甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（15分）兰州一中2024-2025-1学期12月月考 高一数学 答题卡 15.（13分） 姓名： 贴条形码区 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 注 意 事 项 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 一、单项选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题 6分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 班级： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 3页（共 6页） 数 学 第 1页（共 6页） 数 学 第 2页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 数 学 第 6页（共 6页） 数 学 第 4页（共 6页） 数 学 第 5页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（17分）17.（15分） 答案第 1页，共 4页 兰州一中 2024-2025-1学期 12月月考试题 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150分,考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C D C D D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0 分. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、非选择题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 12． 1 3 13．9 14．  1,3 四、解答题：本题共 5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)解（1）原式 2 13 3 23 1 10 4 10( 5 2)1 10 5 1 2 500 9 5 45 2                         4 16710 5 10 5 20 1 9 9        . （2）原式   1 1 12 5 2 5 5log 5 9 2log 2 log 50 log 18 4         5 5 51 log 9 1 log 50 log 18 4        5 5 5log 9 log 25 2 log 18 4     5 5 5log 9 2 log 2 log 18 4      5 5log 2 9 2 log 18 4 6      ； （3）           π 3πsin cos tan π cos sin tan2 2 cos tan π sin π tan sin                                       题号 9 10 11 答案 CD ABC CD 答案第 2页，共 4页 16．(15分)解（1）因为 π2sin(π ) sin 32 3π 135cos 3cos(2π ) 2 x x x x                ， 所以 2sin cos 3 5sin 3cos 13 x x x x    ，所以 2 tan 1 3 5 tan 3 13 x x    ，解得 tan 2x  ； （2）因为 sin x ， cos x是方程 2 0x mx n   的两个根，所以 sin cos sin cos x x m x x n     ， ∴  22 3 sin cos 3sin cos 1 5sin cosm n x x x x x x      ， 又 2 2 2 2 sin cos tan 2 2sin cos sin cos tan 1 2 1 5 x x xx x x x x        ，∴ 2 23 1 5 3 5 m n     ． 17.（15分） .1)( .1,22,0240)( 24)(0m.1 121 1 的零点是函数 即则令 时，当）（ 解： xf xxf xf xxxx xx      .01 .01 , ,0 2 2 044 ,0)0( 002 2)( .2,02 .22)2(222)(2 2 x 2x 22 ），的取值范围是（实数 ）上有两解，，在（方程 是单调函数，有两个零点，且函数 则，显然令 ）（                    m m m mf mtt txf mttytt mmxf xxxx  18.(17分)（1）当 10 2 t  时，设 y kt ，将 1 ,2 2       代入 y kt 得 12 2 k ， 解得 4k  ，此时， 4y t ； 当 1 2 t  时，设 ( 0ty ma a  且 1)a  ，将 1 , 2 2       ､（1，1 )代入 ty ma 得 1 22 1 ma ma     ， 答案第 3页，共 4页 解得 1 4 4 a m      ，此时， 1 14 4 4 t ty        . 综上： 1 14 ,0 2 14 , 2 t t t y t        . （2）当 10 2 t  时， 4 0.08t  ，解得 10.02 2 t  当 1 2 t  时， 14 0.08t  ，即 ln5 1 ln2 2 t   而 ln5 1 2.83 ln2 2   ，故 1 2.83 2 t  药效时间 2.83 0.02 2.81   所以，药效时间 2.81小时. 19．(17分) 解（1）  2( ) log 4 1xf x mx   定义域为 R. 因为 ( )f x 为偶函数，所以 ( 1) (1)f f  ，即    21 12log 4 1 log 4 1m m      ，解得：m=-1. 此时，  2( ) log 2 2x xf x   所以  2( ) log 2 2 ( )x xf x f x    所以  2( ) log 2 2x xf x   为偶函数， 所以 m= -1. （2）当 0m  时，不等式  4 4 1 log (2 1) 2 x x f a    可化为： 2 4 1 log (2 2) 2 x x a    ， 即 2 4 1 log (2 2) 2 x x a    对任意 1x  恒成立. 记    14 1 2 2 , 2 x x x xg x x     ，只需   2min log (2 2)g x a  . 因为 2xy  在  1, 上单增， 2 xy   在  1, 上单增， 所以   2 2x xg x   在  1, 上单增， 所以    min 1 31 2 2 2 g x g    ， 答案第 4页，共 4页 所以  2 3log 2 2 2 2 1 0 a a        ，解得： 1 2 1 2 a    ， 即实数 a 的取值范围为 1 , 2 1 2       . （3）当 0m  时，  2log 4 1xy   在 R上单增， y mx 在 R上单增，所以    2log 4 1xf x mx   在 R上单增且    020 log 4 1 1f    . 则  24 2 1 48 log 2log 4 1f x x m        可化为    24 2 1 48 log 2log 4 0f x f x m        . 又因为  f x 在 R上单增，所以  24 2 1 48 log 2 log 4 0x x m     ，换底得： 2 2 2 2 log 48 2log 4 0 log 4 x x m          ，即  22 2 42 log 2log 4 0x x m     . 令 2logt x ，则 30, 2 t      ，问题转化为 2 42 2 4 0t t m     在 30, 2 t     上有两根， 即 24 32 2 4, 0, 2 t t t m         ，令 2 1 32 2 4, 0, 2 y t t t          ， 2 4y m  ，分别作出图像如图所 示： 只需 4 94 2m   ，解得： 8 1 9 m  . 即实数 m 的取值范围为 8 ,1 9      . 答案第 1页，共 4页 兰州一中 2024-2025-1学期 12月月考试题 高一数学 命题人：张广平 审题人：达志虎 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150分,考试时间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1．已知集合    1 4 0A x x x    N ，  0 3B x x   ，则 A B  （ ） A． 1,2 B．  1,3 C． 2,3 D． 1,3 2．函数 3( ) lg 1f x x x    的零点所在区间为（ ） A．(0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4) 3．已知 1.13 3log 2, 2 , log 5a b c   ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A． c a b  B．b a c  C．b c a  D． c b a  4．幂函数   22 3( ) 1 m mf x m m x     在 (0, ) 上是增函数，则实数m的值为（ ） A．2或 1 B． 1 C．2 D． 2 或 1 5．若  0, π  ，且 1cos sin 2    ，则 tan （ ） A． 4 7 5  B． 4 7 5  C． 4 7 3  D． 4 7 3  6．已知函数      f x x a x b a b    的图象如下图所示，则   xg x a b  的图象可能是 （ ） A． B． 答案第 2页，共 4页 C． D． 7．若函数 2 1 2 ( ) log ( 3 )f x x ax a   在区间 (2, ) 上是减函数，则 a的取值范围为（ ） A． ( ,4] B． ( 4, 4] C．[ 4, 4) D．[ 4,4] 8．若定义在 R的奇函数 f(x)在 ( ,0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足 ( 1 0)xf x   的 x的取值范 围是（ ） A．[ )1,1] [3,  B． 3, 1] [ ,[ 0 1]   C．[ 1,0] [1, )   D．[ 1,0] [1,3]  二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项 符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0 分. 9．下列结论正确的是（ ） A．若角 为锐角，则角 2 为钝角 B． 4π 3  是第三象限角 C．若角 的终边过点  4 3P , ，则 4cos 5    D．若圆心角为 π 6 的扇形的弧长为 π 2 ，则该扇形面积为 3π 4 10．下列说法正确的是（ ） A．函数   221 2 x x f x        的单调增区间是  1, B．函数 1y x  与 3 3 1y x  是同一函数 C．函数   2 3 2 1 x xf x    ，则函数� = � � 的值域是 (1,3) D．已知函数  f x 的定义域为  1,3 ，则� 2� + 1 定义域为  1,1 11．已知函数   2 1xf x   ，实数 a，b满足    f a f b  a b ，则（ ） A． 2 2 2a b  B． a ，bR，使得0 1a b   C．2 2 2a b  D． 0a b+ < 答案第 3页，共 4页 第Ⅱ卷（非选择题） 三、非选择题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.） 12．已知 π 1sin( ) 3 3    ，则 πcos( ) 6   的值为 . 13．已知函数 1 1xy a   （ 0a  且 1a  ）的图象过定点  ,k b ，若m n k  且 0m  ， 0n  ， 则 4 1 m n  的最小值为 . 14．若函数   2 1 , 0 2 2 1, 0 x xf x x x x           ，若  f x 在区间  ,m n 上既有最大值，又有最小值， 则 n m 的取值范围是 . 四、解答题：本题共 5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)计算下列各式的值： (1) 2 1 1 03 227( ) (0.002) 10( 5 2) ( 2 3) 8        ； (2) 5log 45 0.5 5 5 1log 45 2log 2 log log 18 5 50     ； (3)化简：       π 3πsin cos tan π 2 2 tan π sin π                         . 16．(15分)已知 π2sin(π ) sin 32 3π 135cos 3cos(2π ) 2 x x x x                . (1)求 tan x的值； (2)若 sin x , cos x是方程 2 0x mx n   的两个根，求 2 3m n的值. 1( ) 4 2 . 0 ( ) ( ) x xf x m m f x f x m     17.(15分)已知函数 （1）当 时，求函数 的零点； （2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围. 18．(17分)某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在 0.5小时内按规定的剂量注射该 药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰 减，每升血液中的药物含量 y（毫克）与开始注射后的时间 t（小时）之间近似满足如图所 示的曲线， y与 t的函数关系为 ( 0ty ma a  且 1)a  .根据图中提供的信息： 答案第 4页，共 4页 (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量 y（毫克）关于时间 t（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于 0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？ （结果保留小数点后两位）.（参考值： ln2 0.69, ln5 1.61  ） 19．(17分)已知函数  2( ) log 4 1xf x mx   . (1)若 ( )f x 为偶函数，求实数 m的值； (2)当 0m  时，若不等式  4 4 1 log (2 1) 2 x x f a    对任意 1x  恒成立，求实数 a的取值范围； (3)当 0m  时，关于 x的方程  24 2 1 48 log 2log 4 1f x x m        在区间[1, 2 2]上恰有两个不 同的实数解，求实数 m的取值范围.