排列与组合专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题10.2　排列与组合【纠错档案】 1. （2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（ ） A．420种    B．840种    C．960种    D．1280种 2. （25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（ ）种不同的排法. A．528    B．312    C．264    D．216 3. （25-26高二下·河北衡水·期末）某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ） A．432种    B．144种    C．96种    D．48种 4. （25-26高二下·福建泉州·期中）将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ） A．5100种    B．4800种    C．4500种    D．4200种 序号 错误类型 错因诊断 1 实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误 对实际问题中“至少”、“至多”等意义理解不明，导致重复计数或遗漏 2 限制条件的处理问题处理不当 未能清晰地解读了限制条件，未考虑限制条件的特殊情况方面上的处理，导致排列出错 3 相邻问题“捆绑法”处理不当致误 因“少乘内部排列”或“多乘外部顺序”而出错 4 插空法”忽略了“内部排列”或“整体排列” 错误在于忽略了“内部排列”和“整体列”，讨论不完全 纠正一 实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误 【错因解读】对实际问题中“至少”、“至多”等意义理解不明，导致重复计数或遗漏. 【典例1】（2026·贵州安顺·模拟预测）将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（ ） A．420种    B．840种    C．960种    D．1280种 【解析导引】（分步策略）不同的分配方案需要3步： （隔板法）将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； （分类讨论）将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； （分类讨论）将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 【补救措施】在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素原则、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，同时，解答组合问题必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. 【再练一个】 （25-26高三上·四川眉山·期末） 1．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 纠正二 限制条件的处理问题处理不当 【错因解读】未能清晰地解读了限制条件，未考虑限制条件的特殊情况方面上的处理，导致排列出错. 【典例2】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（ ）种不同的排法. A．528    B．312    C．264    D．216 【解析导引】按照的序号进行编号，老师的左边编号，右边编号， （分类讨论甲乙位置）若甲乙站在老师的左边，则安排情况为，共3种选择， 甲乙可互换位置，丙排在右侧有3种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师左边时共有种排法； （分类讨论甲乙位置）若甲乙站在老师的右边，则安排情况为，共2种情况， 甲乙可互换位置，丙只有一种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师的右边时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 【补救措施】对于有限制条件的问题，考生要特别注意题目中的限制条件，在解题过程中往往会因忽视限制条件而造成错解． 【再练一个】 （吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题） 2．有甲、乙、丙、丁在内的6人准备去亚洲仅有的4个发达国家研学深造，每个国家至少安排1人，甲和乙去的国家不同，丙和丁去的国家相同，不同的排法有（    ） A．240种 B．768种 C．216种 D．132种 纠正三 相邻问题“捆绑法”处理不当致误 【错因解读】因“少乘内部排列”或“多乘外部顺序”而出错. 【典例3】（25-26高二下·河北衡水·期末）某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ） A．432种    B．144种    C．96种    D．48种 【解析导引】（捆绑法）将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法． 将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法， （间接法）所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）． 【补救措施】相邻问题捆绑法，把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列. 【再练一个】 （2026·湖南株洲·模拟预测） 3．某校运动会需要5名同学(含甲、乙、丙等)排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔2名同学，则不同的队列排法共有________. 纠正四 插空法”忽略了“内部排列”或“整体排列” 【错因解读】错误在于忽略了“内部排列”和“整体列”，讨论不完全． 【典例4】（25-26高二下·福建泉州·期中）将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（ ） A．5100种    B．4800种    C．4500种    D．4200种 【解析导引】（先排红球再排白球）先排红球，有1种排法，然后排白球，分两类讨论， （插空法）第一类情况是将两白球插空排入红球形成的5个空位有种，然后插入黑球，有种，故共有种不同的排法； 第二类情况是2个白球之间仅有1个黑球，先将2个白球和1个黑球捆绑成一个整体(形如W-B-W)，有种方法； 再将此整体与4个红球排列，有种方法；然后将剩下的2个黑球插入形成的6个空位中，有种方法，故此种情况有种. 故要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有5100种. 【补救措施】处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列. 【再练一个】 4．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有(    ) A．144种 B．216种 C．288种 D．432种 （错因：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误） （25-26高二上·山东潍坊·期末） 5．某学校开设三类选修课程，现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学报名参加学习，每位同学仅报一类课程，每类课程至少有一位同学参加，其中甲同学只选择类课程，则不同的报名方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 （错因：限制条件的处理问题处理不当） （25-26高二下·陕西榆林·期中） 6．某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． （错因：相邻问题“捆绑法”处理不当致误） 7．一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有______种. （错因：插空法”忽略了“内部排列”或“整体排列”） 8．有 10 个不同的小球，其中 4 个红球，3 个白球，3 个黑球.将这 10 个球排成一排，要求红球互不相邻，且白球也互不相邻，不同的排法有______种. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《【错题档案】专题10.2　排列与组合【讲】》参考答案： 1．D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 2．C 【分析】利用排除法求解，先计算出满足丙和丁所学对象相同条件的，然后排除掉甲和乙所学对象相同求解即可. 【详解】将丙丁看成一个整体，则问题转化为五个人分配到四个国家，则有两个人分配到一起的情况有则总体的情况总有 其中甲和乙分配到相同的国家的情况有 则满足题意的有 故选：C. 3．16 【详解】由题意知甲一定在乙丙之间，否则甲将将在两端， 先排乙丙有种排法，其次从除甲外的2人中选一人，和甲一起排在乙丙中间， 最后剩余一人排在乙丙等四人的两端位置中的一个， 共有种排法. 4．C 【分析】利用捆绑法和插空法进行求解． 【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法； 第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法； 第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法． ∴不同的排法种数有：种． 故选：C． 5．C 【分析】根据甲同学的选择情况，结合每类课程至少有一位同学参加的条件，分情况讨论其他同学的报名方法，再利用分类加法计数原理计算出不同的报名方法总数. 【详解】情况一：类课程只有甲同学参加，此时剩下乙、丙、丁、戊四位同学要报名、两类课程，且每类课程至少有一位同学参加， 先将四位同学分成两组，有两种分法：按分组，有种分法； 按分组，有种分法； 再将分好的两组同学全排列，安排到、两类课程中，有种排法； 根据分步乘法计数原理，这种情况下的报名方法有种； 情况二：类课程除甲同学外还有一位同学参加，从乙、丙、丁、戊四位同学中选一位同学和甲一起参加类课程，有种选法； 剩下三位同学要报名、两类课程，且每类课程至少有一位同学参加， 将三位同学分成两组，有种分法，再将分好的两组同学全排列，安排到、两类课程中，有种排法； 根据分步乘法计数原理，这种情况下的报名方法有种； 情况三：类课程除甲同学外还有两位同学参加，从乙、丙、丁、戊四位同学中选两位同学和甲一起参加类课程，有种选法； 剩下两位同学要报名、两类课程，有种排法； 根据分步乘法计数原理，这种情况下的报名方法有种； 根据分类加法计数原理，将上述三种情况的报名方法数相加，可得不同的报名方法共有种.. 故选：C. 6．(1)360 (2)612 【分析】（1）将丽丽固定在宣传岗，从剩余人中选人进行排列即可； （2）按特殊元素，特殊位置优先排列的原则，分男生大勇是否担任后勤两种情况分析，并根据分类加法和分步乘法计数原理计算可得. 【详解】（1）丽丽固定在宣传岗， 剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列． 方法数为：种． （2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法， 再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上， 根据分步乘法计数原理，方法数为种； ②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法， 再安排接待岗位有3种安排方法， 第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法， 最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上. 根据分步乘法计数原理，方法数为种， 综上，根据分类加法计数原理，总安排方法数为种． 7． 【分析】分学生选择相邻的四个偶数、学生选择三个相邻的偶数，另一个学生坐对面、四个学生每两个学生选择相邻偶数三种情况， 求出学生的坐法，家长的坐法、四组家长学生全排列，由分步乘法计数原理和分类加法计算原理即可求解. 【详解】当学生选择相邻的四个偶数有，，， ，，有种， 以学生选为例，家长的排法有 ，， ，有种， 同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，∴有种， 当学生选择三个相邻的偶数，一个学生坐对面有，，， ，，有种， 以学生选择为例，家长的坐法有，，，， ，，，，共种， 同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，∴有种， 当四个学生每两个学生选择相邻偶数时，学生有，，有种， 以学生选择为例，家长坐法有：，，，， ，，，，有种， 同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，∴有种， 综上所述：满足要求的坐法共有种. 故答案为：. 8．362880 【分析】由分类加法和分步乘法原理，采用插空法，先排黑球，再排白球，排白球时分三类讨论，最后插入红球. 【详解】先排黑球，有种， 然后排白球，分三类讨论， 三白球不相邻：采用插空法，有种，然后插入红球，有种； 两白球相邻：首先选两个白球再插空有，然后插入红球，两白球之间必须插入一个红球，有，将其作为一个整体，再插入剩余红球有； 三白球相邻：白球有，然后插空有；再插入红球，白球之间必须插入两红球，有种，最后剩余红球插空有种， 由分步乘法原理和分类加法原理可得 故答案为：362880. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $