 当时，，解集为． 【点睛】二次项系数为正时不必讨论开口方向，只需按两根的大小分三种情况，别漏掉两根相等的情形． 16. （15分）设，，且． （1）求的最小值及此时，的值； （2）若不等式对满足条件的一切，都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小值为，此时，；（2）． 【解析】 【分析】（1）用条件中的作乘法代换，展开后凑出互为倒数的两项；（2）恒成立转化为式子最小值与的大小关系． 【详解】（1）因为，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当即时取等号，结合得，，所以最小值为． （2）由（1）知的最小值为， 要使对满足条件的一切，都成立，只需， 所以的取值范围是． 【点睛】“1”的代换是基本不等式求和的最小值的常用技巧，关键是把常数乘到所求式子上而不改变其值． 17. （15分）已知关于的不等式． （1）若该不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围； （2）若该不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）且；（2）． 【解析】 【分析】（1）二次项系数为正，恒成立等价于判别式小于零；（2）分离参数后转化为求在上的取值范围． 【详解】（1）因为二次项系数为，所以解集为全体实数等价于，解得且． （2）当时，原不等式等价于． 设，则， 因为，，所以，从而， 即在上随的增大而增大，所以当时． 要使对一切成立，只需． 【点睛】分离参数后要注意最值能否取到：在上取不到，所以可以等于． 18. （17分）已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （3）若不等式的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由解集端点得两根与开口方向，用根与系数的关系求，；（2）（3）把问题转化为二次三项式的最大值与的比较． 【详解】（1）由解集为知，且与是方程的两根， 所以，，解得，． （2）原不等式即， 因为，所以当时取得最大值， 要使的解集为空集，只需． （3）要使的解集非空，只需小于的最大值，即． 【点睛】“解集为空集”与“解集非空”互为补集关系，注意端点处取不取等号的区别． 19. （17分）设正实数，满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】把与看作两个整体，用基本不等式建立它们的不等关系；第（3）问先由条件得到． 【详解】（1）由及得， 因为，所以，当且仅当时取等号，所以最小值为． （2）由得，因为，所以，即， 当且仅当时取等号，所以最小值为． （3）由得，即． 若，则由得，与矛盾，所以，同理， 所以，当且仅当时取等号，所以最小值为． 【点睛】双变量问题常把与当成两个整体，用基本不等式写出它们之间的不等关系，再把条件代入解不等式． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $