专题02勾股定理的应用期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题02勾股定理的应用期中复习讲义 ✵复习目标 能够将实际问题抽象为直角三角形模型，运用勾股定理及其逆定理进行求解； 掌握立体图形表面最短路径问题的解题思路，会将立体图形展开转化为平面图形； 会运用方程思想，结合勾股定理求解边长存在数量关系的问题； 规范书写解题过程，合理选用勾股定理或其逆定理解决问题。 ✵高频题型梳理 题型1.勾股定理与网格问题 题型2.梯子滑落高度问题 题型3.求旗杆高度问题 题型4.小鸟飞行距离问题 题型5.求大树折断前高度 题型6.水杯中筷子问题 题型7.求河宽问题 题型8.台阶上地毯长度问题 题型9.航海距离问题 题型10.判断汽车是否超速问题 题型11.判断是否受台风影响问题 题型12.选址使两地距离相等问题 题型13.求最短路径问题 题型14.勾股定理与折叠问题 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理实际问题解题步骤 1.依据题意绘制几何图形。 2.构造或确定直角三角形，区分直角边与斜边。 3.运用勾股定理或其逆定理列式求解。 4.结合实际意义检验结果，舍去负值。 知识点二、立体图形最短路径问题 基本原理：两点之间，线段最短。 求解立体图形表面两点间的最短路径，需将立体图形的表面展开至同一平面，再结合勾股定理计算线段长度。 圆柱侧面最短路径：沿圆柱母线将侧面剪开，展开得到长方形。长方形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边等于底面圆的周长，若两点为上下底面正对的点，则取周长的一半作为直角边，由此构造直角三角形，利用勾股定理求得两点间线段长，即为最短路径。 长方体表面最短路径：将长方体相邻两个面展开至同一平面。不同展开方式可构造不同的直角三角形，分别计算对应路径长度，取所得结果中的最小值，即为长方体表面两点间的最短路径。 知识点三、常见生活实际应用 梯子滑动问题：墙面与地面相互垂直，构成直角三角形。梯子作为斜边，长度保持恒定，借助勾股定理可求解梯子滑动后顶端的离地高度、梯脚的水平移动距离。 旗杆折断问题：旗杆未折断部分垂直于地面，折断部分为斜边，落地点到旗杆底部的水平距离为一条直角边，三者构成直角三角形，可求解旗杆原长与折断段的长度。 门框通行问题：长方形门框斜向可通行物体的最大长度等于门框对角线的长度。对比物体宽度与对角线长度，即可判断物体能否通过门框。 知识点四、方位与航海问题 正东、正西、正南、正北方向两两垂直。当物体沿互相垂直的两个方向运动时，两段运动路程作为直角边，利用勾股定理可求得两点之间的直线距离。 知识点五、勾股定理与逆定理综合应用 1.先判定，后计算：利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再运用勾股定理求解线段长度。 2.先计算，后判定：求出相关线段的长度，利用勾股定理的逆定理检验夹角是否为直角，用于实际工程的测量校验。 ✵易错提醒 1. 立体图形求最短路径，必须先展开为平面图形，不可直接在立体图上连线计算； 2.长方体表面路径问题，存在多种展开方案，必要时全部计算再比较； 3.线段长度为正数，解方程得到的负值要舍去； 4.梯子、芦苇类问题中，物体总长不变，是直角三角形的斜边； 5.求线段长度用勾股定理，判定垂直关系用勾股定理的逆定理，不要混用。 ✵典例精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由网格可知，，使用勾股定理计算出，再求出即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴． 2．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 3．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【答案】(1)如图所示，线段和线段为所求线段（答案不唯一）： (2)如图所示，图中三角形为所求三角形（答案不唯一）： 三角形面积为． 【分析】（1）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可； （2）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角边分别为和的直角三角形的斜边； ∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边． ∴线段只要满足条件即可． （2）解：∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边， 确定好该线段后，选择该线段的其中一点作长的边或者长的边， 顺次连接三点即可． 由图可知，三角形的面积． 题型2.梯子滑落高度问题 1．如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 【详解】解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 2．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 【答案】 【分析】设竹竿的长度为分米，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为分米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿的长度为分米． 3．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 【答案】云梯的底端在水平方向滑动了 【分析】利用勾股定理求出，的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∵云梯的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴， 答：云梯的底端在水平方向滑动了． 题型3.求旗杆高度问题 1．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，列方程组解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设旗杆高度为，利用勾股定理列出方程，然后联立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，则， 假设旗杆高度为， ∵， 由勾股定理得， ∴， 整理得①， 同理，由勾股定理得， 整理得②， 得，， ∴， ∴原旗杆的高度为10米， 故答案为：10． 2．如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得． 答：旗杆的高度为米． 3． “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝的垂直高度下降米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 题型4.小鸟飞行距离问题 1．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画出图形，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，过作于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下：其中，，， 两点间线段最短， 题目所求即为的长， 过作于点， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 2．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】13 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：表示大树，表示小树，过点作，垂足为， 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 3．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米． (1)他们踩坏了多少米长的草坪？ (2)少走的路为多少米？ 【答案】(1)50米 (2)20米 【详解】（1）解：∵在中，米，米，， ∴（米）， 答：他们踩坏了50米长的草坪． （2）解：由（1）已得：米， ∴（米）， 答：少走的路为20米． 题型5.求大树折断前高度 1．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为（     ） A．12米 B．16米 C．18米 D．20米 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出折断部分的长度，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得折断部分的长度为米， ∴树折断之前高为米． 2．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】 本题考查了列方程解决实际问题，此处可将问题抽象成直角三角形，折断后的竹子和抵地处离竹子底部的距离为直角边，折断的另一部分竹子为斜边，设折断后的竹子高度为尺，则斜边为尺，根据题意由勾股定理列方程即可． 【详解】略 3．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 【答案】这个梯子有米长． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得的长，然后再利用勾股定理求得斜边的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形． 【详解】解：由已知可得：米，米，米，米，， ∴米， ∴， ∴， ∴， ∵米， 由勾股定理得：， ∴（米），即这个梯子的长应是米， 答：这个梯子有米长． 题型6.水杯中筷子问题 1．如图，将一根竹筷贴近圆柱形竹筒内壁竖直放置，筷子露出，再将竹筷上端倾斜到对面内壁恰好完全放置在竹筒内（如图），已知竹筒底面圆的半径为（壁厚不计），则竹筒的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设竹筒的高为，根据图表示出竹筷的长度，再根据图利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设竹筒的高为，则竹筷的长为． 由图可知，竹筷、竹筒的高与底面直径构成直角三角形， 底面直径为． 根据勾股定理得：， 解得． 竹筒的高为． 2．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______． 【答案】15 【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高， ， ， ∴桶内所能容下的最长木棒为：． 3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 题型7.求河宽问题 1．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 2．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长_____m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 3．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1) 如图所示 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 题型8.台阶上地毯长度问题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 2．在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯，台阶的剖面图如图，地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同，地毯的长度至少为________ 【答案】17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 利用勾股定理求出另一条直角边的长，根据平移可知地毯的长度等于两直角边的和，然后进行计算即可解答． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个长方形， 根据勾股定理，可求得长方形的长为：， ∴地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 3．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 题型9.航海距离问题 1．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 2．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时它离出发点有________． 【答案】200 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意和勾股定理，得它离出发点有. 3．如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】（1）将现实生活问题转化为数学问题，利用勾股定理求出线段的长即可； （2）过点作交于点，利用等面积法求出即可； 【详解】（1）解：依题意海里，海里，， ∴（海里）； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴（海里）， 即救援快艇行驶的最短距离为海里． 题型10.判断汽车是否超速问题 1．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 2．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 3．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】没有超速 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得， ∴小汽车的速度为． ， ∴这辆小汽车没有超速． 题型11.判断是否受台风影响问题 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 2．若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是_________． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________． 【答案】 240 12 60 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可； （2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可； （3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解． 【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，   ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 解得， 故答案为：240； （2）如图，    当时，正好影响学校， ∴， ∴， ∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B， ∴， 故答案为：12； （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（）， ∴， ∴其行驶速度至少应增加到． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． 3．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2） 略 题型12.选址使两地距离相等问题 1．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 2．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求______km． 【答案】// 【分析】设，即可得到，结合于点A，于B根据勾股定理列式求解即可得到答案； 【详解】解：设，则， ∵，，，， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等， ∴，解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解． 3．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A处 【分析】设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等，即， ∴， ∴， 解得， ∴E应建在距A处． 题型13.求最短路径问题 1．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的处绕易拉罐圈后到达顶端的处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵易拉罐底面周长是，高是， 所以彩带最短是 ． 2．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走______米，踏之何忍”． 【答案】4/四 【分析】先根据勾股定理求得的长，再利用即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米， 在中，（米）， （米）． 3．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 【答案】10厘米；厘米；厘米；厘米 【分析】将长方体展开，利用两点间距离最短，以及勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，是长方体的侧面展开图， 根据题意可得，从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为， （厘米）； 缠绕2圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕3圈，则长方形的长变为， （厘米）； 缠绕圈，则长方形的长变为， （厘米）. 题型14.勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据折叠的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质可得：，，，设，根据折叠的性质可得：，利用勾股定理求出的值即为的长度，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 由折叠可知， 设， 则， 在中，， ， 解得：， ， 的面积为． 3．如图，在中，分别为边上的点，将沿折叠，使点C与点A重合，求的长． 【答案】的长为 【详解】解：由折叠的性质知，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得， 所以的长为． 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 2．如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________． 【答案】如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握若三角形三边长满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 先以结间距为单位确定三角形的三边长，再计算三边的平方，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，从而确定对应的判定依据． 【详解】解：设每个结间距的长度为，则三角形的三边长分别为 、、, ∵， ∴该三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方， ∴长为个结间距的边所对的角是直角，依据是如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 3．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中， ，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)元 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度，进而根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）求出总面积乘以100即可求得总花费． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 费用为：（元）； ∴铺满这块空地共需花费3600元． ✵分层专项训练 一、单选题 1．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得，，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，． 故选：D． 2．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒内的最长长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得， ∴这支铅笔在笔筒内的最长长度为． 3．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是． 二、填空题 4．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得． 5．如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 6．某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长______米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 三、解答题 7．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】 解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】略 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，， ∴， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理求得，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 答：台风影响海港持续的时间为． 9．综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理的应用期中复习讲义 ✵复习目标 · 能够将实际问题抽象为直角三角形模型，运用勾股定理及其逆定理进行求解； · 掌握立体图形表面最短路径问题的解题思路，会将立体图形展开转化为平面图形； · 会运用方程思想，结合勾股定理求解边长存在数量关系的问题； · 规范书写解题过程，合理选用勾股定理或其逆定理解决问题。 ✵高频题型梳理 题型1.勾股定理与网格问题 题型2.梯子滑落高度问题 题型3.求旗杆高度问题 题型4.小鸟飞行距离问题 题型5.求大树折断前高度 题型6.水杯中筷子问题 题型7.求河宽问题 题型8.台阶上地毯长度问题 题型9.航海距离问题 题型10.判断汽车是否超速问题 题型11.判断是否受台风影响问题 题型12.选址使两地距离相等问题 题型13.求最短路径问题 题型14.勾股定理与折叠问题 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理实际问题解题步骤 1.依据题意绘制几何图形。 2.构造或确定直角三角形，区分直角边与斜边。 3.运用勾股定理或其逆定理列式求解。 4.结合实际意义检验结果，舍去负值。 知识点二、立体图形最短路径问题 基本原理：两点之间，线段最短。 求解立体图形表面两点间的最短路径，需将立体图形的表面展开至同一平面，再结合勾股定理计算线段长度。 圆柱侧面最短路径：沿圆柱母线将侧面剪开，展开得到长方形。长方形的一组对边等于圆柱的高，另一组对边等于底面圆的周长，若两点为上下底面正对的点，则取周长的一半作为直角边，由此构造直角三角形，利用勾股定理求得两点间线段长，即为最短路径。 长方体表面最短路径：将长方体相邻两个面展开至同一平面。不同展开方式可构造不同的直角三角形，分别计算对应路径长度，取所得结果中的最小值，即为长方体表面两点间的最短路径。 知识点三、常见生活实际应用 梯子滑动问题：墙面与地面相互垂直，构成直角三角形。梯子作为斜边，长度保持恒定，借助勾股定理可求解梯子滑动后顶端的离地高度、梯脚的水平移动距离。 旗杆折断问题：旗杆未折断部分垂直于地面，折断部分为斜边，落地点到旗杆底部的水平距离为一条直角边，三者构成直角三角形，可求解旗杆原长与折断段的长度。 门框通行问题：长方形门框斜向可通行物体的最大长度等于门框对角线的长度。对比物体宽度与对角线长度，即可判断物体能否通过门框。 知识点四、方位与航海问题 正东、正西、正南、正北方向两两垂直。当物体沿互相垂直的两个方向运动时，两段运动路程作为直角边，利用勾股定理可求得两点之间的直线距离。 知识点五、勾股定理与逆定理综合应用 1.先判定，后计算：利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再运用勾股定理求解线段长度。 2.先计算，后判定：求出相关线段的长度，利用勾股定理的逆定理检验夹角是否为直角，用于实际工程的测量校验。 ✵易错提醒 1. 立体图形求最短路径，必须先展开为平面图形，不可直接在立体图上连线计算； 2.长方体表面路径问题，存在多种展开方案，必要时全部计算再比较； 3.线段长度为正数，解方程得到的负值要舍去； 4.梯子、芦苇类问题中，物体总长不变，是直角三角形的斜边； 5.求线段长度用勾股定理，判定垂直关系用勾股定理的逆定理，不要混用。 ✵典例精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 3．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 题型2.梯子滑落高度问题 1．如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 3．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 题型3.求旗杆高度问题 1．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为_______米． 2．如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 3． “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 题型4.小鸟飞行距离问题 1．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 2．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 3．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米． (1)他们踩坏了多少米长的草坪？ (2)少走的路为多少米？ 题型5.求大树折断前高度 1．如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为（     ） A．12米 B．16米 C．18米 D．20米 2．《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（丈=尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为______． 3．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 题型6.水杯中筷子问题 1．如图，将一根竹筷贴近圆柱形竹筒内壁竖直放置，筷子露出，再将竹筷上端倾斜到对面内壁恰好完全放置在竹筒内（如图），已知竹筒底面圆的半径为（壁厚不计），则竹筒的高为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______． 3．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 题型7.求河宽问题 1．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 2．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长_____m（结果精确到）．    3．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 题型8.台阶上地毯长度问题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 2．在高5m、长13m的一段台阶上铺地毯，台阶的剖面图如图，地毯的宽度与台阶的宽度恰好相同，地毯的长度至少为________ 3．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 题型9.航海距离问题 1．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 2．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时它离出发点有________． 3．如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 题型10.判断汽车是否超速问题 1．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 2．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 3．某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 题型11.判断是否受台风影响问题 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 2．若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是_________． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________． 3．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 题型12.选址使两地距离相等问题 1．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 2．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求______km． 3．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 题型13.求最短路径问题 1．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米，为了避免行人穿过草地（走虚线），践踏绿草，管理部门分别在，处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走______米，踏之何忍”． 3．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米？如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米？绕3圈呢？绕n圈呢？（保留根号） 题型14.勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 3．如图，在中，分别为边上的点，将沿折叠，使点C与点A重合，求的长． 题型15.勾股定理逆定理的实际应用 1．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 2．如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________． 3．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒内的最长长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 5．如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了________m． 6．某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长______米． 三、解答题 7．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 9．综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $