计数原理审题-有序无序与分类分步讲义-2027届高三数学一轮复习

11.1·审题 —— 有序无序与分类分步

1 先定位

计数题的题目是由两样东西写成的：一件事要分几步完成，每一步里有几个可挑的对象。审题时你要做的，是把题目上每一个决定“怎么数”的词换成一个动作——把“分别参加三个不同的社团”换成“选出之后还要再排一次”，把“平均分成三堆”换成“堆没有名字，得除回来”，把“至少有一名女生”换成“反面是一个女生也没有”，把“三位数”换成“0 不能坐在百位”。这些词在草稿纸上不留痕迹，所以错了也不知道错在哪一处。

解一道计数题要过三关。第一关：题目上的每个词，你把它的全部含义解出来了吗——把“不同的岗位”解成一次乘法，把“共线四点”解成一次减法，把“至少”解成一次反面的补。卡在这一关的表现很特别：算出来的种数比“全部选法”还大，或者同一道题用两种顺序算出了两个都挺合理的数。这是审题。第二关是条件都解出来了，你知道它们该往哪走吗——该捆绑还是该插空，是第二关的事；第三关是知道往哪走，你把它写成别人能复现的过程了吗。后两关各有专篇，本篇只管第一关。

下面这六个读错点全在审题这一步，一个都不涉及技巧。勾中三条以上，这一篇就是为你写的。

表 1: 六个读错点与对应表现

这六条不是六个知识点，是六个没有做到的动作。第二节先用三道题把它们演一遍——每道都只错一处，而且错的那一处都不在计算上。

2 典型错误

三道题，每道只错在一处。读的时候先盖住“错在哪一行”，自己找一遍；找到了再往下看。

典型错误一：人选中了，位置还没安排

 

错在哪一行。最后一行。70 数完的是“选出哪三个人”，题目问的却是“这三个人各去哪个社团”。唱歌、跳舞、朗诵是三个有名字的位置：把选出的甲、乙、丙排成（甲唱歌、乙跳舞、丙朗诵）与（甲跳舞、乙唱歌、丙朗诵），是两种不同的参加方法。你对每一组三人还漏了一步“分派”，它是三个人的全排列 。

判断有序无序只有一句话：把两个已选对象所占的位置互换，题目说的那件事还是原来那件吗。还是原来的事，就是无序，用 ；换了，就是有序，选完还要乘位置的全排列。

错解的迷惑性。式子里没有一个符号用错： 与 正是那两类人，加法也加得干干净净。你缺的是一个从来没在草稿上出现过的动作，所以回头检查“算得对不对”永远查不出来。诱因在语序上——题目先说出“选 3 人”三个字，把你钉在组合上；“分别参加三个不同的社团”才是这道题真正要数的东西。而且 70 与 420 都不违反任何常识：420 也没超过总方案数 504，报警线一次都碰不到。

换个样子还会遇到。同一个读错点有三副面孔：①纯有序——从 9 人中选 3 人分别担任班长、学习委员、体育委员，；②纯无序——从 9 人中选 3 人参加同一项义务劳动，，此时交换三人次序不产生新方法，你若乘了 就凭空放大 6 倍；③半有序——从 9 人中选 3 人，再从其中确定 1 人当组长，：只有“组长”这一个位置有名字，另外两个人不换。题目里凡是出现“不同的”“各自的”“分别”“第几个”这类词，几乎都在提示你有名字的位置存在。

典型错误二：为了至少，你先指定了一个人

 

错在哪一行。第二行与第三行之间那句“剩下的名额再补”。“至少有一名女生”里的女生是存在，不是指定。当所选三人里有两名女生时（例如甲女、乙女、丙男），这一组在“指定甲女”时数到一次，在“指定乙女”时又数到一次；三人全是女生时被数了 3 次。把 45 按真实构成拆开，重复一目了然：恰 1 名的 18 组各数 1 次，恰 2 名的 12 组各数 2 次，恰 3 名的 1 组数 3 次，18+24+3=45，多出来的 14 全是重复。

错解的迷惑性。“先办必须办成的那件事，再补剩下的名额”读起来像是在严格按题目要求办事，分步乘法也走得很顺，两个组合数单看都合理。更麻烦的是没有参照物：如果你没有先把 算出来，45 这个数看上去完全不刺眼；一旦算出了总数，就会发现“符合条件的选法”竟比“全部选法”还多——这是这类错误唯一会自己报警的时刻。“至少”在计数里从来不是“先挑一个”，它是“反面只剩一类”。

换个样子还会遇到。①改成“至少有两名女生”：反面要减两类，，正面 ；②改成“至多有一名女生”：正面是“0 名”加“1 名”，4+18=22，反面是 35−12−1=22；③把“参加一项活动”改成“分别担任三项不同的工作”：反面算法照样最省事，，而“先指定一名女生”那条路会算出 ——有两名女生的那 72 种被数了两遍，三名女生的 6 种被数了三遍。凡是“至少”，动笔前先答一句：反面是几类？反面比正面短，才走反面。