第2章直线和圆的方程练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2章直线和圆的方程练习卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第一册 基础闯关 一、单选题 1．经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 4．直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 7．在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线经过，，另有两点，，则（    ） A．倾斜角为0时， B．斜率不存在时， C．存在满足 D．时， 10．在中，，的内心，下列说法正确的有（ ） A．的内切圆的半径为10 B．直线方程为 C．直线方程为 D．外接圆的方程为 11．已知圆：，直线：，动点在圆上，点，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．直线恒过的定点在圆外 C．存在，使直线交圆于点，，且 D．（为坐标原点）的最小值为 三、填空题 12．已知点关于点的对称点为，则线段的长度为________. 13．直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 14．已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为______． 四、解答题 15．已知点，． (1)求直线的倾斜角； (2)过点的直线与过，两点的线段有公共点，求直线斜率和倾斜角的取值范围． 16．已知四边形中，，，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若点为线段的中点，求的边上的中线所在的直线方程； (3)是否存在点使得四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 17．已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 18．已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 19．设，圆，点关于直线对称点在圆上. (1)求圆的方程； (2)若动点在圆上，求的取值范围； (3)设，直线过点，且与圆交于点，，求的取值范围. 拔尖闯关 20．设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为．已知圆的半径为2，圆心为，点． (1)求点与圆的张角． (2)当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值． (3)将圆向右平移两个单位长度后得到圆． （Ⅰ）求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为； （Ⅱ）过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章直线和圆的方程练习卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B C C B BD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由点，得，由直线的方向向量为得，因此. 2．A 【分析】结合的图象，进行求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，且， 作出的图象，如图所示： 由此可得. 3．A 【详解】设直线的倾斜角为，， 图中直线对应的倾斜角分别为， 由图可知为钝角，即， ，即， 所以. 4．B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 5．B 【分析】根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 6．C 【分析】易知，联立方程可得的交点坐标为，直线恒过定点，通过作图即可判断直线的情况，从而求得. 【详解】显然，解方程组得，故的交点坐标为， 直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为. 对直线的方程变形为，由可得， 故直线恒过定点， 作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和， 当直线的方程为时，；当直线的方程为时，. 故满足条件的实数的个数为. 7．C 【分析】首先以为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，进而发现点轨迹为一个圆，而为中点，则可求出点到直线距离的最大值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，以为原点，为轴正方向，则， 设，则，化简得， 的轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到直线距离最大值为，而为中点， 故点到直线距离最大值为， 所以面积最大值为． 8．B 【分析】由已知条件可知直线恒过定点即为曲线的对称中心，再由向量性质可得动点在以为圆心，半径的圆内含边界，从而可知的最大值为原点到点的距离与半径的和. 【详解】由可知，直线过定点，设定点为，则为， 由可知，曲线由反比例函数平移得到，则曲线对称中心为，即为点， 所以点为，两点中点，则由向量中点公式可得， 又，所以，即，所以动点在以为圆心，半径的圆内含边界， 因为，所以. 9．BD 【详解】选项 A：直线经过，，倾斜角为时，得直线的斜率，，，得，A 错误； 选项 B：直线经过，，斜率不存在时，则两点的横坐标相等，即， B 正确； 选项 C：由，得，若，则，所以，得，方程无解，故不存在这样的，C 错误； 选项 D：时，得，所以，得，此时，符合题意，D 正确. 10．BCD 【分析】对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断. 【详解】直线的方程为，即， 内心到直线的距离为， 故的内切圆的半径为，故A错误； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故B正确； 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 则，解得或， 其中时，表示的是直线，舍去， 所以直线方程为，即，故C正确； 联立，解得，所以， 设外接圆的方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为，故D正确. 11．ABD 【分析】利用点到直线距离公式求相切时斜率判断A选项，B选项确定直线定点并判断其与圆位置，C选项联立方程结合向量垂直求斜率，D选项根据距离关系确定轨迹求最值. 【详解】由题意可得：圆的圆心为，半径， 直线：，即，点，， A选项中，若直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得： ，所以，即， 化简可得：，即，解得，A正确， B选项中，由，得，令，则， 所以直线恒过定点，且，所以定点在圆外，B正确， C选项中，因为，即， 联立直线和圆可得： 消去，得， 又因为直线交圆于，， 所以，解得， 设直线与圆的交点为，， 则，， 由，得， ， ，即， 因为，所以满足条件的不存在，C错误， D选项中，取，设点，且， 则， 整理得，所以， 当且仅当O，P，B在一条直线上，且时，等号成立， 所以的最小值为4，D正确. 12． 【详解】依题意，点是的中点，所以. 13．18 【分析】先由两直线方程确定两直线的位置关系以及所过定点，从而进一步确定交点的轨迹方程，确定所求表达式的几何意义后，再由与圆有关的最值问题处理方式即可求解． 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率， 可得，两直线垂直； 当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线仍垂直． 因此对任意实数，都有 ． 直线，当时，，则恒过定点； 直线，当时，，则恒过定点． 因为，交点为，所以． 代入坐标，可得， 即， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 而表示点到定点的距离的平方． 圆心到点的距离为， 圆上点到的最大距离为， 因此距离的平方最大值为． 14．/ 【分析】先利用相似得到点与点的坐标关系，代入直线方程求出的轨迹圆，定点到圆心距离减去半径即为的最小值. 【详解】设，因为为切点，所以和均为直角三角形， 又因为为公共角，所以，可得，则， 于是，如图，由三点共线，可得， 即点，将其代入，可得， 整理得：，即（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点， 故的最小值为. 15．(1) (2)； 【分析】（1）利用两点坐标求直线斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角； （2）先求出的斜率，结合图像观察直线绕定点旋转时斜率的变化规律，得到斜率取值范围，再结合倾斜角与斜率的对应关系，分段求出倾斜角范围，注意竖直直线倾斜角存在、斜率不存在的特殊情况． 【详解】（1）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，其中， 由斜率和倾斜角的关系，得，因此倾斜角． （2）直线的斜率，直线的斜率， 因为过点的直线与过两点的线段有公共点， 结合图像分析：直线绕点从位置逆时针转到位置的过程中， 斜率从趋向负无穷，经过竖直直线（斜率不存在）后从正无穷连续减小到， 所以直线斜率的取值范围为． 设直线倾斜角为，． 当，即，此时倾斜角； 当，即，此时倾斜角； 竖直直线倾斜角为，也满足题意． 综上合并，倾斜角取值范围：． 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平行四边形和向量共线的性质即可求出点的坐标； （2）利用中点公式求出点坐标，再根据点斜式即可求出所在的直线方程； （3）先判断平行的两边，再判断垂直的边，分类讨论即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题可得，， 因为，，，， 所以，， 所以， 解得，即点的坐标为. （2）因为，， 由中点公式得点坐标为， 又因为， 所以， 即所在的直线方程为. （3），，，， 因为，所以与不垂直， 若，四边形为直角梯形，则， 则有，， 可列方程组， 解得，即点的坐标为； 若，四边形为直角梯形，则， 则有，， 可列方程组， 解得，即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或. 17．(1)，最大值为 (2)最小值为，直线的方程为 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【详解】（1）已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值，此时． ∵， ∴直线的斜率为，得，解得； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点， 则设直线为，，则，， ． 当且仅当，即时，取“”， 故面积的最小值为，此时直线l的方程为. 18．(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点关于直线对称点坐标，将对称点坐标代入圆方程中即可求解. （2）利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解. （3）根据直线斜率是否存在分成两种情况讨论，若直线斜率不存在，可得直线的方程，与圆的方程联立，可解出点与点坐标，即可求的值，若直线斜率存在，设出点与点坐标，设出直线的方程，与圆的方程联立，整理成一元二次方程，列出韦达定理，将转化为有关的式子，即可求其范围. 【详解】（1）设点关于直线对称点为， 则直线与直线垂直， 斜率，即，即， 线段的中点在直线上， 即，即， 联立方程组，解得， 即点代入圆中， ，解得， 所以圆的方程为. （2）设，， 的几何意义是圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程：， 即， 圆心，半径， 直线与圆有交点，则圆心到直线的距离， ， 两边平方得：，解得， 所以， 的范围是. （3）， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆的方程， 得，解得， 得，， ，，此时. 当直线斜率存在时，设直线的方程， 联立方程组， 得：， 展开整理得：， 设，， 则，， ，， ， ，， 所以 ， 因为， 所以点在圆内，过点得直线一定和圆相交于两点，则， 所以， 所以， 即， 综上所述的取值范围. 20．(1) (2) (3)（Ⅰ）或. （Ⅱ）证明：由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，. 将代入圆的方程，得， 由韦达定理得，，，则. 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，得， 将代入，得，则. 故直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）利用切线垂直半径构造直角三角形，由三角函数求出半张角，两倍得到张角； （2）用表示切线长与张角，把数量积转化为关于的函数，均值不等式求最小值，回代求； （3）（Ⅰ）利用张角定义求出点到圆心Q的距离，联立两个圆方程解交点坐标； （Ⅱ）设直线，联立圆得到韦达关系，写出两条直线方程，两式相除消元，代入韦达化简求出交点横坐标为定值. 【详解】（1）过点作圆的切线，切点为，，则，， 在中，，则， 则，则点与圆的张角为. （2）设点到圆心的距离为，点与圆的张角为. 因为，， 所以， 所以. 由点在圆外，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 故当取得最小值时，点与圆的张角的余弦值为. （3）（I）圆的方程为. 设圆上所求的点为，则，① 由点与圆的张角为，得， 因为，所以，② 由①和②，解得，， 则所求点的坐标为或. （Ⅱ）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $