安徽省宿城第一中学2026-2027学年高二上学期数学周测试（三）（B）

宿城一中2025级高二数学测试（三）（B） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若，，则用基底表示向量为    A. B. C. D. 2.若直线与直线平行，则实数a的值为         A. 0 B. 1 C. D. 3.“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则等于     A. B. C. D. 6 5.设O为坐标原点，，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，，则      A. B. C. D. 6.在空间直角坐标系中，已知，，，四点，则三棱锥的体积为     A. 10 B. 20 C. D. 7.已知点，，M是椭圆上一点，点P满足，则的最大值是    A. B. C. D. 8.已知P是椭圆上一点，，是C的两个焦点，，点Q在的平分线上，O为坐标原点，，且，则C的离心率为    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.长方体，，则下列说法中正确的是(    ) A. 长方体外接球的表面积等于 B. P是线段BD上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面点的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 10.已知椭圆，左、右焦点分别为，，点P为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是    A. 若，则符合条件的点P有2个 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 过的直线与椭圆交于两点A，B，则 11.已知曲线C的方程为，M：，则(    ) A. C表示一条直线 B. 当时，C与圆M有3个公共点 C. 当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点 D. 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.经过两点的椭圆的标准方程为          . 13.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程为          . 14.已知关于x的方程在上有实根，则实数t的最大值是          . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.已知圆：，圆经过三点，， 求圆的方程，并判断两圆位置关系； 若动圆P与圆、圆均相切，求动圆圆心P的轨迹C的方程. 16.已知圆，圆 求圆与圆的公共弦长； 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 17.设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点 证明：为定值，并求出点E的轨迹方程. 求上述轨迹与以为中点的弦的弦长. 18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连接 求证：平面ABCD； 求二面角的正弦值； 在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长． 19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆过点，直线l与椭圆相交于不同于A点的两点，当直线l过坐标原点O时，直线的斜率乘积为 求椭圆的方程； 直线分别与直线相交于两点，线段的中点为 ①若直线l过坐标原点，记OM的斜率为，直线l的斜率为，证明为定值； ②若，判断直线l是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，属于基础题. 根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【解答】 解：连接BD，如图， 因为E是PD的中点，所以 故选：B 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查两直线平行的条件，属于中档题. 根据直线平行的条件建立方程求解，舍去两直线重合的情况. 【解答】 解：直线与直线平行， 可得， 即， 当时，两条直线重合舍去，经检验满足题意. 故选： 3.【答案】D  【解析】当时，满足“，”，此时题中方程可化为，其表示的曲线是圆而不是椭圆；当，时，不满足“，”，此时题中方程可化为，表示中心在原点，焦点在x轴，且长半轴长为1，短半轴长为的椭圆．  故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件．故选 4.【答案】D  【解析】略 5.【答案】B  【解析】依题意，， 如图，不妨令， 设，，在中，，① 由椭圆的定义可得② 由①②，解得 法一设 在和中，， 由余弦定理得， 得， 所以 法二因为， 所以， 所以 6.【答案】D  【解析】解：由，，， 得，， 所以， 又，OB，平面BOC， 所以平面 因为，所以， 所以 故选：D 7.【答案】B  【解析】解：设点P的坐标为，则，化简得， 则点P的轨迹是以点为圆心，的圆. 设因为，， 所以当时，取得最大值 因为，故的最大值为 故选：B 8.【答案】C  【解析】如图，设，，延长OQ交于A，由题意知，O为的中点，故A为中点，又，即，则，又由，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，由，所以，所以， 9.【答案】ABD  【解析】对于A，长方体外接球的直径，故外接球的表面积为，故A正确；对于B，把矩形和放置在同一平面内，如图所示， 其中，，，则，连接BD交于点P，当点A，P，三点共线时，最小，则，故，所以，由余弦定理可得，所以，即的最小值为3，故B正确；对于C，以点D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，所以，，，，设平面点的一个法向量为， 则，令，则，，所以， 所以点到平面点的距离为，故C错误； 对于D，作，交BD于点O，由于，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，则为二面角的平面角，在中，，所以，在中，，故D正确．故选： 10.【答案】BCD  【解析】由条件可知，，，设，则，，所以，得，且，联立整理为，无解，故不存在点P符合条件，故A错误，故B正确，所以的最大值为，故C正确; 设，，当直线AB的斜率不存在时，， 此时当直线AB的斜率存在时，设直线， 联立得，得，， 根据焦半径公式可得，，所以 综上可知，，故D正确. 11.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查圆的方程和性质以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于难题． 将曲线C化简，可得或，可判断A；利用点到直线的距离公式可判断B，C；考虑圆M与直线位置关系，可得C与圆M的公共点最多时，r的取值范围，并且考虑当时的情况，可判断 【解答】解：曲线C的方程为，两边平方可得，即，化为或，即曲线C表示两条直线，故A错误； 当时，圆M的圆心为，半径为4，圆M与有两个交点分别为，，又圆心M到直线的距离为，圆M与直线有1个交点，又直线与的交点为不在圆上，所以C与圆M有3个公共点，故B正确； 当时，圆M的圆心为，半径，存在圆N，圆心，半径为2，圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点，故C正确； 当C与圆M的公共点最多时，且为4个．圆M与直线必有两个交点，则需满足圆M与直线有2个交点，则圆心M到直线的距离为，可得当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是， 当时，圆M过两直线的交点，曲线C与圆M的公共点为3个，可得当曲线C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是，故D错误. 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程的求法，属于基础题． 待定系数法设出椭圆方程，代入已知点，即可求解． 【解答】 解：设所求的椭圆方程为：， 代入已知两点可得：， 解得，， 故所求的椭圆方程为： 故答案为： 13.【答案】  【解析】曲线化为，其圆心到直线的距离为过点且垂直于的直线为，即，所以所求的最小圆的圆心在直线上，圆心到直线的距离为，则圆的半径长为设的坐标为，则，解得舍去，所以圆心坐标为，所以所求圆的标准方程为 14.【答案】  【解析】由题意可得，如图所示，令，，则，，，令，，则点P是上半圆上任意一点，可知，，即，，故实数t的最大值是 15.【答案】解设圆的方程为， 因为圆经过三点，，， 可得 解得 所以所求圆的方程为， 即 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以圆心距，故两圆内含. 由知圆与圆内含， 若动圆P与圆外切，与圆内切， 设动圆圆心，动圆半径为， 由题意有，， 则， 则动圆圆心P的轨迹为以，为焦点的椭圆，且满足，，则， 故轨迹C的方程为； 若动圆P与两圆均内切，则，， 故， 则动圆圆心P的轨迹为，为焦点的椭圆，且满足，，则， 故轨迹C的方程为， 综上，轨迹C的方程为或   【解析】略 16.【答案】解：   圆，圆， 两圆交点的直线方程为：， 圆的标准形式为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆与圆的公共弦长    设直线l的方程为，， 将直线l与圆的方程联立，可得 由根与系数的关系可得，， 线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为， ，，故 ，，，故，即， 又直线l与圆相交，圆心到直线l的距离， 解得，则，即， 线段AB的中点M的轨迹C的方程为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】【证明】如图，因为，，故， 所以， 故， 又圆A的标准方程为， 从而， 所以 由题设得，，，设点， 则有，化简可得，又由题意可得点E不能在x轴上，所以， 则点E的轨迹方程为 【解】由知，点E的轨迹方程为，由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在，设弦的两端点分别为，，则，①，② 由①-②，可得，依题意，，，代入上式，得，故，故以为中点的弦所在的直线方程为，即联立消去y可得，所以，， 所以由弦长公式可得弦长为   【解析】略 18.【答案】证明：因为，， 所以四边形BODC为矩形， 在中，，，， 则， ， ，且平面平面ABCD，平面平面，平面PAD， 平面ABCD； 解：以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ，，可得， 则，，，，， 设平面APB的法向量为， ，， 由，取，得 设平面CPB的法向量为，， 由，取，得， ， 二面角的正弦值为 解：设， 则， 又平面PAD的一个法向量为， 直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为， 解得，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：依题意，，设，由直线l过坐标原点交椭圆于两点，得， 则，整理得，而，因此， 所以椭圆方程为； ①证明：直线l过坐标原点，设， 直线，则点，同理得， 由，得点，则， 又，所以； ②当直线l的斜率存在时，设直线l方程为， 由消去y得， ，， 由①知，由，得， 整理得，即， 整理得， 则，整理得， 即，若，直线l方程为过点，不符合题意， 若，直线l方程为，过定点； 当直线l的斜率不存在时，设直线l方程为， 则，，而， 联立解得，此时直线l过点， 所以直线l过定点   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $