2026-2027学年湘教版数学九年级上册阶段测试（第1章 图形的相似、第2章 锐角的正弦、余弦、正切）试卷-

阶段测试 （第1章图形的相似、第2章锐角的正弦、余弦、正切） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若，则（　　） A． B． C． D． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝3：5，AC＝10，则AE的长为（　　） A． B．4 C．5 D．6 4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6 B．a＝4，b＝6，c＝6，d＝8 C．a＝5，b＝6，c＝7，d＝10 D．a＝1，，， 6.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　） A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米 7.如图，E是▱ABCD的边CD的延长线上一点，且CD＝2DE，BE与AC相交于点F， 则的值是（　　） A． B． C． D． 8.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 9.在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°， 在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE＝CF＝1.65 米，AC＝28米，则树BD的高度是（　　）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】 A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB边上，且满足∠ECF＝45°．过点E作EM ⊥BC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，且CN＜CM．设CN＝a，CM＝b，AC＝c，则下列结论错误的是 （　　） A．△ACE∽△BFC B． C．c2＝2ab D．c2＝a2+b2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　 　． 12．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值 为　 ． 13．比较大小：cos38° 　sin38°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 14.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比 是　 　． 15．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则tan∠A的值为 　　 ． 16．在△ABC中，如果∠A、∠B均为锐角，且满足，那么∠C＝ ． 17．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩 形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以点O为位似中心的位似图形， 且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4； 延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5，⋯．按照这样的规律继续作下去，若OA1 ＝1，则△B2023C2023B2024的面积为　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D． （1）如果AC＝20，，求BD的长； （2）如果AD＝6，BD＝3，求∠A的正切值． 20．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长． 21．（8分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，﹣2），B（2，4）， C（0，2）．△ABC与△DEF位似，位似中心为原点O，△ABC与△DEF的相似比为2：1．（点D，E，F 分别与点A，B，C对应，且点D在第二象限） （1）在图中画出△DEF，并直接写出点D的坐标； （2）用无刻度直尺作出△DEF的角平分线FG； （3）△ABC与△DEF的周长比为　 　． 22．（8分）小琪要测量某建筑物的高度．如图，小琪在点A处测得该建筑物的最高点C的仰角为31°，再 往该建筑物方向前进30m至点B处测得最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算该建筑物的高度C D（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60． 23．（9分）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABM∽△EMA； （2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长． 24．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，，AD＝6，． （1）求BC的长； （2）求sin∠DEA的值． 25．（10分）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其 示意图，其中四边形BCDE是矩形，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m，现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最 大为42°．若一辆厢式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由．（参 考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9） 26．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证： △ADE∽△DCF． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试 （第1章图形的相似、第2章锐角的正弦、余弦、正切） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若，则（　　） A． B． C． D． 解：∵，∴设x＝3k，y＝4k，∴．故选：A． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，∴∠A的大小不变， ∴sinA的值不变.故选：C． 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：AB＝3：5，AC＝10，则AE的长为（　　） A． B．4 C．5 D．6 解：由条件可知△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝6.故选：D． 4.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴， ，故A正确，符合题意；，故B错误，不符合题意； ；故C错误，不符合题意；，故D错误，不符合题意. 故选：A． 5.下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．a＝1，b＝2，c＝4，d＝6 B．a＝4，b＝6，c＝6，d＝8 C．a＝5，b＝6，c＝7，d＝10 D．a＝1，，， 解：A．1：2≠4：6，四条线段不成比例，所以A选项不符合题意； B．4：6≠6：8，四条线段不成比例，所以B选项不符合题意； C．5：6≠7：10，四条线段不成比例，所以C选项不符合题意； D．1：：，四条线段是比例线段，所以D选项符合题意． 故选：D． 6.为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　） A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米 解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故选：A． 7.如图，E是▱ABCD的边CD的延长线上一点，且CD＝2DE，BE与AC相交于点F， 则的值是（　　） A． B． C． D． 解：由条件可知AB∥CD，AB＝CD， ∵CD＝2DE，∴AB＝2DE， ∵AB∥CD，∴△ABF∽△ECF， ∴，∴，故选：B． 8.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°． ∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE， ∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴设DC＝x， 则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3.故选：C． 9.在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°， 在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE＝CF＝1.65 米，AC＝28米，则树BD的高度是（　　）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】 A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米 解：连接EF交BD于点M，则EF⊥BD， AE＝BM＝CF＝1.65米，EF＝AC＝28米．设DM＝x米，∵在Rt△DEM中，∠DEM＝45°， ∴EM＝DM＝x米，∴MF＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，∠DFM＝37°， ∴，即：，解得x＝12，即DM＝12米． ∴BD＝DM+BM＝12+1.65＝13.65（米）． ∴树BD的高度约为13.65米．故选：D． 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB边上，且满足∠ECF＝45°．过点E作EM ⊥BC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，且CN＜CM．设CN＝a，CM＝b，AC＝c，则下列结论错误的是 （　　） A．△ACE∽△BFC B． C．c2＝2ab D．c2＝a2+b2 解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠A＝45°， ∵∠AEC＝∠B+∠ECB＝∠ECB+45°，∠BCF＝∠ECB+∠ECF＝∠ECB+45°，∴∠AEC＝∠BCF． ∴△ACE∽△BFC，故A选项中的结论正确； ∵EM⊥BC，FN⊥AC，∴∠ANF＝∠BME＝90°， ∵∠A＝∠B＝45°，∴∠AFN＝∠BEM＝45°，∴△AFN，△BME均为等腰直角三角形， ∵CN＝a，CM＝b，AC＝c，∴FN＝AN＝c﹣a，EM＝BM＝c﹣b． ∵S△CEF＝S△ABC﹣S△ACF﹣S△BCE， ∴ ，故B选项中的结论正确； ∵△ACE∽△BFC，∴，∴AC•BC＝BF•AE． ∵BC＝AC＝c，，， ∴，故C选项中的结论正确； ∵CN＜CM，∴a＜b，∴（a﹣b）2≠0，即a2﹣2ab+b2≠0，∴a2+b2≠2ab． 又∵c2＝2ab，∴a2+b2≠c2，故D选项中的结论错误． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　 　． 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sinB＝cosA．故答案为：． 12．如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值 为　 ． 解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴，故答案为：． 13．比较大小：cos38° 　sin38°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 解：∵sin38°＝cos（90°﹣38°）＝cos52°，38°＜52°，根据余弦函数，角度越大，值越小， ∴cos38°＞cos52°，∴cos38°＞sin38°．故答案为：＞． 14.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比 是　 　． 解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3， ∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9． 故答案为：4：9． 15．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则tan∠A的值为 　　 ． 解：设AB边上靠近点B的格点为D，连接CD，如图： ∵网格中小正方形的边长为1， ∴，， ∵BD，CD为小正方形的对角线，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，，，∴． 16．在△ABC中，如果∠A、∠B均为锐角，且满足，那么∠C＝ ． 解：∵，∴，2cosB﹣1＝0， ∴，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 故答案为：90° 17．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩 形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ． 解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC， ∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴， ∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH， ∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴，解得EH＝，∴EH的长为.故答案为：. 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以点O为位似中心的位似图形， 且位似比为，点A1，A2，A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于点B3，以A3B3为边作正方形A3B3C3A4； 延长A4C3交射线OB1于点B4，以A4B4为边作正方形A4B4C4A5，⋯．按照这样的规律继续作下去，若OA1 ＝1，则△B2023C2023B2024的面积为　 ． 解：∵在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴， ∵A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴， ∵OA1＝1，∴，∴OA2＝2，∴A1A2＝OA2﹣OA1＝1，∴A1B1＝1，B1C1＝1，A2B2＝2，∴B2C1＝1， ∴△B1C1B2的面积； ∵OA2＝A2B2＝2，∴∠B1OA1＝45°，∴OA3＝A3B3＝4， ∴△B2C2B3的面积； 同理可得，△B2C2B3的面积； … 则△B2023C2023B2024的面积为， 故答案为：24043． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D． （1）如果AC＝20，，求BD的长； （2）如果AD＝6，BD＝3，求∠A的正切值． 解：（1）在Rt△ACD中，AC＝20，cosA， ∴， ∴AD＝16，AB＝25， ∴BD＝AB﹣AD＝9； （2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴CD2＝AD•BD＝6×3＝18， ∴CD＝3， ∴tanA． 20．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C． （1）求证：△ABD∽△CBA； （2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长． 证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA； （2）∵△ABD∽△CBA， ∴， ∵AB＝6，BD＝3， ∴， ∴BC＝12， ∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9． 21．（8分）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，﹣2），B（2，4）， C（0，2）．△ABC与△DEF位似，位似中心为原点O，△ABC与△DEF的相似比为2：1．（点D，E，F 分别与点A，B，C对应，且点D在第二象限） （1）在图中画出△DEF，并直接写出点D的坐标； （2）用无刻度直尺作出△DEF的角平分线FG； （3）△ABC与△DEF的周长比为　 　． 解：（1）∵△ABC的顶点坐标分别为A（4，﹣2），B（2，4），C（0，2），△ABC与△DEF位似，位似中心为原点O，△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∴△DEF如图所示，点D的坐标为（﹣2，1）； （2）如图，FG即为△DEF的角平分线； （3）∵△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∴△ABC与△DEF的周长比为2：1． 故答案为：2：1． 22．（8分）小琪要测量某建筑物的高度．如图，小琪在点A处测得该建筑物的最高点C的仰角为31°，再 往该建筑物方向前进30m至点B处测得最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算该建筑物的高度C D（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60． 解：设BD＝x m， ∵∠CBD＝45°， ∠CDB＝90°， ∴BD＝CD＝x m， 在Rt△ACD中， ∠CAD＝31°， ∴tan31°＝， 解得：x≈45m， 答：该建筑物的高度CD是45m． 23．（9分）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E． （1）求证：△ABM∽△EMA； （2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAM＝∠AMB． ∵EM⊥AM， ∴∠AME＝90°， ∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM， ∴△ABM∽△EMA； （2）解：∵AB＝4，BM＝3， ∴， ∵△ABM∽△EMA， ∴，即， ∴ME=． 24．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，，AD＝6，． （1）求BC的长； （2）求sin∠DEA的值． 解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADC中，AC，AD＝6， 由勾股定理得：CD6， ∵tan∠ABC， ∴tan∠ABD， ∴， ∴BD＝8， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线，BC＝14， ∴BEBC＝7，∴DE＝BD﹣BE＝1， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE， ∴sin∠DEA． 25．（10分）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其 示意图，其中四边形BCDE是矩形，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m，现由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最 大为42°．若一辆厢式小货车宽1.8m，高2.4m，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由．（参 考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9） 解：这辆车不能在升降杆故障时进入停车场， 理由：在CD上截取DH＝1.8m，过点H作GH⊥CD，交BE于点M，交AB于点G，则GH⊥BE，四边形BCHM是矩形， ∵CD＝3.3m， ∴CH＝CD﹣DH＝3.3﹣1.8＝1.5（m）， ∵四边形BCHM是矩形， ∴GH⊥BE，BM＝CH＝1.5m，HM＝BC＝1m， 在Rt△BMG中， GM＝BM•tan∠ABE， ∴当∠ABE取最大值时，GM最大， 当∠ABE取最大值42°时， GM＝BM•tan∠ABE＝1.5tan42°≈1.35（m）， ∵GH＝HM+GM＝1+GM， ∴当GM最大时，GH的值最大，最大值为1+1.35＝2.35（m）， 又∵这辆小货车的高为2.4m＞2.35m， ∴这辆车不能在升降杆故障时进入停车场． 26．（10分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证： △ADE∽△DCF． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长． 解:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠ADE＝90°， ∴∠CDF+∠DFC＝90°， ∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°， ∴∠CDF+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF， ∵CH＝DE，∴CF＝CH， ∵点H在BC的延长线上， ∴∠DCH＝∠DCF＝90°， 又∵DC＝DC， ∴△DCF≌△DCH（SAS）， ∴∠DFC＝∠H， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∴∠ADF＝∠H； （3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS）， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG， ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝11， ∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $