甘肃省兰州市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026—2027 学年第一学期高一年级月考 数学学科 考试时长：120 分钟 满分：150 分 命题老师：刘慧荣 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．设全集 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知函数 ，函数 的图象如图所示，则 （ ） A． B． C． D． 3．不等式 的解集是 （ ） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 是 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的值为 （ ） A． B． C． 或 D． 7．已知正实数 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 8．给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集；②若 ，则 ； ③若 ，则 或 ；④． 其中真命题有 （ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错误选项得 0 分．） 9．以下四个命题中，是真命题的有 （ ） A．若 ，则 B．命题“，”的否定是“，” C．， D．已知 ，，则 是 的必要不充分条件 10．已知函数 的值域是 ，则 的定义域可能是 （ ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是 （ ） A． 与 表示同一个函数 B．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 C．关于 的方程 有两正根的充要条件是 D．设正实数 满足 ，则 的最大值为 三、填空题（每题 5 分，共 15 分．） 12．满足 条件的集合 的个数为 ． 13．已知 ，则 的最小值为 ． 14．已知命题 ，，命题 ，，若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15．（13分） （1）设已知 ，，，试比较 与 的大小，并说明理由； （2）已知 ，，．求证：． 16．（15分） 已知集合 ，． （1）若 ，求 ，； （2）若 ，求实数 的取值范围． 17．（15分） 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为 米，宽为 米． （1）若菜园面积为 平方米，则 为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为 米，则 为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为 米，求 的最小值． 18．（17分） 已知函数 （）． （1）若 ，求函数 在区间 上的最大值； （2）若不等式 的解集为 ，求实数 的值； （3）若 ，解关于 的不等式 ． 19．（17分） 三元均值不等式：“当 均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当 时等号成立．”利用上面结论，解决下列问题： （1）当 时，求 最小值； （2）当 时，求 最大值； （3） 且 ，证明：． 2026—2027 学年第一学期高一年级月考 数学学科·参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．【答案】D 【分析】先写出全集，再求补集． 【解答】 ，， 所以 ．故选D． 2．【答案】A 【分析】先由图读出 的值，再代入 ． 【解答】 由图象可知，当 时 ， 所以 ．故选A． 3．【答案】C 【分析】移项通分，化为整式不等式，注意分母不为零． 【解答】 ，即 ，即 ， 等价于 ，即 且 ， 解得 ．故选C． 4．【答案】A 【分析】分别解两个不等式，比较两个解集的包含关系． 【解答】 由 得 ； 由 得 ，即 ． 因为 ，所以 而 不能推出 ，即 是 的充分不必要条件．故选A． 5．【答案】D 【分析】被开方数恒非负，即二次函数的最小值不小于零． 【解答】 需 对任意实数 成立， 需 ，即 ， 解得 ．故选D． 6．【答案】B 【分析】由韦达定理把 用 表示，注意判别式大于零与两根存在． 【解答】 由题意 ，即 ，且 ，即 ， 又 ， 由 得 ，符合上述条件．故选B． 7．【答案】A 【分析】用“ 的代换”把 与 相乘，再用基本不等式． 【解答】 ， 当且仅当 ，结合 得 时取等号， 所以 的最小值为 ，故 ．故选A． 8．【答案】C 【分析】逐条判断真假：子集个数、交集相等的反例、集合相等的元素对应、集合的表示． 【解答】 ①错误：空集只有一个子集（它本身）； ②错误：取 ，，，则 ，但 ； ③正确：由集合相等得 ，即 ，满足“ 或 ”； ④正确：两集合都是不大于 的实数组成的集合，只是字母不同． 所以真命题有 个．故选C． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．【答案】CD 【分析】逐项判断：不等式的性质、含量词命题的否定、二次式的符号、充分必要条件的推理． 【解答】 A项：取 ，，则 ，，， 不成立，错误； B项：含量词命题的否定应保持条件中的范围不变，即应为“，”，错误； C项： 恒成立，正确； D项：，， 而 不能推出 ，所以 是 的必要不充分条件，正确． 故选CD． 10．【答案】ACD 【分析】由值域反推自变量的取值范围：既要取到 （ 在定义域内），又要取到 （ 在定义域内），且不能出现 的点． 【解答】 等价于 ，即要求定义域为 的子集，且必须含有 与 （或 ）． A项： 含 ，且是 的子集，符合； B项： 中的 使 ，不符合； C项： 含 ，符合； D项： 含 ，符合． 故选ACD． 11．【答案】BCD 【分析】逐项判断：同一函数的条件、抽象函数的定义域、方程有两正根的条件、最值． 【解答】 A项： 与 的对应关系不同，不是同一函数，错误； B项： 的定义域为 ，则 ，即 的定义域为 ；由 得 ，正确； C项：需 、、，三者取交得 ，正确； D项：由基本不等式 ，当 时取等号，正确． 故选BCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．【答案】 【分析】先确定 必须含有的元素，再确定还可任选的元素． 【解答】 由 知 ；由 知 只能由 组成， 所以 由 加上 的任意子集构成， 共有 个． 13．【答案】 【分析】用“ 的代换”：把所求式子与 相乘，再用基本不等式． 【解答】 因为 ，所以 ，， ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． 14．【答案】 【分析】分别把“ 真”“ 假”转化为关于 的不等式，再取交集． 【解答】 真：，即 ； 假：方程 无实根，，即 ． 两者同时成立需 ，故取值范围为 ． 四、解答题（共77分） 15．【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）作差比较；（2）先比较分母的大小，再用 时不等号方向改变． 【解答】 （1）． 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ． （2）因为 ，，所以 ， 于是 ，即 ，所以 ； 又 ，两边同乘 （不等号方向改变）得 ． 16．【答案】（1），；（2） 【分析】（1）代值求交集与并集；（2）按 是否为空集分类． 【解答】 （1）当 时，，又 ， 所以 ，． （2）当 ，即 时，，符合； 当 时，，由 得 且 ，解得 ，结合 得 ． 综上，． 17．【答案】（1）， 时最小；（2）， 时最大；（3）最小值为 【分析】篱笆只围三条边，总长为 ，再分别用基本不等式求最值． 【解答】 由题意，篱笆总长为 ． （1） 时，， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，此时篱笆总长最小． （2） 时，， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，此时菜园面积最大． （3），由 得 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 18．【答案】（1）；（2），；（3）见解析 【分析】（1）配方或用端点与顶点比较；（2）用韦达定理；（3）因式分解后按 的符号与两根大小分类． 【解答】 （1）， 在 上，，，， 所以最大值为 ． （2）由解集为 知 ，且 是 的两根， 由韦达定理 ，得 ； 又 ，即 ，得 ． （3）当 时， 即 ，即 ，即 ． 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 或 ； 当 时，，解集为 或 ． 19．【答案】（1）最小值为 ；（2）最大值为 ；（3）证明见解析 【分析】（1）（2）把式子拆成三项，凑成“积为定值”后用三元均值不等式；（3）先用三元均值不等式放缩，再证明 ． 【解答】 （1）， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． （2）， 当且仅当 ，即 时取等号，故最大值为 ． （3）由三元均值不等式，， 因为 ，所以上式右边 ． 又由均值不等式 ， 所以 ，从而 ， 故原不等式成立，当且仅当 时取等号． 学科网（北京）股份有限公司 $