专题07一次函数的图象期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题07一次函数的图象期中复习讲义 1.作图方法：掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线；知道一次函数y=kx+b(k≠0)图象是一条直线，会用两点法作图，通常选取与 x 轴、y 轴交点(0,b)、(- ,0)；正比例函数图象是过原点(0,0)的直线。 2.k、b 的几何意义：理解k决定直线倾斜方向与增减性，|k|越大，直线越陡；b是直线与 y 轴交点的纵坐标，交点坐标为(0,b)。 k>0，y随x增大而增大，直线从左向右上升； k<0，y随x增大而减小，直线从左向右下降。 3.图象与象限：能根据k、b符号，判断一次函数图象经过哪几个象限；反过来，根据直线图象位置，判断k、b正负，求解参数。 4.直线间位置关系：理解当两个一次函数k相等、b不等时，两直线互相平行；k不同，两直线相交。 5.点与直线的关系：会判断一个点是否在一次函数图象上；已知图象上点的坐标，代入解析式求值或求参数。 6.数形结合应用：能从一次函数图象读取信息，比较函数值大小；结合图象，求解简单不等式、自变量取值范围。 7.易错点梳理 混淆k、b对图象的作用，错判经过的象限； 忽略(k≠0)这个前提条件； 由图象比较函数值大小时，忘记区分k正负； 实际情境的一次函数图象，要注意自变量范围，图象不一定是完整直线。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 用描点法画函数图象 ★ 题型八 一次函数图象平移问题 ★★★ 题型九 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十一 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十二 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十三 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:函数概念 1. 一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数 在一次函数 y=kx+b 中，当 b=0时，函数变为 y=kx（k 是常数，k ≠ 0），这样的函数叫做正比例函数。 3. 概念关系 正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数，正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 4. 概念判定要点 （1）解析式必须是关于自变量 x 的整式； （2）自变量 x 的次数为1； （3）一次项系数 k 不能为 0，若 k=0，该函数不再是一次函数。 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:正比例函数的图象性质 表达式 y=kx(k≠0) 自变量的取值范围 全体实数 形状 过原点的一条直线 图象 k的取值 k k 示意图 经过位置 第一.三象限 第二.四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 【补充】 正比例函数图像的位置和增减性由k决定。 2）正比例函数 y=kx(k≠0) 中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴。 知识点 03 一次函数y=kx+b图象形状与定点 1. 图象形状 一次函数 y=kx+b (k≠0)\) 的图象是一条直线，因此也叫直线y=kx+b。 2. 两点确定一条直线（画图最简方法） 两点确定一条直线，优先取直线与坐标轴交点，步骤固定： 求与y轴交点：令x=0，得 y=b，交点坐标 (0,b)； 求与x轴交点：令y=0，得 x=，交点坐标 (,0)； 在坐标系描出两点，连接成直线，标注解析式。 补充：正比例函数画图只需取 (0,0)和 (1,k) 两点即可。 知识点04:一次函数的图象与性质（重点） 知识点05:k、b 的几何意义（本章重难点） 1. 参数k：决定直线倾斜方向与增减性 k 的符号 增减性规律 图像倾斜特征 k>0 y 随 x 的增大而增大 直线从左往右向上爬升 k<0 y 随 x 的增大而减小 直线从左往右向下下降 2. 参数b：决定直线与y轴交点位置 b 叫做直线的纵截距，交点固定为 (0,b)： b 的符号 直线与y轴交点位置 b>0 交点在y轴正半轴（原点上方） b=0 交点为原点，函数为正比例函数 b<0 交点在y轴负半轴（原点下方） 知识点06:一次函数平移规律 知识点07:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点08:函数图象的画法（三步） 描点法作图 知识点 09 本章高频易错点 1画图只画线段，直线两端不延伸，不符合一次函数图象定义； 2.混淆k、b作用：分不清k管升降、b管与y轴交点； 3.平移规律记反：上下平移错改x，左右平移忘记给x整体加 / 减； 4.判断经过象限时符号判断错误，忽略k、b共同作用； 5.解不等式时看错直线上下，解集写反； 6.两点画图只找一个点，无法确定直线； 7.认为k越大直线越平缓（实际|k|越大越陡）； 8.平行直线判断漏看b不相等，只看k相等就判定平行。 题型一：正比例函数的图象 1．正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为______    3．已知，为常数，且，则下列四个选项中，可以表示一次函数与正比例函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 题型二：正比例函数的性质 4．已知点，都在直线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是___________．（用连接） 6．已知正比例函数（为常数）的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B．C．D． 题型三：判断一次函数的图象 7．一次函数（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C．D． 8．在平面直角坐标系中，一次函数图象可能是（   ） A．B． C．D． 9．若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A． B． C． D． 题型四：根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第________象限 11．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 12．一次函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 题型五：已知函数经过的象限求参数范围 13．如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件是___________ 14．如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是___________． 15．如图，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六：一次函数图象与坐标轴的交点问题 16．直线与x轴交于点A，则点A的坐标为____________________ 17．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为___________． 18．两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 题型七：用描点法画函数图象 19．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 20．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 21．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 题型八：一次函数图象平移问题 22．若一次函数的图像向右平移3个单位后表达式为，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是______． 24．如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 题型九：判断一次函数的增减性 25．已知点和点都在直线上，则与的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 26．在平面直角坐标系中，过点的直线l 经过第二、三、四象限．若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 27．已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十：根据一次函数增减性求参数 28．若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 29．设一次函数为常数，当时，该一次函数的最大值是7，则的值为_____ 30．若，是一次函数（为常数）图象上的两个点，下面三个结论：①；②；③．正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型十一：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 31．点，都在直线上，则a，b的大小关系是（     ） A． B． C． D． 32．已知点和点都在直线．上，则与的大小关系是________． 33．已知经过点的直线不经过第四象限，设，则s的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十二：比较一次函数值的大小 34．已知直线过点和，则________（填“”“”或“”）． 35．已知，是一次函数图象上的两个点，则____________（填“”、“”或“”） 36．如图，在直角坐标系中，有A，B，C，D四点．当时，直线的函数值分别是，，，，则这四个值中最大的是（ ） A． B． C． D． 题型十三：一次函数的规律探究问题 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 38．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 39．在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 解答题 40．已知一次函数． (1)用五点作图法画出函数的图象．并指出图象经过哪几个象限？ (2)试判断点，是否在此函数的图象上，并说明理由． (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积． 41．已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围； (4)当时，y有最大值8，求m的值． 42．小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 43．已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 44．已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”． (1)填空：下列互为“阶点”的是_________ ①点与点  ②与点   ③与点 (2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值． (3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值． (4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一次函数的图象期中复习讲义 1.作图方法：掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线；知道一次函数y=kx+b(k≠0)图象是一条直线，会用两点法作图，通常选取与 x 轴、y 轴交点(0,b)、(- ,0)；正比例函数图象是过原点(0,0)的直线。 2.k、b 的几何意义：理解k决定直线倾斜方向与增减性，|k|越大，直线越陡；b是直线与 y 轴交点的纵坐标，交点坐标为(0,b)。 k>0，y随x增大而增大，直线从左向右上升； k<0，y随x增大而减小，直线从左向右下降。 3.图象与象限：能根据k、b符号，判断一次函数图象经过哪几个象限；反过来，根据直线图象位置，判断k、b正负，求解参数。 4.直线间位置关系：理解当两个一次函数k相等、b不等时，两直线互相平行；k不同，两直线相交。 5.点与直线的关系：会判断一个点是否在一次函数图象上；已知图象上点的坐标，代入解析式求值或求参数。 6.数形结合应用：能从一次函数图象读取信息，比较函数值大小；结合图象，求解简单不等式、自变量取值范围。 7.易错点梳理 混淆k、b对图象的作用，错判经过的象限； 忽略(k≠0)这个前提条件； 由图象比较函数值大小时，忘记区分k正负； 实际情境的一次函数图象，要注意自变量范围，图象不一定是完整直线。 题型 考察方向 难度 题型一 正比例函数的图象 ★ 题型二 正比例函数的性质 ★★ 题型三 判断一次函数的图象 ★★ 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 ★★ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 ★★★ 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 ★★ 题型七 用描点法画函数图象 ★ 题型八 一次函数图象平移问题 ★★★ 题型九 判断一次函数的增减性 ★★ 题型十 根据一次函数增减性求参数 ★★★ 题型十一 由一次函数的增减性判断自变量的变化情况 ★★ 题型十二 比较一次函数值的大小 ★★ 题型十三 一次函数的规律探究问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:函数概念 1. 一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k ≠ 0的函数，叫做一次函数。 2. 正比例函数 在一次函数 y=kx+b 中，当 b=0时，函数变为 y=kx（k 是常数，k ≠ 0），这样的函数叫做正比例函数。 3. 概念关系 正比例函数是特殊的一次函数；一次函数包含正比例函数，正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 4. 概念判定要点 （1）解析式必须是关于自变量 x 的整式； （2）自变量 x 的次数为1； （3）一次项系数 k 不能为 0，若 k=0，该函数不再是一次函数。 左图一次函数 右图正比例函数 知识点02:正比例函数的图象性质 表达式 y=kx(k≠0) 自变量的取值范围 全体实数 形状 过原点的一条直线 图象 k的取值 k k 示意图 经过位置 第一.三象限 第二.四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 【补充】 正比例函数图像的位置和增减性由k决定。 2）正比例函数 y=kx(k≠0) 中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴。 知识点 03 一次函数y=kx+b图象形状与定点 1. 图象形状 一次函数 y=kx+b (k≠0)\) 的图象是一条直线，因此也叫直线y=kx+b。 2. 两点确定一条直线（画图最简方法） 两点确定一条直线，优先取直线与坐标轴交点，步骤固定： 求与y轴交点：令x=0，得 y=b，交点坐标 (0,b)； 求与x轴交点：令y=0，得 x=，交点坐标 (,0)； 在坐标系描出两点，连接成直线，标注解析式。 补充：正比例函数画图只需取 (0,0)和 (1,k) 两点即可。 知识点04:一次函数的图象与性质（重点） 知识点05:k、b 的几何意义（本章重难点） 1. 参数k：决定直线倾斜方向与增减性 k 的符号 增减性规律 图像倾斜特征 k>0 y 随 x 的增大而增大 直线从左往右向上爬升 k<0 y 随 x 的增大而减小 直线从左往右向下下降 2. 参数b：决定直线与y轴交点位置 b 叫做直线的纵截距，交点固定为 (0,b)： b 的符号 直线与y轴交点位置 b>0 交点在y轴正半轴（原点上方） b=0 交点为原点，函数为正比例函数 b<0 交点在y轴负半轴（原点下方） 知识点06:一次函数平移规律 知识点07:一次函数图象与坐标轴交点问题 一次函数 y=kx+b (k0)的图象与坐标轴的交点问 知识点08:函数图象的画法（三步） 描点法作图 知识点 09 本章高频易错点 1画图只画线段，直线两端不延伸，不符合一次函数图象定义； 2.混淆k、b作用：分不清k管升降、b管与y轴交点； 3.平移规律记反：上下平移错改x，左右平移忘记给x整体加 / 减； 4.判断经过象限时符号判断错误，忽略k、b共同作用； 5.解不等式时看错直线上下，解集写反； 6.两点画图只找一个点，无法确定直线； 7.认为k越大直线越平缓（实际|k|越大越陡）； 8.平行直线判断漏看b不相等，只看k相等就判定平行。 题型一：正比例函数的图象 1．正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 2．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、．若正比例函数与线段有交点，写出一个可能的值为______    【答案】（答案不唯一） 【分析】分别求正比例函数经过点和时的值，即可找到的取值范围，从而可选择一个合适值． 【详解】解：当正比例函数经过点第一象限时，， 当正比例函数经过点时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数比例系数，利用数形结合求出正比例函数系数的范围是解题关键． 3．已知，为常数，且，则下列四个选项中，可以表示一次函数与正比例函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关性质．根据正比例函数和一次函数的图像与性质逐一判断即可． 【详解】解：①当时，正比例函数的图象过第一、三象限； ，时，一次函数的图象过第一、二、三象限， ，时，一次函数的图象过第二、三、四象限， 故A、D错误； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限； ，时一次函数的图象过第一、三、四象限，故C错误； ，时一次函数的图象过第一、二、四象限，故B正确； 故选：B． 题型二：正比例函数的性质 4．已知点，都在直线上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据解析式可得y随x的增大而增大，再根据两点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，且， ∴． 5．如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是___________．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故； ②③过第二、四象限，故，； ②比③更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 6．已知正比例函数（为常数）的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象，根据正比例函数的性质得到，再分两种情况：当，时；当，时；分别根据一次函数的性质分析求解即可． 【详解】解：∵正比例函数（为常数）的函数值y随x的增大而增大， ∴， 当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，D选项符合条件． 故选：D． 题型三：判断一次函数的图象 7．一次函数（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， 只有C符合题意 故选：C． 8．在平面直角坐标系中，一次函数图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 当时，一次函数图象绕过第一，第二，第三象限，当时，一次函数图象绕过第二，第三，第四象限，据此 判断各选项即可． 【详解】解：当时，一次函数图象绕过第一，第二，第三象限，故A、B、C、D选项均不符合题意； 当时，一次函数图象绕过第二，第三，第四象限，故A、C、D选项均不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 9．若一次函数与，满足，且已知没有意义，则能大致表示这两个函数图象的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图象和性质，由没有意义可得，即可得直线与直线相交，再根据可知直线与轴的交点在直线与轴的交点上方，综合各选项即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵没有意义， ∴， ∴直线与直线相交， 又∵， ∴直线与轴的交点在直线与轴的交点上方， 综上各选项，只有选项符合题意， 故选：． 题型四：根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不过第________象限 【答案】 三 【分析】提取一次函数的系数和常数项，根据系数符号判断图象经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、二、四象限． ∴ 图象不经过第三象限． 11．已知一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过第_________象限． 【答案】一、二、三 【分析】根据y随x的增大而增大得到的取值范围，结合一次函数解析式进而确定该函数的图象经过的象限． 【详解】解：∵在一次函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴该一次函数的一次项系数大于0，常数项大于0， ∴该一次函数的图象经过第一、二、三象限． 12．一次函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限以及直线与轴的交点位置分别判断即可． 【详解】解：A、直线中，即，直线经过第一、二、三象限，则，故矛盾，错误； B、直线经过第一、二、三象限，则，即，直线经过第二、三、四象限，则，即，两者一致，故正确； C、直线经过第一、二、三象限，则，直线中，则，故矛盾，错误； D、直线中，则，直线经过第一、二、四象限，则，故矛盾，错误． 题型五：已知函数经过的象限求参数范围 13．如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件是___________ 【答案】 【详解】解：∵函数的图象经过第二、三、四象限， ∴函数图象与轴的交点在轴负半轴， ∴． 14．如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 15．如图，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象经过的象限以及与轴的交点位置判断的正负，再结合函数过特定点得到与的关系，进而分析各选项． 【详解】由一次函数的图象可得：，， 由一次函数的图象可得：，， ，选项A错误，不符合题意； 函数的图象比函数的图象更陡， ， ，选项B正确，符合题意； ，， ，选项C错误，不符合题意； ，， ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 题型六：一次函数图象与坐标轴的交点问题 16．直线与x轴交于点A，则点A的坐标为____________________ 【答案】/ 【分析】将代入即可求出横坐标，得到点A的坐标． 【详解】解：∵直线， 令，得， 解得， ∴点A的坐标为． 17．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用，关键是求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．先求出直线与坐标轴的交点坐标，，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，进而求出的长，即可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得，则； ∴， 当时，，则， ∴， ∴， ∵以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C， ∴， ∴， ∴C的坐标为， 故答案为∶． 18．两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；观察题中所给选项，根据图象逐项判断的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：A、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论一致，故本选项正确，符合题意； B、由的图象可知，；由的图象可知，，但是应该经过一、三象限，图像不正确，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由的图象可知，；由的图象可知，，两结论相矛盾，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型七：用描点法画函数图象 19．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 20．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 21．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 题型八：一次函数图象平移问题 22．若一次函数的图像向右平移3个单位后表达式为，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】一次函数的图像的平移规律为“左右平移，左加右减；上下平移，b上加下减”，据此求解即可．求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 【详解】解：一次函数的图像向右平移3个单位后，根据平移规律，该一次函数表达式变为，整理可得， ∵平移后的表达式为， ∴，解得． 23．如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的平移，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的平移法则“左减右加，上加下减”是解答本题的关键． 将直线按照平移法则平移后得到，函数图象过，将已知A、B、C坐标代入求出k值，根据题意得到k的取值范围即可． 【详解】解：∵，，是等腰直角三角形， ∴， 直线上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到解析式为：， ∴函数过点， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，． ∵点Q是等腰直角的“和雅点”， ∴或． 故答案为：或 24．如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线平移时的值不变，只有的值发生变化．由直线平移时值不变，设直线的函数表达式为，再将代入，得到，结合已知条件，求出的值，即可得答案． 【详解】解：∵直线沿轴向下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， ∵点是直线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 题型九：判断一次函数的增减性 25．已知点和点都在直线上，则与的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性分析即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴． 26．在平面直角坐标系中，过点的直线l 经过第二、三、四象限．若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第二、三、四象限且过点，得出y随x的增大而减小，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答． 【详解】解：∵过点的直线l 经过第二、三、四象限， ∴y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∴A、B、C均错； ∵点在直线l上，， ∴． ∴D正确． 故选：D． 27．已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 题型十：根据一次函数增减性求参数 28．若点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，，则k的值可能是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的增减性是关键．由题意可知y随着x的增大而增大，即得，所以，即可判断答案． 【详解】解：点和点都在（k为常数）的图象上，且当时，， 随着x的增大而增大， ， ， 的值可能是1． 故选：D． 29．设一次函数为常数，当时，该一次函数的最大值是7，则的值为_____ 【答案】2 【分析】一次函数的增减性由的符号决定，因此需要对的取值分情况讨论．如果，那么一次函数在自变量取值范围内随自变量的增大而增大，所以在区间的右端点处取得最大值，代入函数表达式建立关于的方程求解．如果，那么一次函数在自变量取值范围内随自变量的增大而减小，所以在区间的左端点处取得最大值，代入函数表达式建立关于的方程求解并判断． 【详解】一次函数的增减性由的符号决定，分两种情况讨论： 当时：随的增大而增大， 因此在范围内，取最大值4时，取得最大值7． 代入得：， 解得，符合的前提． 当时：随的增大而减小， 因此在范围内，取最小值2时，取得最大值7． 代入得， 解得，不符合的前提． 仅时的情况成立， 因此的值为2． 30．若，是一次函数（为常数）图象上的两个点，下面三个结论：①；②；③．正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，把，代入得，，然后分别求出、、的值，再进行判断即可得答案． 【详解】解：∵，是一次函数（为常数）图象上的两个点， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴，故③正确， 综上，正确的结论是②③， 故选：C． 题型十一：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 31．点，都在直线上，则a，b的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而增大， ∵点，都在该直线上，且， ∴． 32．已知点和点都在直线．上，则与的大小关系是________． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的比例系数的符号以及相应自变量的大小可得所求结果．此题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：直线，， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：或． 33．已知经过点的直线不经过第四象限，设，则s的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，进而得到，从而求得s的取值范围． 【详解】解：∵过点的直线不经过第四象限， ∴， 将代入直线,则，即, ∴，解得：， ∴， 当时，；当时，， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的增减性等知识点，求出s与a的函数关系式及a的取值范围是解答本题的关键． 题型十二：比较一次函数值的大小 34．已知直线过点和，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断一次函数的增减性，再根据点的横坐标大小比较纵坐标和的大小，也可将点的横坐标代入解析式求出，的值后直接比较． 【详解】解：在直线中，， ∴随的增大而减小． 已知两点坐标为和，两点横坐标分别为和， ∵， ∴． 35．已知，是一次函数图象上的两个点，则____________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 故答案为：． 36．如图，在直角坐标系中，有A，B，C，D四点．当时，直线的函数值分别是，，，，则这四个值中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，画出函数图象是解答本题的关键． 画出四条直线的函数图象即可找到当时函数值最大的直线． 【详解】解：如图所示， 由图象可知，直线所对应的函数值最大． 故选：C 题型十三：一次函数的规律探究问题 37．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 38．如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 39．在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点、的坐标；然后，将点、的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，找到规律，即可求解； 【详解】∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，则． ∵是等腰直角三角形，， ∴ 点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，则． ∵点、均在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式是， ∵点的横坐标相同，都是3，当时，， ∴ ， 同理可得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， 故选C． 解答题 40．已知一次函数． (1)用五点作图法画出函数的图象．并指出图象经过哪几个象限？ (2)试判断点，是否在此函数的图象上，并说明理由． (3)求此直线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) 如图： 函数图象经过第一、三、四象限 (2) 解：点在此函数图象上，点不在此函数图象上，理由如下： 对于点， 当时，， ∴点在此函数图象上； 对于， 当时，， ∴点不在此函数图象上； (3)4 【分析】本题考查了一次函数的图象，以及图象上点的坐标特征，与坐标轴围成的三角形面积等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）列表，描点，连线即可作图，即可判断经过的象限； （2）将点，代入函数解析式进行判断即可； （3）由（1）描点可得直线与坐标轴的交点坐标，即可求解三角形面积． 【详解】（1）解：列表 0 描点、连线，可得：函数图象经过第一、三、四象限； （2）略 （3）解：由描点可得，． ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为4． 41．已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而增大时，求m的取值范围； (2)若函数图像经过第一、二、三象限，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的取值范围； (4)当时，y有最大值8，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一元一次不等式的求解，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）根据一次函数的性质得到，然后解不等式； （2）根据一次函数的性质得到，然后解不等式组； （3）先确定解析式，再分别计算出当时，；当时，；然后根据一次函数的性质确定函数值的范围； （4）根据或两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：函数图像经过第一、二、三象限， ， 解得：； （3）， 函数解析式为：， ，y随x的增大而增大 当时，， 当时，， 当时，； （4）若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：， 若，即，此时时，y取最大值8， ， 解得：． 42．小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 2 3 ．．． （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）填表如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 2 1 2 3 ．．． （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； 探究二：右侧；1； 探究三：的值为1或5 【分析】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【详解】解：探究一：（1）把代入得：，填表略； （2）略 （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 43．已知一次函数的图象如图，点在x轴正半轴上，且坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；过点作x轴的垂线交直线于点；过点作直线的垂线交于x轴点，得到；……． (1)点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______；点的坐标是______； (2)①点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______； ②点在______（填“A”或“B”）上，其坐标为______． A．直线    B．轴 【答案】(1)；；； (2)①A；；②B； 【分析】（1）根据一次函数表达式求出点的坐标及点的坐标，进而求出结论； （2）根据题意可得，，（其中为自然数），据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：一次函数，当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； 当时，， ∴点的坐标是； ∵，， ∴； （2）解：①由（1）知：，，，，， 在中，当时，， ∴点的坐标是； 以此类推可得：，，（其中为自然数）， ∵， ∴点在直线上，其坐标为； ②∵， ∴点在轴上，其坐标为． 44．已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”． (1)填空：下列互为“阶点”的是_________ ①点与点  ②与点   ③与点 (2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值． (3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值． (4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值． 【答案】(1)②③； (2)； (3)； (4)的最大值为 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，整式的乘法等知识，熟练掌握一次函数性质以及理解题意是解题关键； （1）根据“阶点”的定义逐个判断即可； （2）先求出直线与x轴的交点坐标，然后根据“4阶点”的定义构建关于c的方程，然后解方程即可； （3）设直线上与点A互为“t阶点”的点为，根据“t阶点”的定义得出，整理得，根据直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，可得，然后解方程即可； （4）先根据题意求出，，然后根据“k阶点”和“阶点”的定义得出，，整理得，，两式相乘可求出，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵点与点， ∴，， 又， ∴， ∴点与点不是互为“阶点”； ∵与点， ∴，， ∴， ∴与点互为“阶点”； ∵与点， ∴，， ∴， ∴与点互为“阶点”； （2）解：令，解得， ∴交点坐标为， 根据题意，得， 解得； （3）解：设直线上与点A互为“t阶点”的点为， 则， 整理得， ∵直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”， ∴，且成立， ∴； （4）解：根据题意，得，， ∵P与N互为“k阶点”；Q与N互为“阶点”， ∴，， 整理得，， 两式相乘，得， 化简得， ∵， ∴n随m的增大而增大， ∵且， ∴当时，n有最大值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $