6.2排列与组合教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第三册　第6章

6.2　排列与组合

教材结论与考点深挖

一、条目逐条展开

条目一　排列数与组合数公式及阶乘关系

（1）教材出处

选择性必修第三册 第六章 6.2.1 排列、6.2.2 排列数、6.2.3 组合、6.2.4 组合数 正文；排列数公式由分步乘法计数原理推出，组合数公式由”先选后排”推出；课后习题中的计算、解方程与证明题。

（2）教材结论/公式/性质

结论类型：正文定理公式。

从 个不同元素中取出 个元素，按照一定顺序排成一列，叫做一个排列；所有不同排列的个数叫做排列数，记作 。从 个不同元素中取出 个元素作为一组，叫做一个组合；所有不同组合的个数叫做组合数，记作 。其中 ，。

排列数公式为

组合数公式为

• 全排列：；规定 。
• 特别地，，。
• 排列与组合的关系：，即”先选出 个，再对这 个全排列”。
• 常用阶乘变形：，。

（3）推导证明

排列数：完成”从 个不同元素中取出 个排成一列”这件事，可分 步。第 1 步选排头，有 种选法；第 2 步选第二位，有 种选法；依次类推；第 步选末位，有 种选法。由分步乘法计数原理，

两边同乘 ，得

故 。

组合数：一个组合只关心”选出哪 个”，不关心顺序。把每个组合中的 个元素全排列，可得到 个不同的排列，且不同组合产生的排列互不相同。因此

即 。

（4）适用条件与易错提醒

• 有序用排列、无序用组合：“选出 3 人分别担任班长、学习委员、体育委员”用 ，“选出 3 人参加座谈会”用 。
• 公式要求 且 为正整数； 是补充规定，不能把 代入排列数公式。
• 解含 或 的方程，求出 后必须检验 且 为正整数，否则会产生增根。
• ，不是 ；阶乘增长很快，计算时先约分再乘。
• 常用于化简，但要注意 。
• 是规定，由此 、 才统一。

（5）考点定位与命题角度

以选择题、填空题为主，考”排列数、组合数的计算”“解含排列数或组合数的方程”“证明简单恒等式”“由实际问题列式”；也常作为古典概型、分布列问题的第一步。难度基础到中档。对应 2023 全国乙卷（理）·7（恰有 1 种相同读物的选法）、2023 全国甲卷（理）·9（两天志愿服务的安排数）等。

（6）方法归纳

• 第一步　辨序：判断问题是否与顺序有关，有序用 ，无序用 。
• 第二步　定参：明确 与 分别是什么，写出 或 。
• 第三步　化简：用阶乘关系约分，或把 写成 。
• 第四步　检验：解方程后检验 、，并回代原式。

（7）典型例题

例题 1（教材原题）

计算：(1) ；(2) ；(3) 。

解析

(1)   。

(2)   。

(3)   ，，故 。

也可由 验证”先选后排”的关系。

例题 2（教材原题改编）

解方程 ，并求 的值。

解析

由 ，且

因为 ，两边同除以 ，得 ，故 。检验 ，符合题意。

于是 。

（8）变式训练

变式 1-1（高考真题改编）

（改编自 2023 全国乙卷（理）·7）甲、乙两名同学从 6 种不同的研学课题中各选 2 种，若两人所选课题中恰有 1 种相同，则不同的选法共有多少种？

变式 1-2（优质模拟改编）

解方程 ，求 的值。

条目二　组合数的两个性质与递推式

（1）教材出处

选择性必修第三册 第六章 6.2.4 组合数 正文”组合数的性质”；课后习题中证明恒等式、化简求值的题目；本章复习参考题中的组合数求和问题。