第53讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第53讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第53讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解分类加法计数原理，能确定合理的分类标准，做到分类不重不漏； 2．理解分步乘法计数原理，能设计完整的分步方案，做到步步相连、缺一不可； 3．能根据"完成一件事"的方式正确选用加法或乘法原理，并会用间接法处理较繁的计数； 4．能综合运用两个原理解决数字排列、涂色、路线与实际安排等计数问题，体会分类讨论与图解分析。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 分类加法计数原理 选择题、填空题 第4~6题、第13题 中 先定分类标准，各类方法数相加，检验不重不漏 分步乘法计数原理 选择题、填空题 第4~7题、第13题 中 先设计分步方案，各步方法数相乘 两个原理的综合运用 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17题 中 先分类后分步（各类内部相乘、各类之间相加） 数字排列计数 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 特殊位置优先，首位不能为 ，不重复要递减 涂色与相邻约束 选择题、填空题 第7题、第13题 中偏难 每次只排除相邻且已涂色的区域，环形需分类 命题规律分析 计数原理是第六章的起点，也是排列、组合与二项式定理的"根"。基础层只需分清"分类相加、分步相乘"就能得分，培优层真正的难点在于三处：一是分类标准的选择（按结果分类往往比按顺序分类更清晰），二是含限制条件的数字排列与涂色问题（特殊位置优先、相邻约束逐一排除），三是两个原理的综合运用（先分类后分步，或用间接法"总数减不合条件数"）。本专题在新高考中多落在选择题第 题、填空题第 题，也常作为解答题的一问出现。本讲把"分类不重不漏、分步步步相连"练成硬功，并用"数图形、列结果"的方法破解易错点，目标是把这一"送分块的升级题"稳稳拿下。 考点1 分类加法计数原理 知识点1 分类加法计数原理与"不重不漏" 完成一件事有 类不同方案，各类的方法数分别为 ，则共有 种方法。 分类的关键是"一步到位"：任何一类方案中的任何一种方法都能单独完成这件事。 【易错清单】 1．分类要"不重不漏"：同一方法不能同时属于两类，也不能有方法落在所有类之外； 2．出现"至少""至多"时，常按所选元素的个数分类，再逐类计数。 知识点2 分类标准与间接法 常用分类角度：按结果分类（如按个数）、按位置分类（如按首位）、按"是否满足某条件"分类。 当正面分类较繁时，可用间接法：符合条件的种数 总数 不符合条件的种数。 【易错清单】 1．按顺序分类容易出现交叉，改按"结果"分类往往更清晰； 2．用间接法时"总数"必须容易计算，否则绕远反而更易错。 考点2 分步乘法计数原理 知识点3 分步乘法计数原理 完成一件事需要 个步骤，各步的方法数分别为 ，则共有 种方法。 分步的关键是"缺一不可"：只有依次做完每一步，这件事才算完成。 【易错清单】 1．区分"分类"与"分步"：一步到位用加法，多步到位用乘法； 2．某一步的方法数若受前面步骤影响（如不允许重复），要相应减少，不能一直用同一个数。 知识点4 特殊位置优先与数字排列 数字排列先安排受限最多的位置：组成数时首位不能为 ，应先定首位，再依次定其余数位。 允许重复时每一位的选择数不变；不允许重复时，后一位要在剩余数字中选。 【易错清单】 1．忘记"首位不能为 "，把 当普通数字放在首位，结果偏大； 2．不允许重复时忘记排除已用数字，结果偏大。 考点3 两原理的选用与综合应用 知识点5 两个原理的综合 综合计数的通用套路：先在每一个"类"内部用乘法算出该类方法数，再用加法把各类相加（先分类后分步）。 也可先在每一个"步"内部用加法算出该步方法数，再用乘法把各步相乘（先分步后分类）。 【易错清单】 1．把"分类后的相加"误写成"相乘"，或把"分步后的相乘"误写成"相加"； 2．综合题只算了一类或一步，漏掉其余情形。 知识点6 涂色问题与路线问题 涂色问题按相邻关系依次涂色：每涂一个区域，只需排除与它"相邻且已涂色"区域的颜色，与它不相邻的区域可以同色。 路线问题分"直达"与"中转"两类：能直达的单独计数，需中转的用分步乘法，两者最后相加。 【易错清单】 1．涂色时误认为所有区域颜色都必须不同，把可同色的区域也排除，结果偏小； 2．路线问题把中转的两段走法相加而不用相乘。 【题型1 分类加法计数原理】 【例1】从 四名同学中选出至少 人参加座谈会。 (1) 若只选 人，有多少种选法？ (2) 若选 人，有多少种选法？ (3) 共有多少种不同的选法？ 【变式1-1】用面值为 元、 元、 元、 元的纸币各一张，可以组成 ____________ 种不同的币值（不含 元）。 【变式1-2】从集合 中任取两个不同的数，使其和为偶数，共有 ____________ 种取法。 【变式1-3】从 四名同学中选出至少 人参加志愿服务，共有 ____________ 种不同的选法。 【题型2 分步乘法计数原理】 【例2】某校食堂提供 种荤菜、 种素菜、 种主食。 (1) 若每人选 种荤菜和 种素菜，共有多少种搭配？ (2) 若每人选 种荤菜、 种素菜和 种主食，共有多少种搭配？ 【变式2-1】用 组成没有重复数字的三位数，共有 ____________ 个。 【变式2-2】从甲地到乙地有 条路，从乙地到丙地有 条路，从丙地到丁地有 条路。某人从甲地经乙地、丙地到丁地，共有 ____________ 种走法。 【变式2-3】某密码锁有 位，每一位均可输入 中的任一数字（允许重复），则共有 ____________ 种不同的密码。 【题型3 两个原理的综合应用】 【例3】从甲地到丙地，可以直达，有 条道路；也可以经乙地中转，其中甲到乙有 条道路，乙到丙有 条道路。 (1) 直达有多少种走法？ (2) 经乙地中转有多少种走法？ (3) 从甲地到丙地共有多少种走法？ 【变式3-1】用 可以组成 ____________ 个没有重复数字的三位奇数。 【变式3-2】用 组成没有重复数字的四位数，其中大于 的共有 ____________ 个。 【变式3-3】用 四个数字可以组成 ____________ 个没有重复数字且为偶数的三位数。 【题型4 数字排列计数】 【例4】用 可以组成（　　）个没有重复数字的四位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【变式4-1】用 可以组成 ____________ 个没有重复数字的四位偶数。 【变式4-2】用 组成没有重复数字且末位为 的三位数，共有 ____________ 个。 【变式4-3】用 组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 ____________ 个。 【题型5 涂色问题】 【例5】用 种不同的颜色给一条直线上的 四个区域涂色，要求相邻区域颜色不同。 (1) 共有多少种不同的涂法？ (2) 若要求 三个区域颜色互不相同，共有多少种不同的涂法？ 【变式5-1】用 种不同的颜色给 三个区域涂色，其中 与 相邻、 与 相邻、 与 也相邻，要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种涂法。 【变式5-2】用 种不同的颜色给一条直线上的 个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种涂法。 【变式5-3】用 种不同的颜色给圆上依次相邻的 四个区域涂色（ 与 、 与 、 与 、 与 均相邻），要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种涂法。 【题型6 计数原理的实际应用】 【例6】某学校要安排星期一至星期五的值日，每天安排 名同学，现有 名同学（每人值一天）。 (1) 若 名同学中甲不能排在星期一，共有多少种安排方法？ (2) 若从 名同学中任选 名安排在星期一、星期二、星期三，共有多少种安排方法？ 【变式6-1】某班有 名男生和 名女生，现选 名男生和 名女生分别担任正、副组长（不能兼任），共有 ____________ 种不同的选法。 【变式6-2】某地区车牌号的前两位为字母（从 中选，可重复），后三位为数字（从 中选，可重复），共有 ____________ 个不同的车牌号。 【变式6-3】从集合 到集合 可以建立 ____________ 个不同的映射（函数）。 一、单选题 1．（★★）从甲地到乙地有 条公路、 条铁路，则从甲地到乙地的不同走法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 2．（★★）完成一项工作需分 步，第 步有 种方法，第 步有 种方法，第 步有 种方法，则完成这项工作共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 3．（★★）用 可以组成（　　）个没有重复数字的两位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 4．（★★）书架上有 本不同的语文书、 本不同的数学书，从中任取 本，共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 5．（★★）用 可以组成（　　）个没有重复数字的三位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 6．（★★★）用 可以组成（　　）个没有重复数字的三位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 7．（★★★）从 中任取两个不同的数字，分别作为二次函数 的一次项系数 与常数项 ，则所得抛物线与 轴有公共点的取法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 8．（★★★）用 种不同的颜色给 方格中的四个区域涂色，要求左右相邻或上下相邻的区域颜色不同（对角区域可同色），则不同的涂法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 二、多选题 9．（★★）下列关于分类加法计数原理的说法中，正确的是（　　） A．完成一件事有若干类不同的方案　B．每一类方案中各有若干种不同的方法　C．各类方案之间必须做到"不重不漏"　D．不同类方案中的方法可以重复计算 10．（★★）下列关于分步乘法计数原理的说法中，正确的是（　　） A．各步骤之间相互依存，缺一不可　B．完成这件事，各步骤的方法数应相乘　C．各步骤的方法数应相加　D．"分类"用加法原理，"分步"用乘法原理 11．（★★★）用 组成没有重复数字的三位数，下列结论正确的是（　　） A．共有 个　B．其中偶数有 个　C．其中奇数有 个　D．其中小于 的有 个 12．（★★★）某晚会的节目单上有 个不同的歌唱节目、 个不同的舞蹈节目和 个小品节目，共 个节目排成一行演出，则（　　） A．共有 种不同的排法　B．两个舞蹈节目相邻的排法共有 种　C．两个舞蹈节目互不相邻的排法共有 种　D．三个歌唱节目互不相邻的排法共有 种 三、填空题 13．（★★）从 名男生和 名女生中选 人参加活动，共有 ____________ 种不同的选法。 14．（★★）从 名同学中选出 人分别担任正组长与副组长（不能兼任），共有 ____________ 种不同的选法。 15．（★★★）用 种不同的颜色给一条直线上的 三个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种不同的涂法。 16．（★★★）用 组成没有重复数字的三位数，其中恰有一个偶数数字的三位数共有 ____________ 个。 四、解答题 17．（★★）某班有 名男生和 名女生。 (1) 从中选 人参加演讲比赛，共有多少种选法？ (2) 从中选 名男生和 名女生分别担任两项不同活动的主持人，共有多少种选法？ 18．（★★）用 可以组成多少个没有重复数字的三位数？其中偶数有多少个？ 19．（★★）用 种不同的颜色给一条直线上的 三个区域涂色，要求相邻区域颜色不同。 (1) 共有多少种涂法？ (2) 若规定 区域用红色，共有多少种涂法？ 20．（★★★）用 组成没有重复数字的四位数。 (1) 共有多少个？ (2) 其中大于 的有多少个？ (3) 其中是偶数的有多少个？ 21．（★★★）用 种不同的颜色给圆上依次相邻的 四个区域涂色（ 与 、 与 、 与 、 与 均相邻），要求相邻区域颜色不同。 (1) 若先涂 、再涂 ， 各有多少种选择？ (2) 共有多少种不同的涂法？ 22．（★★★）用 组成没有重复数字的三位偶数。 (1) 个位为 的有多少个？ (2) 个位为 的有多少个？ (3) 共有多少个？ 23．（★★★） 名同学（含甲、乙、丙）站成一排合影留念。 (1) 共有多少种不同的站法？ (2) 若甲、乙必须相邻，且丙不能站两端，共有多少种不同的站法？ (3) 若甲、乙互不相邻，共有多少种不同的站法？ 24．（★★★）用 组成没有重复数字的四位数。 (1) 共有多少个四位数？ (2) 其中个位数字是奇数的有多少个？ (3) 其中大于 的偶数有多少个？ —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第53讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第53讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解分类加法计数原理，能确定合理的分类标准，做到分类不重不漏； 2．理解分步乘法计数原理，能设计完整的分步方案，做到步步相连、缺一不可； 3．能根据"完成一件事"的方式正确选用加法或乘法原理，并会用间接法处理较繁的计数； 4．能综合运用两个原理解决数字排列、涂色、路线与实际安排等计数问题，体会分类讨论与图解分析。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 分类加法计数原理 选择题、填空题 第4~6题、第13题 中 先定分类标准，各类方法数相加，检验不重不漏 分步乘法计数原理 选择题、填空题 第4~7题、第13题 中 先设计分步方案，各步方法数相乘 两个原理的综合运用 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17题 中 先分类后分步（各类内部相乘、各类之间相加） 数字排列计数 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 特殊位置优先，首位不能为 ，不重复要递减 涂色与相邻约束 选择题、填空题 第7题、第13题 中偏难 每次只排除相邻且已涂色的区域，环形需分类 命题规律分析 计数原理是第六章的起点，也是排列、组合与二项式定理的"根"。基础层只需分清"分类相加、分步相乘"就能得分，培优层真正的难点在于三处：一是分类标准的选择（按结果分类往往比按顺序分类更清晰），二是含限制条件的数字排列与涂色问题（特殊位置优先、相邻约束逐一排除），三是两个原理的综合运用（先分类后分步，或用间接法"总数减不合条件数"）。本专题在新高考中多落在选择题第 题、填空题第 题，也常作为解答题的一问出现。本讲把"分类不重不漏、分步步步相连"练成硬功，并用"数图形、列结果"的方法破解易错点，目标是把这一"送分块的升级题"稳稳拿下。 考点1 分类加法计数原理 知识点1 分类加法计数原理与"不重不漏" 完成一件事有 类不同方案，各类的方法数分别为 ，则共有 种方法。 分类的关键是"一步到位"：任何一类方案中的任何一种方法都能单独完成这件事。 【易错清单】 1．分类要"不重不漏"：同一方法不能同时属于两类，也不能有方法落在所有类之外； 2．出现"至少""至多"时，常按所选元素的个数分类，再逐类计数。 知识点2 分类标准与间接法 常用分类角度：按结果分类（如按个数）、按位置分类（如按首位）、按"是否满足某条件"分类。 当正面分类较繁时，可用间接法：符合条件的种数 总数 不符合条件的种数。 【易错清单】 1．按顺序分类容易出现交叉，改按"结果"分类往往更清晰； 2．用间接法时"总数"必须容易计算，否则绕远反而更易错。 考点2 分步乘法计数原理 知识点3 分步乘法计数原理 完成一件事需要 个步骤，各步的方法数分别为 ，则共有 种方法。 分步的关键是"缺一不可"：只有依次做完每一步，这件事才算完成。 【易错清单】 1．区分"分类"与"分步"：一步到位用加法，多步到位用乘法； 2．某一步的方法数若受前面步骤影响（如不允许重复），要相应减少，不能一直用同一个数。 知识点4 特殊位置优先与数字排列 数字排列先安排受限最多的位置：组成数时首位不能为 ，应先定首位，再依次定其余数位。 允许重复时每一位的选择数不变；不允许重复时，后一位要在剩余数字中选。 【易错清单】 1．忘记"首位不能为 "，把 当普通数字放在首位，结果偏大； 2．不允许重复时忘记排除已用数字，结果偏大。 考点3 两原理的选用与综合应用 知识点5 两个原理的综合 综合计数的通用套路：先在每一个"类"内部用乘法算出该类方法数，再用加法把各类相加（先分类后分步）。 也可先在每一个"步"内部用加法算出该步方法数，再用乘法把各步相乘（先分步后分类）。 【易错清单】 1．把"分类后的相加"误写成"相乘"，或把"分步后的相乘"误写成"相加"； 2．综合题只算了一类或一步，漏掉其余情形。 知识点6 涂色问题与路线问题 涂色问题按相邻关系依次涂色：每涂一个区域，只需排除与它"相邻且已涂色"区域的颜色，与它不相邻的区域可以同色。 路线问题分"直达"与"中转"两类：能直达的单独计数，需中转的用分步乘法，两者最后相加。 【易错清单】 1．涂色时误认为所有区域颜色都必须不同，把可同色的区域也排除，结果偏小； 2．路线问题把中转的两段走法相加而不用相乘。 【题型1 分类加法计数原理】 【例1】从 四名同学中选出至少 人参加座谈会。 (1) 若只选 人，有多少种选法？ (2) 若选 人，有多少种选法？ (3) 共有多少种不同的选法？ 【答案】(1) 种； (2) 种； (3) 种。 【解题思路】按"选出的人数"分类，逐类枚举计数，再把各类结果相加。 【解答过程】(1) 选 人：，共 种。 (2) 选 人：，共 种。 (3) 按人数分类：选 人 种；选 人 种；选 人 共 种；选 人 共 种。 各类不重不漏，共有 种。 【多解·巧解】选人计数按"个数的多少"分类最清晰： 人、 人、 人、 人逐类枚举，互不交叉。本题还可用间接法验证： 名同学的全部子集有 个，去掉空集，恰有 个非空子集，与分类计数结果一致。 【易错提醒】分类时容易漏掉"选 人"这一类，或把选 人的 与 当作两种而重复计数；"选出的人"与顺序无关， 与 是同一种选法。 【变式1-1】用面值为 元、 元、 元、 元的纸币各一张，可以组成 ____________ 种不同的币值（不含 元）。 【答案】 【解题思路】按取的张数分类，逐类计数后相加。 【解答过程】按取的张数分类：取 张有 种；取 张有 种；取 张有 种；取 张有 种。共有 种（各种币值互不相同）。 【变式1-2】从集合 中任取两个不同的数，使其和为偶数，共有 ____________ 种取法。 【答案】 【解题思路】按两数奇偶性分类：同为奇数或同为偶数，和才为偶数。 【解答过程】两数都为奇数：从 中取两数，有 共 种；两数都为偶数：只有 共 种。共有 种取法。 【变式1-3】从 四名同学中选出至少 人参加志愿服务，共有 ____________ 种不同的选法。 【答案】 【解题思路】按选出的人数分类，逐类计数后相加。 【解答过程】选 人有 种；选 人有 种；选 人有 种。共有 种选法。 【题型2 分步乘法计数原理】 【例2】某校食堂提供 种荤菜、 种素菜、 种主食。 (1) 若每人选 种荤菜和 种素菜，共有多少种搭配？ (2) 若每人选 种荤菜、 种素菜和 种主食，共有多少种搭配？ 【答案】(1) 种； (2) 种。 【解题思路】选菜必须"分步完成"，各步方法数相乘。 【解答过程】(1) 第 步选荤菜有 种，第 步选素菜有 种， 两步缺一不可，共有 种搭配。 (2) 在前两步基础上再选主食，有 种，共有 种搭配。 【多解·巧解】判断"分步"只需问一句：做完这一步，事情完成了吗？没完成就是"一步"，用乘法。选菜要同时选到荤、素（、主食），几步都做完才算一份搭配，所以用乘法。 【易错提醒】把"选荤菜"与"选素菜"当成两类相加（写成 ）是典型错误：只选荤菜并没有完成"搭配"，必须两步都做，故用乘法。 【变式2-1】用 组成没有重复数字的三位数，共有 ____________ 个。 【答案】 【解题思路】依次确定百位、十位、个位，分三步相乘，注意不重复。 【解答过程】百位有 种，十位在剩余 个数字中选有 种，个位有 种，共有 个。 【变式2-2】从甲地到乙地有 条路，从乙地到丙地有 条路，从丙地到丁地有 条路。某人从甲地经乙地、丙地到丁地，共有 ____________ 种走法。 【答案】 【解题思路】依次经过三段路程，分三步相乘。 【解答过程】第 段有 种，第 段有 种，第 段有 种，共有 种走法。 【变式2-3】某密码锁有 位，每一位均可输入 中的任一数字（允许重复），则共有 ____________ 种不同的密码。 【答案】 【解题思路】每一位独立选择，数字可重复，故每位都有 种。 【解答过程】每一位有 种选择，四位共有 种密码。 【题型3 两个原理的综合应用】 【例3】从甲地到丙地，可以直达，有 条道路；也可以经乙地中转，其中甲到乙有 条道路，乙到丙有 条道路。 (1) 直达有多少种走法？ (2) 经乙地中转有多少种走法？ (3) 从甲地到丙地共有多少种走法？ 【答案】(1) 种； (2) 种； (3) 种。 【解题思路】先按"直达"与"中转"分类，中转这一类内部再用分步乘法。 【解答过程】(1) 直达有 条道路，共 种走法。 (2) 经乙地中转需分两步：甲到乙有 种，乙到丙有 种，共有 种走法。 (3) 两类相加，共有 种走法。 【多解·巧解】综合题的标准套路是"先分类、后分步、再相加"：每一类内部用乘法算，再把各类结果相加。本题两大类互不交叉，覆盖了所有走法，满足"不重不漏"。 【易错提醒】中转这一类内部要用乘法（），不能写成 ；另外"直达"与"中转"两类要都算上，漏掉任一类都会少算。 【变式3-1】用 可以组成 ____________ 个没有重复数字的三位奇数。 【答案】 【解题思路】先按末位数字分类（末位为奇数），每类内部再对百位、十位分步计数。 【解答过程】三位奇数要求个位为奇数，即个位为 或 。个位为 时，百位不能为 且不能为 ，可取 共 种，十位在剩余 个数字中取，有 种，得 个；个位为 时同理得 个。两类相加，共有 个。 【变式3-2】用 组成没有重复数字的四位数，其中大于 的共有 ____________ 个。 【答案】 【解题思路】大于 只需千位为 ，分步计数即可。 【解答过程】千位可取 ，共 种；千位确定后，百位、十位、个位依次从剩余 个数字中选 个排列，有 种。共有 个大于 的四位数。 【变式3-3】用 四个数字可以组成 ____________ 个没有重复数字且为偶数的三位数。 【答案】 【解题思路】先按个位数字分类（偶数），每类内部再分步计数。 【解答过程】三位偶数要求个位为 或 。个位为 时，百位从 中选有 种，十位在剩余 个中选有 种，得 个；个位为 时同理得 个。共有 个。 【题型4 数字排列计数】 【例4】用 可以组成（　　）个没有重复数字的四位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】A 【解题思路】按"特殊位置优先"处理，先定不能为 的千位，再依次定百位、十位、个位。 【解答过程】千位不能为 ，可从 中选，有 种；千位选定后，百位在剩余 个数字（含 ）中选，有 种；十位有 种，个位有 种。共有 个四位数。故选A。 【多解·巧解】数字排列的两大陷阱：一是首位不能为 ；二是不允许重复时，前一位用过的数字要从后一位的选择中剔除。先处理"限制最多的位置"能最大程度简化计算。 【易错提醒】若先定百位再定千位，会把"百位是否为 "的分类带进来，情况变复杂；此外把千位也算成 种会得到 而误选B。 【变式4-1】用 可以组成 ____________ 个没有重复数字的四位偶数。 【答案】 【解题思路】个位、千位都受限，按个位分"个位为 "与"个位不为 "两类讨论。 【解答过程】① 个位为 ：千位从 中选有 种，百位有 种，十位有 种，得 个；② 个位为 或 ：个位有 种，千位不能为 且不能与个位相同，有 种，百位有 种，十位有 种，得 个。共有 个。 【变式4-2】用 组成没有重复数字且末位为 的三位数，共有 ____________ 个。 【答案】 【解题思路】末位固定为 ，只需依次确定百位、十位。 【解答过程】末位必须是 ，只有 种；百位从剩余 个数字中选有 种，十位有 种，共有 个。 【变式4-3】用 组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 ____________ 个。 【答案】 【解题思路】按个位分"个位为 "与"个位不为 "两类讨论。 【解答过程】① 个位为 ：百位从 中选有 种，十位有 种，得 个；② 个位为 或 ：个位有 种，百位不能为 且不能与个位相同有 种，十位有 种，得 个。共有 个。 【题型5 涂色问题】 【例5】用 种不同的颜色给一条直线上的 四个区域涂色，要求相邻区域颜色不同。 (1) 共有多少种不同的涂法？ (2) 若要求 三个区域颜色互不相同，共有多少种不同的涂法？ 【答案】(1) 种； (2) 种。 【解题思路】按 的顺序依次涂色，每个区域只排除与它相邻且已涂色的区域所用的颜色。 【解答过程】(1) 有 种； 与 相邻，有 种； 与 相邻，有 种；' r' 与 相邻，有 种。共有 种涂法。 (2) 要求 互不相同： 有 种， 有 种， 需与 都不同，有 种；' r' 只需与 不同（可与 同色），有 种。' r'共有 种涂法。 【多解·巧解】涂色问题的关键是"每次只排除与它相邻且已涂色的区域"：在一条直线上， 只与 相邻， 与 不相邻，因此 可以与 同色。千万别一律按"全部颜色都不同"处理。 【易错提醒】(1) 中把 、 也算成 种（误认为要与前面所有区域不同）会得到 的错误结果；(2) 中 只受 约束，仍是 种，不要写成 种。 【变式5-1】用 种不同的颜色给 三个区域涂色，其中 与 相邻、 与 相邻、 与 也相邻，要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种涂法。 【答案】 【解题思路】三区域两两相邻，每涂一个区域都要排除与它相邻且已涂色的所有区域颜色。 【解答过程】 有 种颜色； 与 相邻，有 种； 与 都相邻，需排除这两种颜色，有 种。共有 种涂法。 【变式5-2】用 种不同的颜色给一条直线上的 个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种涂法。 【答案】 【解题思路】依次涂色，除第一个区域外，其余区域都只受前一个区域约束。 【解答过程】第 个区域有 种；之后每个区域都与前一个相邻，各有 种。共有 种涂法。 【变式5-3】用 种不同的颜色给圆上依次相邻的 四个区域涂色（ 与 、 与 、 与 、 与 均相邻），要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种涂法。 【答案】 【解题思路】先涂 、，再对 是否与 同色分类讨论。 【解答过程】 有 种； 与 相邻，有 种。涂 时需与 不同，分两类：① 若 与 同色，则 有 种，此时 与 （同色）相邻，只需与 不同，有 种；② 若 与 都不同色，则 有 种，此时 与 都相邻，需排除两种颜色，有 种。共有 种涂法。 【题型6 计数原理的实际应用】 【例6】某学校要安排星期一至星期五的值日，每天安排 名同学，现有 名同学（每人值一天）。 (1) 若 名同学中甲不能排在星期一，共有多少种安排方法？ (2) 若从 名同学中任选 名安排在星期一、星期二、星期三，共有多少种安排方法？ 【答案】(1) 种； (2) 种。 【解题思路】(1) 先安排受限制的位置或人，也可用间接法；(2) 依次安排三天，分步相乘。 【解答过程】(1) 甲不能排在星期一。先排甲：甲可排在星期二至星期五，共 种；' r'其余 名同学排在剩下的 天里，有 种，' r'共有 种。' r'（间接法验证：若不考虑限制共有 种，' r'其中甲排在星期一的有 种， 种。） (2) 星期一有 种，星期二有 种，星期三有 种，共有 种。 【多解·巧解】遇到"某位置/某人受限"的排列问题，有两种通用做法：一是"特殊优先"，先安排受限的对象；二是"间接法"，用全部安排数减去不满足限制数。两种方法结果应当一致，可互相检验。 【易错提醒】(1) 若只算"甲的 种"就结束，会漏掉其余同学的安排；(2) 中注意每一问的"位置"是确定的（星期一至三），属分步乘法而非分类。 【变式6-1】某班有 名男生和 名女生，现选 名男生和 名女生分别担任正、副组长（不能兼任），共有 ____________ 种不同的选法。 【答案】 【解题思路】先选出 男 女，再分配到正、副组长两个不同职务。 【解答过程】选男生有 种，选女生有 种；选出的两人分配正、副组长有 种（男生正或女生正）。共有 种不同的选法。 【变式6-2】某地区车牌号的前两位为字母（从 中选，可重复），后三位为数字（从 中选，可重复），共有 ____________ 个不同的车牌号。 【答案】 【解题思路】逐位安排，字母、数字均可重复，每位选择数固定。 【解答过程】前两位各有 种选择，共 种；后三位各有 种选择，共 种。共有 个不同的车牌号。 【变式6-3】从集合 到集合 可以建立 ____________ 个不同的映射（函数）。 【答案】 【解题思路】映射要求 中每个元素在 中都有唯一的象，逐元素确定象的个数再相乘。 【解答过程】元素 在 中的象有 种选择，元素 有 种，元素 有 种，三者独立，共有 个不同的映射。 一、单选题 1．（★★）从甲地到乙地有 条公路、 条铁路，则从甲地到乙地的不同走法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】公路、铁路两类都能单独到达，分类相加。 【解答过程】走公路有 种，走铁路有 种，两类相互独立，共有 种不同的走法。故选A。 2．（★★）完成一项工作需分 步，第 步有 种方法，第 步有 种方法，第 步有 种方法，则完成这项工作共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】B 【解题思路】分步完成，各步方法数相乘。 【解答过程】第 步有 种，第 步有 种，第 步有 种，共有 种方法。故选B。 3．（★★）用 可以组成（　　）个没有重复数字的两位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】B 【解题思路】依次确定十位、个位，不能重复。 【解答过程】十位有 种，个位在剩余 个数字中选有 种，共有 个没有重复数字的两位数。故选B。 4．（★★）书架上有 本不同的语文书、 本不同的数学书，从中任取 本，共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】C 【解题思路】任取 本，两类书都能满足要求，分类相加。 【解答过程】取语文书有 种，取数学书有 种，共有 种不同的取法。故选C。 5．（★★）用 可以组成（　　）个没有重复数字的三位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】C 【解题思路】依次确定百位、十位、个位，分三步相乘。 【解答过程】百位有 种，十位有 种，个位有 种，共有 个没有重复数字的三位数。故选C。 6．（★★★）用 可以组成（　　）个没有重复数字的三位数 A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】A 【解题思路】特殊位置优先，先定不能为 的百位。 【解答过程】百位从 中选有 种；百位选定后，十位有 种，个位有 种，共有 个。故选A。 7．（★★★）从 中任取两个不同的数字，分别作为二次函数 的一次项系数 与常数项 ，则所得抛物线与 轴有公共点的取法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】C 【解题思路】有公共点等价于判别式 ，即 ，按 的取值分类枚举，注意 与 不同。 【解答过程】抛物线与 轴有公共点 ，即 ，且 取自 中的不同值。按 分类： 时 ，无解； 时 ，只有 ，共 种； 时 ， 可取 ，共 种； 时 ， 可取 （去掉 ），共 种； 时 ， 可取 ，共 种； 时 ， 可取 ，共 种。共有 种取法。故选C。误选B是漏掉相切情形 ；误选D是去掉 的限制（多算 的 种）；误选A是漏掉 时的情形。 8．（★★★）用 种不同的颜色给 方格中的四个区域涂色，要求左右相邻或上下相邻的区域颜色不同（对角区域可同色），则不同的涂法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】C 【解题思路】记四个区域为左上 、右上 、左下 、右下 ， 同时与 相邻，需按 与 是否同色分类。 【解答过程】 有 种； 与 相邻，有 种； 与 相邻，有 种。 与 都相邻，按 与 是否同色分类：① 与 同色：有 种选法，此时 只需与 （即 ）不同，有 种，得 种；② 与 异色：有 种选法，此时 需与 都不同，有 种，得 种。共有 种。故选C。误选A是漏掉①" 与 同色"这一类；误选B是认为 总要排除两种颜色；误选D是认为 只需与 不同而漏掉与 的相邻约束。 二、多选题 9．（★★）下列关于分类加法计数原理的说法中，正确的是（　　） A．完成一件事有若干类不同的方案　B．每一类方案中各有若干种不同的方法　C．各类方案之间必须做到"不重不漏"　D．不同类方案中的方法可以重复计算 【答案】ABC 【解题思路】对照分类加法计数原理的含义逐项判断。 【解答过程】分类加法计数原理中，完成一件事分为若干类互不交叉的方案，每一类各有若干种方法，最后把各类方法数相加；A、B、C均正确；各类之间应相互独立，同一方法不能重复计算，D错误。故选ABC。 10．（★★）下列关于分步乘法计数原理的说法中，正确的是（　　） A．各步骤之间相互依存，缺一不可　B．完成这件事，各步骤的方法数应相乘　C．各步骤的方法数应相加　D．"分类"用加法原理，"分步"用乘法原理 【答案】ABD 【解题思路】对照分步乘法计数原理的"分步、相乘、缺一不可"逐项判断。 【解答过程】分步乘法要求各步骤依次完成、缺一不可，方法数相乘，A、B正确；分步计数各步方法数应相乘而非相加，C错误；分类对应加法原理、分步对应乘法原理，D正确。故选ABD。 11．（★★★）用 组成没有重复数字的三位数，下列结论正确的是（　　） A．共有 个　B．其中偶数有 个　C．其中奇数有 个　D．其中小于 的有 个 【答案】ACD 【解题思路】逐一用分步乘法核算各项结论。 【解答过程】A：百位 种、十位 种、个位 种，共 个，正确；C：个位为 ，各有 个，共 个，正确；B：个位为 ，各有 个，共 个，B错误；D：百位为 ，各有 个，共 个，正确。故选ACD。 12．（★★★）某晚会的节目单上有 个不同的歌唱节目、 个不同的舞蹈节目和 个小品节目，共 个节目排成一行演出，则（　　） A．共有 种不同的排法　B．两个舞蹈节目相邻的排法共有 种　C．两个舞蹈节目互不相邻的排法共有 种　D．三个歌唱节目互不相邻的排法共有 种 【答案】ABC 【解题思路】逐项独立核算：总数分步相乘；相邻用捆绑法；不相邻用间接法或插空法，插空时必须先排不受限制的节目。 【解答过程】A： 个节目排成一行，依次有 种，共 种，正确；B：把两个舞蹈节目捆绑成一个整体，与其余 个节目共 个单位排列，有 种，再乘捆绑内部顺序 种，共 种，正确；C：间接法， 种；也可插空验证：先排其余 个节目有 种，形成 个空隙，选 个空隙插入两个舞蹈节目，有 种，共 种，正确；D：三个歌唱节目互不相邻，应先排 个舞蹈节目和 个小品节目，有 种，形成 个空隙，再从 个空隙中选 个按从左到右的顺序插入歌唱节目，有 种，共 种， 的错误是把两舞蹈不相邻的结论误用到歌唱节目上，D错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）从 名男生和 名女生中选 人参加活动，共有 ____________ 种不同的选法。 【答案】 【解题思路】选 人，选男生或选女生都满足，分类相加。 【解答过程】选男生有 种，选女生有 种，共有 种不同的选法。 14．（★★）从 名同学中选出 人分别担任正组长与副组长（不能兼任），共有 ____________ 种不同的选法。 【答案】 【解题思路】先选正组长，再选副组长，分步相乘。 【解答过程】正组长有 种选法；选定后副组长有 种选法，共有 种不同的选法。 15．（★★★）用 种不同的颜色给一条直线上的 三个区域涂色，要求相邻区域颜色不同，共有 ____________ 种不同的涂法。 【答案】 【解题思路】依次涂色，每次排除与它相邻且已涂色的区域颜色。 【解答过程】 有 种； 与 相邻有 种； 与 相邻有 种，共有 种不同的涂法。 16．（★★★）用 组成没有重复数字的三位数，其中恰有一个偶数数字的三位数共有 ____________ 个。 【答案】 【解题思路】"恰有一个偶数数字"意味着另两个数位都是奇数，而奇数只有 三个，按这个唯一的偶数是否为 分类。 【解答过程】偶数数字为 ，奇数数字为 。三位数恰有一个偶数数字，即三个数字中一个取偶数、两个取奇数。① 这个偶数是 ：从 中选 个奇数，有 种；三个数字的排列共 种，其中 在首位的有 种，故每个奇数对得 个，共 个；② 这个偶数是 或 ：偶数有 种选法，奇数对有 种，三个数字都不含 ，无需排除首位，每个组合有 种排列，共 个。共有 个。 四、解答题 17．（★★）某班有 名男生和 名女生。 (1) 从中选 人参加演讲比赛，共有多少种选法？ (2) 从中选 名男生和 名女生分别担任两项不同活动的主持人，共有多少种选法？ 【答案】(1) 种； (2) 种。 【解题思路】(1) 选 人属"分类完成"，用加法；(2) 选 男 女并分配两项活动属"分步完成"，用乘法。 【解答过程】(1) 选男生有 种，选女生有 种，共有 种选法。 (2) 第 步选男生有 种，第 步选女生有 种，第 步把两人分配到两项不同活动有 种， 共有 种选法。 【多解·巧解】分清"分类"与"分步"：只要选 人事情就完成，属分类用加法；要选 男 女再分配活动，几步都做完才算完成，属分步用乘法。 【易错提醒】(1) 中不要用乘法（写成 ）；(2) 中别忘了"分配两项不同活动"这一步，否则会少算一半。 18．（★★）用 可以组成多少个没有重复数字的三位数？其中偶数有多少个？ 【答案】三位数共 个；其中偶数 个。 【解题思路】三位数先定不能为 的百位；偶数再按个位分"个位为 "与"个位为 "两类。 【解答过程】三位数：百位从 中选有 种，十位有 种，个位有 种， 共有 个。 偶数：个位为 时，百位有 种、十位有 种，得 个； 个位为 时，百位从 中选有 种、十位有 种，得 个。 共有 个偶数。 【多解·巧解】含 的数字排列，处理偶数时按"个位是否为 "分类最省事：个位为 时百位不受"不能为 "以外的额外限制；个位不为 时，个位先占掉一个非零数字，百位再排除 与个位。 【易错提醒】计算偶数时若把个位为 与个位为 合并处理，容易忽略"个位已占用一个数字"导致重复计数；务必分两类分别计数再相加。 19．（★★）用 种不同的颜色给一条直线上的 三个区域涂色，要求相邻区域颜色不同。 (1) 共有多少种涂法？ (2) 若规定 区域用红色，共有多少种涂法？ 【答案】(1) 种； (2) 种。 【解题思路】依次涂色，每次只排除与它相邻且已涂色的区域颜色。 【解答过程】(1) 有 种； 与 相邻有 种； 与 相邻有 种， 共有 种涂法。 (2) 用红色（ 种）， 有 种， 有 种，共有 种涂法。 【多解·巧解】在一条直线上， 只与 相邻，与 不相邻，因此 可以与 同色；这一点是"直线型涂色"与"环形涂色"最大的区别。 【易错提醒】误把 也算成要与 、 都不同色会得到 的错误结果；(2) 中 固定后其余区域的选择数不变，仍是 种。 20．（★★★）用 组成没有重复数字的四位数。 (1) 共有多少个？ (2) 其中大于 的有多少个？ (3) 其中是偶数的有多少个？ 【答案】(1) 个； (2) 个； (3) 个。 【解题思路】(1) 分步相乘；(2) 千位先定；(3) 个位先定，再安排其余数位。 【解答过程】(1) 千位有 种，百位 种，十位 种，个位 种， 共有 个。 (2) 大于 要求千位取 之一，有 种；其余三位有 种， 共有 个。 (3) 偶数要求个位为 或 ，有 种；千位有 种，百位 种，十位 种， 共有 个。 【多解·巧解】数字排列的"特殊位置优先"原则：哪一位受限制最多，就先安排它。(2) 先定千位、(3) 先定个位，都能让后续每一步的选择数变得清晰。 【易错提醒】(2) 中"大于 "是看千位而非其他位；(3) 中个位取定后，千位仍有 种（余下 个数字均为非零），不要误减。 21．（★★★）用 种不同的颜色给圆上依次相邻的 四个区域涂色（ 与 、 与 、 与 、 与 均相邻），要求相邻区域颜色不同。 (1) 若先涂 、再涂 ， 各有多少种选择？ (2) 共有多少种不同的涂法？ 【答案】(1) 有 种， 有 种； (2) 种。 【解题思路】环形涂色的关键是 与 不相邻、但 同时与 相邻，需对 是否与 同色分类。 【解答过程】(1) 无相邻已涂色区域，有 种； 与 相邻，有 种。 (2) 涂 时需与 不同，分两类： ① 若 与 同色，则 有 种，此时 与 （即 ）相邻，只需与 不同，有 种； ② 若 与 、 都不同色，则 有 种，此时 与 、 都相邻，需排除两种颜色，有 种。 共有 种涂法。 【多解·巧解】环形涂色的标准策略是"先涂相邻两区域，再对第三区域是否与第一区域同色分类"。本题中 同时与 相邻，是全题的关键约束，分类讨论时务必兼顾。 【易错提醒】最容易忽略 与 可以同色这一情形：若直接按"每区颜色都不重复"算会得到 ，严重偏小；此外 的选择数随 是否与 同色而不同，必须分类讨论。 22．（★★★）用 组成没有重复数字的三位偶数。 (1) 个位为 的有多少个？ (2) 个位为 的有多少个？ (3) 共有多少个？ 【答案】(1) 个； (2) 个； (3) 个。 【解题思路】按个位数字分类（），每类内部再对百位、十位分步计数。 【解答过程】(1) 个位为 ：百位从 中选有 种，十位有 种，共 个。 (2) 个位为 ：百位不能为 且不能为 ，从 中选有 种，十位有 种，共 个。 (3) 个位为 ：个位为 有 个，个位为 有 个，个位为 有 个， 共有 个。 【多解·巧解】含 且求偶数的排列，按"个位是否为 "分类是关键：个位为 时百位有 种，个位非 时百位要同时排除 和个位上的数字。 【易错提醒】个位为 （或 ）时，百位既不能为 也不能为个位数字，因此只有 种；若仍算 种会重复计数，导致结果偏大。 23．（★★★） 名同学（含甲、乙、丙）站成一排合影留念。 (1) 共有多少种不同的站法？ (2) 若甲、乙必须相邻，且丙不能站两端，共有多少种不同的站法？ (3) 若甲、乙互不相邻，共有多少种不同的站法？ 【答案】(1) 种； (2) 种； (3) 种。 【解题思路】(1) 依次安排六个位置分步相乘；(2) 先捆绑甲、乙，再让丙优先选中间位置；(3) 用间接法，总数减去相邻的站法数。 【解答过程】(1) 从左到右依次安排 个位置，方法数依次为 ， 共有 种站法。 (2) 把甲、乙捆绑成一个整体，与丙、丁、戊、己一起共 个单位排成一排。 丙不能站两端，只能站中间 个位置之一，有 种； 其余 个单位在剩下的 个位置全排列，有 种； 甲、乙内部可交换，有 种。共有 种站法。 (3) 间接法：甲、乙相邻时，把甲、乙捆绑后共 个单位，有 种， 故甲、乙互不相邻的有 种。 （插空法验证：先排其余 人有 种，形成 个空隙，甲、乙插入其中两个空隙有 种，共 种，结果一致。） 【多解·巧解】"相邻"用捆绑法：把相邻对象看成一个整体参与排列，再乘内部顺序数；"不相邻"首选间接法（总数减相邻数），也可用插空法，但插空必须"先排不受限制的元素，再往空隙里插"。两种方法结果应一致，可互相检验。 【易错提醒】(2) 中"两端"指整排的首尾位置，是在捆绑成 个单位之后的站位而言，若先随意排甲乙整体再安置丙，会破坏位置结构造成重复或遗漏；(3) 中甲、乙相邻包含甲在乙左与乙在甲左两种内部顺序，漏乘 会把相邻数误算为 ，进而把结果误算为 。 24．（★★★）用 组成没有重复数字的四位数。 (1) 共有多少个四位数？ (2) 其中个位数字是奇数的有多少个？ (3) 其中大于 的偶数有多少个？ 【答案】(1) 个； (2) 个； (3) 个。 【解题思路】特殊位置优先：(1) 先定不能为 的千位；(2) 先定奇数个位；(3) 千位与个位同时受限，按千位的取值分类讨论。 【解答过程】(1) 千位不能为 ，从 中选，有 种；百位、十位、个位依次有 种， 共有 个。 (2) 个位为奇数，可取 ，有 种；个位取定后，千位不能为 且不能与个位相同， 从其余 个非零数字中选，有 种；百位在剩余 个数字中选，有 种，十位有 种。 共有 个。 (3) 大于 要求千位取 之一，偶数要求个位取 之一，两个位置相互牵制，按千位分类： ① 千位为 ：个位可取 ，有 种，百位有 种，十位有 种，得 个； ② 千位为 ：个位不能取 ，可取 ，有 种，百位有 种，十位有 种，得 个； ③ 千位为 ：个位可取 ，有 种，得 个。 共有 个。 【多解·巧解】(3) 也可用间接法：四位偶数共 个（个位为 的有 个，个位为 或 的各有 个），其中不大于 的偶数（千位为 或 ）有 个，故 个，与分类法结果一致。 【易错提醒】(3) 中千位与个位互相牵制：千位为 时个位只剩 种，若仍按 种计算会把结果误算为 ；另外千位为 或 时，百位、十位均可取 ，不要误减。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $