2026-2027学年苏科版数学九年级上册综合训练（第1：一元二次方程～第2章反比例函数）

2026-2027学年第一学期苏科版九年级数学试卷 适用于（第1章一元二次方程，第2章反比例函数) 学校： 姓名：」 班： 考号： 一、单选题 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x2-x=0 B.x+2=0 C.x+y=2 D.x-1=2 2.在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只 云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比 长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为x步，则下列方程正确的是() A.12(r-864B.(x-12)x=864 C.x2-x=864 D.(x+12)x=864 3.反比例函数少=的大致图象是（) 4点(-)(2小(4，y)都在反比例西数尸= x上，则，，为的大小关系为() A.h<h<⅓ B.为<y<y C.乃<h<为 D.为<乃<为 5.将方程3x2+8x=25化成a2+bx+c=0的形式，则a,b,c的值为() A.3,8,25 B.3,8,-25 C.-3,8,25 D.3,-8,25 6.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有169台电脑被感染，若每轮感染中平 均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是() A.(x+1)=169 B.1+x+x2=169 C.1+x+x(x+)=169 D.1+(x+1)2=169 试卷第1页（共3页） a(b-0) 7.定义新运算必b= 例如： b<0) 1·则函数 ※2-2 的图象大致是(). b y=l※x 子牛 8.如图，双曲线'=x(k>0)经过RtOAB斜边OB的中点D,与边AB相交于点C,若△OBC的面积 为6，则k的值为() D G A.4 B.8 C.10 D.12 9.已知关于*的一元二次方程 (k-2)x2+2(k+1)x+k-1=0 有两个实数根，下列说法正确的是() 1 A,k的取值范围是k≥5且k≠2 B.当k=3时，方程的两根之和为-4 C.若方程有一个根为-1，则k=4 D.当k=3时，方程的两根之积为-4 10.对于关于x的方程a2+bx+c=0,有下列说法： ①若0-b+c=0,则方程r+r+c=0(a≠0) 必有一个根为1： ②当a=0时，方程a2+bx+c=0无实数解： ③若‘是方程 2+bx+c=0(a≠0) 的一个根，则一定有ac+b+1=0成立： x2+bx+c=0(a≠0 ④一元二次方程 有两个相等的实根==。，则2 xo+b=0 其中正确的是() A.①③ B.②④ C.①③④ D.④ 试卷第2页（共3页） 二、填空题 l1.若a,b是一元二次方程x2+3x-9=0的两个实数根，则a-ab+b的值是 12.一元二次方程x2-x+m=0的一个解为x=2,则m的值为一. 13.如图：点A是反比例函数y在(x>0)图家上的一点，B垂直于x轴，重足为B,A0MB的面积为 P(a,3 6.若点 也在此函数的图象上，则Q= 14.如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2)是反比 例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R为182时，电流I的值是 IA 9 R/2 15.如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D、O为坐标原点，反比例函数 y=人(k≠0)经过直角顶点C,若ABCD的面积为5，则k的值为—， 16方程+r-小-1=0 解是 17.若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形 试卷第3页（共3页） ABCD的周长为 18图，A4OB刷A4CD均为正三角形，1顶点g八D均在双线yx>0L,注接BC交AD于p ,连接OP,则图中 AOBP= B 三、解答题 19.如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率.“木海 马”对地面的压强p(Pa)是“木海马”底面面积， S(m2) 的反比例函数，其图象如图. Ap/Pa 600 400 A(1.5,400) 200 0 11.522.534/m2 (I)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）； (2)当“木海马”底面面积为0.2m时，压强是多少Pa: (3)如果要求压强不超过6000Pa,那么“木海马”底面面积至少要多少m2 20,如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外 三边由长度为30m的篱笆围成.如图，墙长为l6m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm.若苗圃园 的面积为108m2,求x的值. 16m 五m边 苗圃园 21.解方程： 试卷第4页（共3页） 0-7=0 2r-1=2x 22.江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元.在每件 降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件， (1)降价10元后，每件童装盈利是元，每周销售量是件： (2)要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 23.请阅读下列材料： 已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=号 -2, 、2 y 把x=代入已知方程，得 +y-3=0 2 化简，得广+2-12=0 y+2y-12=0 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”· (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数. (2)关于x的一元二次方程a2+bx=c（ac≠0)有一个实数根为2025，求方程cx2+bx=a的一个实数 根. 24.按要求完成各题 (1)用适当的方法解方程：(x-2=3x-6. @若5、而分别是方程-2x-5=0的解，求+5的值. 5.若关于x的一元三次方程+x+c=0a+0)的两根为K、5,则+5= 日5后这就是元 二次方程根与系数的关系。 1四-元=次方程2x-5x-1=0 的两根为、，则 +== (②)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0. 试卷第5页（共3页） ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： 、,满足 +七2=2xx2+5 ②若方程的两个实数根为 ,求k的值。 26.解方程： )x-12=9 (22x(6+3)=x+3 6)3r+2x-1=0 试卷第6页（共3页） 2026-2027学年第一学期九年级数学试卷（第12章） 参考答案 题号 4 6 6 7 9 10 答案 A D B B B C B A A D 1.A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数 为2，且是整式方程， 【详解】解：A、2x2-x=0只含一个未知数x,未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程 定义： B、x+2=0未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求： C、x+y=2含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、x-=2分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求。 2.D 【分析】设宽为x步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项. 【详解】解：设宽为x步，则长为 x+12步， ,长方形田地的面积为864平方步， x+12)x=864 .可得方程 3.B 【详解】解：在少三-中，5。} ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴只有B选项符合题意. 4.B 【分析】本慰考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出片，片，片，进行比较即可得解。 答案第1页（共2页） 【详解】解：：点(-1)(2)，(4，⅓)部都在反比例函数y=- =5，为=% -1 ,<y2< 故选：B. 5.B 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般式. 将原一元二次方程化为一般式，比较系数即可. 【详解】解：原方程为3x2+8x=25, 移项得3x2+8x-25=0, 与a2+bx+c=0比较得a=3,b=8,c=-25 故选：B 6.C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被 感染是解决此题的关键。 首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这 (x+1 台电脑又感染给了*(x+ )台电脑.利用等量关系：经过两轮感染后就会有169台电脑被感染得出即 可. 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， +x+x(x+1)=169 根据题意，得 故选：C 7.B 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解 题关键。 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限 即可. 答案第2页（共2页） 【详解】解：当x>0时，y=※x= ,其图象在第一象限： 当x<0时，y=1※x= x, 其图象在第二象限， 故选：B 8.A 【分析】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面 积的特点以及根据面积转化求出k的值， 过D点作x轴的垂线交x轴于E点，设出点D的坐标，根据中点可表示点B的坐标，进而表达点C的坐 标，根据面积公式，建立方程，可求出k的值 【详解】解：过D点作x轴的垂线交x轴于B点， D E A 设D点的横坐标为x,纵坐标就为x, :D为OB的中点. 叫2) ..BC=3k 'OA=2x' S=32x=6 -22x .k=4 故选：A. 9.A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根与系数关系，根的判别式等知识.一元二次方程有两个实 答案第3页（共2页） 数根需满足二次项系数不为零且判别式非负.计算判别式并求解不等式，再进一步验证其他选项即可. k-2)x2+2(k+1)x+k-1=0 【详解】解：，方程 为一元二次方程， .k-2≠0，即k≠2」 判别式△=[2(k+-4-2k-)=4k+-4(k-20k-1）=45k-) 有两个实数根， ·4≥0，即4(5k-≥0 六5张-1≥0：即k≥ 且k≠2： 选项A正确、 选项B:当k=3时，方程x2+8x+2=0,方程的两根之和为-8≠4，选项错误. 选项C代入=-1，得&-2列x(-+2+x)+(-)=k-2-2k-2+k-1=-5*0,关于k的方 程无解，选项错误。 选项D:当k=3时，方程x2+8x+2=0,两根之积为2≠-4，选项错误. 故选：A 10.D 【详解】解：对于①：将x=1代入a2+bx+c=0得a+b+c=0,若a-b+c=0,则x=-1满足方程，即 方程的根为-1，不是1，故①错误； 对于@：当a=0时，方程变为x+c=0,若b10:方程有实数解x=片，放②错误： 对于@：C是方程+bx+0=0(a40)的一个根，代入得a心2+c+c=0,整理得 c(ac+b+1)=0 ∴c=0或ac+b+1=0,不是一定有ac+b+1=0,故③错误； 对于④：：一元二次方程r+x+c=0(a≠0)有两个相等的实根=6=。 ..axo +bxo+c=0 0,且判别式△=b-4ac=0,即4ac=b 对+h,+c=0 边同乘40得4G+4abx+4c=0 代入4ac=b 得： 答案第4页（共2页） (2ax+b)2=0 ∴.2ax+b=0 故④正确： 综上只有④正确. 11.6 2+bx+c=0(a≠0 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程 ,若它的 丙个实数根为写：女·则+名=合华台”，5练李至一元一次方程的限与系数的关系是解题关 a 键.根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=-3,b=-9,再代入计算即可得. 【详解】解：，a,b是一元二次方程x2+3x-9=0的两个实数根， ∴.a+b=-3,ab=-9. ,a-ab+b=(a+b)-ab=-3-（-9)=-3+9=6 故答案为：6. 12.-2 【分析】把x=2代入原一元二次方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值. 【详解】解：，x=2是一元二次方程x2-x+m=0的一个解， ∴.将x=2代入方程x2-x+m=0, 得22-2+m=0, 整理得2+m=0, 解得m=-2 13.4 【分折打】根反比创居数的几何意义。肉=0601=2，水系数七再代入点P的华标可求出 a. S.O4B =6 【详解】解： =6 答案第5页（共2页） 由图可知，k>0, .k=12, ÷反比例函数为y=12 x , P(a,3)也在此函数的图象上， ∴.3a=12, ∴.a=4 14.2A 【分析】本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键.设反比例函数的解析式 R i 根据图象可知，双曲线过点(9,4)，代入解析式求出k.再令R=18,求出此时电流，的值。 【详解】解：设反比例函数的解析式为=分 R 将R=9:1=4代入解析式得，4-。 9 .k=36 :136 R· 令R=18,则G24 18 ∴此时电流I的值为2A, 故答案为：2A. 15.10 【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形中线的性质，面积法，熟练掌握 反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键. 连接OC,依题意得S,4cn=Sn=5,再根据△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等得Scm=S,4m=5, 再根据反比例函数比例系数k的几何意义得S.m一2k1,据此可得k的值. 【详解】解：连接OC,如下图所示： 答案第6页（共2页） 在 中，斜边上的中线 轴于点， 的面积为5， .·Rt△ABC CD⊥x D△BCD .SAD=Sacn=5CD∥y 轴， ,∴AOCD和△ACD的公共边CD上的高相等， ∴.S.oam=S4cn=5 .反比例函数y三化≠0)经过直角顶点C 片根据反比例函数比例系数的几何意义得：Sm, k 2S.OCD =10 k 反比例函数y=化≠0)的图象在第一象限， .k=10 故答案为：10. x=0,x2=1 16 【分析】本题考查解一元二次方程，分x≥1和x<1两种情况，去绝对值，再解方程即可. 【详解】解：当≥1时.r+-小-1= 变形为x2+x-1-1=0 即x2+x-2=0, 解得=5-2 (舍)； 当<1时，+-小-1=0变彩为-(k-）-1=0 变形为 即x2-x=0, 答案第7页（共2页） 解得=0,5=1 (舍)： x2+x-1-1=0 综上可知， 的解是=0,5=1 x=0,x2=1 故答案为： 。 17.6N210 或 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质， 另一条对角线的长是方程x2-7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长 为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长. 【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4， ABCD是菱形， .BD⊥AC, 32 当BD=3,AC=3时，菱形的边长 22 3W2 ×4=6W2 .菱形ABCD的周长是2 当BD=3,AC=4时，菱形的边长 5 ∴菱形ABCD的周长是2 ×4=10 6√210 故答案为： 或 答案第8页（共2页） 18.6 【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用 以上知识是解题的关键 先根据△40B和△MCD均为正三角形可知∠40B=∠C4AD=60°，故可得出1D∥OB,所以S S.OBP=S40B 过点B作BE⊥OA于点E,由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论. 【详解】解：如图： Ay B .△AOB和△ACD均为正三角形， .∠AOB=∠CAD=60°， .AD∥OB SOBP=SAOB 过点8作BE1OM于点三，剥8ame=及m》m 6 :点B在反比例函数y=(x>O)的图象上， 1 .S0e=)×6=3 21 S.OBP=SAOR =2SOBE=6 故答案为：6. 600 19.四p=S(S>0) (2)3000Pa 0.1m2 (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键： (1)待定系数法求出函数解析式即可： 答案第9页（共2页） (2)求出S=02时的函数值即可： (3)求出p=6000Pa时的自变量的值即可. 【详辩1山解：设P>0)。 由图象，把115,40)代入得：k=15×400=600, .2-600(s>o) 600 (2)当s=02时，p= =3000 0.2 答：当“木海马”底面面积为0.2m时，压强是3000Pa; (3)当p=6000时，S=60 =0.1 6000 当p≤6000时，S20.1, 答：压强不超过6000Pa,那么“木海马”底面面积至少要0.1m2. 20.9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键.设这个苗圃园垂直于墙的一边长为m,则另一条边长为 30-2x)m ,根据矩形的面积公 式列方程即可得到结论. 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为m，则另一条边长为 (30-2x)m ,根据题意得： x(30-2x)=108 解得=6与=9 当x=6时，30-2x=30-12=18>16,不符合题意舍去： 当x=9时，30-2x=30-18=12<16,符合题意： 故x的值为9. 21.0)=5=5 答案第10页（共2页) (②5=1+5.5=1-2 【分析】(1)利用直接开平方法解一元二次方程即可； (2)利用配方法解一元二次方程即可. 【详解】(1)解：x2-7=0, .x2=7, :5=7.专=V7 (2)解：x2-1=2x, .x2-2x-1=0, ∴.x2-2x=1, .x2-2x+1=1+1, :(-y=2 ∴.x-1=tW2, :=l+2.与=1-2 22.(1)70:80 (2)当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键. (1)根据题意求出降价后的盈利，再求出每周的销售量即可： (2)设每件童装应降价x元，根据题中等量关系列出方程进行求解即可. 【详解】(1)解：降价10元后，每件童装盈利是：80-10=70（元）， 每周箭告是：60+9×10=80（件）. 5 故答案为：70,80」 (2)解：设每件童装应降价x元， 答案第11页（共2页） 根据题意得： (80-0+x10=60 ,(0≤x≤25) x=20x2=30 解得： (不符合题意，舍去)， 答：每件童装应降价20元. 23.0)所求一元二次方程为广-y-2=0 1 (2)方程cx2+br=a的一个实数根为2025 【详解】(1)解：设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=一y, 把x=-y代入2+x-2=0得到(+()-2=0， y2-y-2=0 化简得 (2)解：关于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)有一个实数根为2025， ..20252a+2025b=c b 两边同除20252得a+2 202520252, b 移项得202522025=a, 1 对比方程cx2+hx=a可知，当x=2025时，等式成立， 1 cx2+bx=a的一个实数根为2025· 24.(①)=25=5 (2)14 【分析】(1)把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可： (2)由一元二次方程根和系数的关系得+名=2,5=-5 再利用完全平方公式的变形运算计算即 可 【详解】()解：移项，得(x-2-3x-2)=0 答案第12页（共2页） 因式分解，得x-2x-2-3)=0 即(x-2x-5)=0 .x-2=0或x-5=0 :=25=5 (2)解：：、分别是方程-2x-5=0的解， :+5=25=5 :+5=(+5/-2x5=22-2×(-5)=4+10=14 51 25.(1)2,2 (2②0证明：：关于x的一元二次方程为2-(2k+1x+2-2=0. 六a=1b=-2k+》,c=)2-2 根的判别式△=-4ac=(2k+1-4x1x(2-2). 展开化简得△=4k2+4k+1-2k2+8=2k2+4k+9, △=2(k+1)2+7 配方得 k (k+1)2≥0 ,无论为任何实数，总有 2(k+1)2+7≥7>0 即△>0， 无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： ②k=0或k=2 【分析】(1)直接根据题干给出的根与系数关系代入a,b,c计算即可； (2)①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根 答案第13页（共2页） 积关于k的表达式，代入已知等式求解关于k的一元二次方程即可得到k的值. 【详解】(1)解：对于一元二次方程2x2-5x-1=0,可得a=2,b=-5,c=-1 根据根与系数的关系得+6=了多，巧=分-方： (2)①略 ②根据根与系数的关系，得5+5=26+1,52-2 2 :+书=2x5+5 代入得2k+1=2(52-2)+5. 化简得2k+1=2+1, 整理得k2-2k=0, 因式分解得k(k-2)=0」 解得k=0或k=2. 26.021=4为=-2 1 2)x=-3,为=2 1 3)x=-1,=3 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键. (1)利用直接开平方根的方法解方程即可： (2)方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有为0转化为两个 一元一次方程来求解： (3)找出a,b,c的值，代入求根公式即可求出解. 【详解】()解：(x-=9 ..x-1=±3 x=4x2=-2 答案第14页（共2页) (2)2x(r+3)=x+3 .2x(x+3)-(x+3)=0 ∴.（x+3)(2x-1)=0 .x+3=0或2x-1=0, 1 x=-3,=2 (3)3x2+2x-1=0, .a=3,b=2,c=-1, .△=b2-4ac=22-4×3×(-1)=4+12=16>0 x=-b±B-4ae-2±4 2a 6, 1 x=-1,=3 答案第15页（共2页）