山西省定襄县定襄中学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D B B D AD ABD 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】，所以. 2．D 【详解】对于A选项，反比例函数的自变量的取值组成的集合为，故A错误； 对于B选项，2是素数但是2不是奇数，故B错误； 对于C选项，集合中有3个元素，所以有个真子集，故C错误； 对于D选项，，，要使， 则，解得；，解得， 所以方程的解集为，故D正确. 3．B 【分析】设，利用定义分析中元素的大小关系可判断①，分类讨论并利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断②. 【详解】对于①，想让元素个数达到最大值 10，则须避免产生符号不同的乘积， 否则正负分开计数容易导致总数受限，且容易产生相等值，也最好避免 0 的出现， 故设， ， 因为， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，则， 所以集合中元素个数的最大值为10个，故①正确； 对于②，由于集合B中没有0，所以集合A中没有0；设集合，且， 当时，，故集合B至少有3个负数， 与矛盾； 当时，， ， 故集合B至少有4个负数，与矛盾； 当时，， ，故集合B至少有3个负数，与矛盾； 当时，则集合， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 当时，与时的证明方法相同，可得集合A也不存在； 综上不存在四元集，使其生成集，故②错误. 4．B 【分析】根据集合的关系及集合的性质判断即可. 【详解】集合中和为11的数组：，，，，. 集合，即集合一定能找到两个元素和为11. 从每组数据中最多挑选出一个数字，最多挑选5个数字，任意两数和都不等于11， 故若要中一定存在两个元素和为11，选取元素个数需大于5，即5组数据中至少有1组两个数字都被选中， 因此的最小值为6. 5．D 【详解】对于①：因为，故①不正确； 对于②：因为，故②不正确； 对于③：因为，故③不正确； 对于④：把看作集合，可得，故④正确； 对于⑤：把看作元素，可得，故⑤正确； 对于⑥：把看作集合，可得，故⑥正确； 对于⑦：把看作集合，可得，故⑦不正确. 对于⑧：因为；故⑧不正确. 综上可得：只有④⑤⑥正确. 6．B 【分析】根据非空数集的性质，结合有理数、无理数的性质、子集的定义逐一判断即可. 【详解】①：是有限集，若， 所以为无限集，与是有限集矛盾， 所以，因此本序号说法正确； ②：，例如取，显然不成立，所以本序号说法不正确； ③：若，例如取，所以不成立，所以本序号说法不正确； ④：设， 显然当时， ， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，， 所以符合题中定义，因此本序号说法正确. 故选：B 7．B 【详解】设参加“非遗手工体验”的同学构成集合，参加“校园植物观察”的同学构成集合，参加“传统诗词诵读”的同学构成集合， 则集合的元素个数分别为，且集合的元素个数为， 可得韦恩图，如图所示：    由题意可得，则， 且，则， 即，解得， 所以同时参加了三项活动的人数为4. 8．D 【分析】根据题意，由充分条件以及必要条件的定义，逐一判断选项，即可得到结果. 【详解】对于A，由可得，即，解得， 由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，取，满足，此时， 所以“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由可得，解得， 因为区间是的真子集， 所以是的一个充分不必要条件，故C错误； 对于D，“一屋不扫，何以扫天下”的含义为：如果不能扫好小小的屋子，怎么能扫天下， 即能扫天下可以推出能扫屋子，所以“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件，故D正确. 9．AD 【详解】逐项判断：A 考查存在量词命题的否定，B 考查集合元素的属性，C 注意 的情形，D 先求 的元素个数． 【解答】对于A项：存在量词命题的否定是全称命题，， 的否定为 ，，故A正确； 对于B项：是数集， 是点集，二者不是同一个集合，故B错误； 对于C项：由 得 ．当 时 ，符合；当 时 ，由 或 得 或 ， 所以 的取值集合是 ，故C错误； 对于D项：由 且 得 ，即 ，所以 ，其子集个数为 ，故D正确． 10．ABD 【分析】若只有2个元素，记为，即，根据条件可判断A；分析可得或，从而求出，判断B；设集合含有3个元素，求得，再根据题意分析，可判断C，D. 【详解】若只有2个元素，记为，即， 所以. 因为中至少有2个元素，设， 则有， 所以或， 所以，即互为相反数，所以A正确. 若只有2个元素，则， 或， 所以，即一定有3个元素， 所以B正确. 若含有3个元素，设， 则， 此时，， 所以不可能存在含有3个元素的集合， 所以C错误，D正确. 11．AC 【详解】表示中元素都在内，则与没有公共元素， 反之，若与没有公共元素，则中元素都在内，即，故A正确； 不含任何元素，而集合中有一个元素，故不是同一个集合，故B错误； ，分子是奇数，，分子是整数， 故是的一部分，故C正确； 集合，真子集个数为，故D错误． 12． 【详解】是有序实数对，且满足，故． 13． 【分析】根据得出中的最小元素，分和两种情况依次验证集合中完全平方数的个数得出结果. 【详解】当时，，对于，1，2，…，集合中最小的元素， 中完全平方数的个数为奇数，则. (1)当时，，，此时中有2个完全平方数； 当时，，，此时中有2个完全平方数； 当时，，，此时中有4个完全平方数； 当时，，，此时中有5个完全平方数； (2)因为当，1，2，…时，一定为偶数. 当时，，，此时中有2个完全平方数； 当时，，，此时中有3个完全平方数； 综上所得，使集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数. 14． 【详解】当，，时，，因此， 但当，时，，所以，不能填等号， 故. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先由差集定义求出，再求. （2）先解绝对值不等式化简，再按差集定义取中不在中的元素. （3）由得,按,,讨论集合. 【详解】（1）由差集定义,且. 因为，,所以. 于是且. （2）由得,即. 又，由差集定义，. 当时，等价于，所以. （3）由得，其中. 当时，不成立，故，此时,所以符合题意. 当时，由得,即.由，需,解得； 左端点条件自动成立. 当时，由得,即.因，由需， 结合得；右端点条件自动成立. 实数的取值范围为. 16．(1)、 (2)至少含个元素，理由如下： 任取，由条件②知，，， 若、、中有两个相等，不妨设，可得， ，则方程无实数解， 同理可知，，即、、两两不相等，故中至少含个元素． (3) 【分析】（1）利用集合递推规则，将反复代入迭代计算，求出另外两个元素； （2）任取集合内元素连续迭代生成三个表达式，证明三者互不相等，确定集合至少3个元素； （3）根据元素个数为的倍数先锁定元素数量，再结合乘积条件确定属于集合，利用总和求出另一组三元循环，合并得到集合． 【详解】（1）已知，由条件②，将代入： ， 将代入：， 故中必含的另外两个数为、． （2）略 （3）集合元素为的倍数，且不超过，则元素个数为或， 若元素个数为，三元组乘积为，其中一个元素的平方等于总乘积， 即，无实数解，舍去； 若元素个数为，是组三元组循环，总乘积为，由得， 又，故， 含的三元组为，元素的和为， 已知所有元素和为，故另一组三元组的和为， 设另一组初始元素为，则， 则，解得，，， 对应三元组， 故． 17．(1) (2)（i）或或. （ii） 【分析】（1）根据不动点的定义，令，直接解方程即可. （2）（i）根据不动点的定义，将问题转化为方程在区间上有唯一解的问题，解含参的一元二次方程，讨论根的范围即可. （ii）根据不动点的定义，方程有两个不相等的正根，利用韦达定理求出的范围，将所求式子化简，代入韦达定理，再通过换元法将式子化简，利用基本不等式即可求最值. 【详解】（1）令， 则，解得， 所以的不动点为. （2）（i）， 即当时，方程有唯一的解， 即有唯一解， 解得，， 当时，符合题意，此时； 当，即时， 要使方程在有唯一的解， 即此时这个解是， 所以或， 解得或， 综上所述，的取值范围是或或. （ii）函数有两个不相等的不动点，，且，， 即方程有两个不相等的正根， 即， 由韦达定理：，， 所以，解得， ， 令，则，， 所以原式可换元为： ， ， 由基本不等式，， 当且仅当时，等号成立，即，满足条件， 所以式子的最小值为. 18．(1)， (2)​ (3)​ 【分析】（1）先利用为整数确定其可能取值，再由取整函数的定义还原的范围． （2）设，结合，按与分类去掉绝对值． （3）将不等式化为，利用解集恰好对应确定端点约束． 【详解】（1）因为为整数，由得，由取整函数的定义， 得，故第一个不等式的解集为； 由得，即， 因为为整数，所以，从而，故第二个不等式的解集为． （2）设，其中，则，原方程化为，所以． ①当时，，所以，由得， 因为为整数，所以，，经检验满足原方程； ②当时，，所以，由得，矛盾，故此时无解． 综上，方程的解集为． （3）由得，即，所以． 因为原不等式的解集为，所以满足不等式的的取值恰好为，即区间中的整数恰好为． 要使整数在该区间内，而相邻整数均在该区间外，必须且只需， 解得且，即，所以的取值范围为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先明确函数有意义的条件，再求解不等式； （2）先对被开方数配方，再求被开方数的最大值，最后求函数的最大值； （3）先确定的值，再变形代数式适配基本不等式，最后应用基本不等式求最值． 【详解】（1）解：要使函数有意义， 需满足， 整理得， 解得， 故的取值范围为． （2）解：对被开方数配方得：， ， ， 当且仅当时等号成立， 因此， 故函数的最大值为． （3）解：由（2）得， 则所求代数式为． 因为， 所以， 则， ， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时等号成立． 因此， 即的最大值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一第一学期数学月考试题 满分150分，时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。） 1．据《焦点访谈》2026年9月28日报道，第48届世界技能大赛在上海举办，共有个国家和地区参赛，名选手同台竞技．设集合，，则下列判断正确的是：（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列说法正确的是（    ） A．反比例函数的自变量的取值组成的集合为 B．所有的素数都是奇数 C．集合的真子集有个 D．方程的解集为 3．设为非空实数集，集合，则对于以下两个结论说法正确的是（     ）． 结论①：若是五元集，则中的元素最多10个； 结论②：存在四元集，使得． A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 4．已知集合，，，对，若一定存在，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．下列关系正确的是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. A．①②⑧ B．③⑦ C．④⑤ D．④⑤⑥ 6．已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．学校组织“非遗手工体验”“校园植物观察”“传统诗词诵读”三项活动，某班共有30名同学报名，每名同学至少参加一项活动．已知参加“非遗手工体验”的有18人，参加“校园植物观察”的有15人，参加“传统诗词诵读”的有14人，至少参加了两项活动的有13人，则同时参加了三项活动的人数为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．下列说法正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”的一个必要不充分条件是 D．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）。 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，” B．集合 与集合 是同一个集合 C．集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D．，则 的子集个数为 10．设集合，都至少含有两个元素，且，同时满足： （1）对任意，，若则； （2）对任意，，若，则． 则下列说法正确的是（     ） A．若只有2个元素，则这2个元素互为相反数 B．若只有2个元素，则一定有3个元素 C．存在含有3个元素的集合，满足有4个元素 D．不可能存在含有3个元素的集合 11．下列说法正确的是（     ） A．已知全集为，则和等价 B．与是同一个集合 C．真包含于 D．若集合，则的真子集个数为8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12．设，则______．（选填“”、“”） 13．对于，1，2，…，定义集合，并且记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数______________． 14．若集合，则______（用“、、、、”其中一个填空）． 四、解答题 15．（13 分） 我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合    叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)若，求； (3)若集合，集合，且，求实数a的取值范围. 16．（15 分） 设数集由实数构成，且满足①，；②若，则． (1)若，则在中必含有其他两个数，试求出这两个数； (2)判断集合中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合中的元素个数不超过，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 17．（15 分） 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点．(1)若，求的不动点；(2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 18．（17 分） 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． (1)求 的解集和 的解集； (2)求方程 的解集； (3)若 的解集为 ，求 的取值范围． 19．（17 分） 已知函数，， (1)求使得该函数有意义的的取值范围； (2)求该函数的最大值； (3)设该函数的最大值为，当时，求的最大值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $